2 平均値の定理の証明
ついに 平均値の定理の証明 です。ロルの定理を用いたいので、関数\(f(x)\)に、「端点の値が等しい」というロルの定理の条件を満たすような\(g(x)\)を考えてみましょう。
それでは証明です。
関数:\(g(x)=f(x)+\alpha x\)を考えてみましょう。このとき
\[g(a)=g(b)\]
なる\(\alpha\)を探します。それぞれ代入すると
\[\quad f(a)+\alpha a=f(b)+\alpha b\]
\[∴\alpha =-\displaystyle\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\]
となり、
\[g(x)=f(x)-\displaystyle\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\]
という関数が、\(g(a)=g(b)\)を満たすことが分かりました。
よってロルの定理より
\[g'(c)=0 \quad (a 以下では平均値の定理を使って解く問題を扱います. 例題と練習問題
例題
$ 0 < a < b $ のとき
$\displaystyle a\left(\log b-\log a\right)+a-b < 0$
を示せ. 講義
2変数の不等式の証明問題 に平均値の定理が有効なことがあります(例題のみリンク先と共通です). $\boldsymbol{f(a)-f(b)}$ の形が見えたら平均値の定理 による解法が楽で有効な手立てとなることが多いです. 解答
$f(x)=\log x$ とおくと,平均値の定理より
$\displaystyle \begin{cases}\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}=\dfrac{1}{c} \\ a < c < b \end{cases}$
を満たす実数 $c$ が存在.これより
$\dfrac{\log b-\log a}{b-a}=\dfrac{1}{c}< \dfrac{1}{a}$
$a(b-a)$ 倍すると
$\displaystyle a(\log b-\log a) < b-a$
$\displaystyle \therefore \ a(\log b-\log a)+a-b < 0$
練習問題
練習1
$e\leqq a< b$ のとき
$b(\log_{}b)^{2}-a(\log_{}a)^{2}\geqq 3(b-a)$
練習2 (微分既習者向け)
関数 $f(x)$ を
$f(x)=\dfrac{1}{2}x\left\{1+e^{-2(x-1)}\right\}$
とする.ただし,$e$ は自然対数の底である. (1) $x>\dfrac{1}{2}$ ならば $0\leqq f'(x)<\dfrac{1}{2}$ であることを示せ. 【高校数学Ⅲ】平均値の定理を利用する不等式の証明 | 受験の月. (2) $x_{0}$ を正の数とするとき,数列 $\{x_{n}\}$ $(n=0, 1, \cdots)$ を $x_{n+1}=f(x_{n})$ によって定める.$x_{0}>\dfrac{1}{2}$ であれば
$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_{n}=1$
であることを示せ. 練習の解答 Tag: 東大入試数学の良問と背景知識まとめ 以上、「平均値の定理の意味と使い方」についてでした。 有料配信
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コミカル
FERRIS BUELLER'S DAY OFF
監督
ジョン・ヒューズ
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解説
快晴のシカゴ。サボりの常習犯である高校生フェリスはこの日、仮病でズル休みすることに。そして、彼の姉や校長をイラ立たせ校内も騒然とする中、フェリスは病欠している金持ちの親友キャメロンを誘い、車で街へと...
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フォトギャラリー
JAMESZENK/PARAMOUNT/TheKobalCollection/ 劇場公開日 1987年3月14日 作品トップ 特集 インタビュー ニュース 評論 フォトギャラリー レビュー 動画配信検索 DVD・ブルーレイ Check-inユーザー 解説 1980年代に多くのヒット作を生んだ青春映画の名手ジョン・ヒューズが、学校をサボった男子高校生の1日を軽快なタッチで描いた青春ドラマ。シカゴで暮らす高校3年生のフェリス。ある晴れた日、学校をズル休みすることにした彼は、仮病を使って両親を騙し、本当に病気で休んでいる金持ちの親友キャメロンの車に乗り込んで街へ繰り出す。フェリスのガールフレンドも学校から連れ出し、3人は休日を思う存分に満喫する。一方、フェリスの仮病を疑う校長は、彼の自宅を訪れるが……。主演は「ウォー・ゲーム」のマシュー・ブロデリック。 1986年製作/103分/アメリカ 原題:Ferris Bueller's Day Off 配給:UIP スタッフ・キャスト 全てのスタッフ・キャストを見る 受賞歴 詳細情報を表示 U-NEXTで関連作を観る 映画見放題作品数 NO. 1 (※) ! まずは31日無料トライアル マンチェスター・バイ・ザ・シー プロデューサーズ ステップフォード・ワイフ GODZILLA ※ GEM Partners調べ/2021年6月 |Powered by U-NEXT 関連ニュース 「セイ・エニシング」をはじめ、「デッドプール2」に隠されたオマージュネタとは? 2018年6月9日 Netflixが数時間ダウン 新ドラマ「ルーク・ケイジ」の影響か? 2016年10月11日 新「スパイダーマン」は青春映画? マーベル社長が構想を明かす 2015年7月7日 「ひつじのショーン」はバスター・キートン? フェリスはある朝突然に : 作品情報 - 映画.com. R・スターザック監督語る裏話 2015年7月3日 エバン・レイチェル・ウッドに新恋人? 2015年4月23日 「ローズマリーの赤ちゃん」ほか25本が米フィルム登録簿に永久保存 2015年2月4日 関連ニュースをもっと読む フォトギャラリー 写真:Album/アフロ 映画レビュー 4. Index
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フェリスはある朝突然に : 作品情報 - 映画.Com