難しい単元が続く高校数学のなかでも、階差数列に苦しむ方は多いのではないでしょうか。 この記事では、そんな階差数列を、わかりやすく解説していきます。 まずは数の並びに慣れよう 下の数列はある規則に基づいて並んでいます。第1項から第5項まで並んでいる。 第6項を求めてみよう では(1)から(5)までじっくり見ていきましょう。 (1) 3 6 9 …とみていった場合、この並びはどこかで見たことありませんか? そうです。今は懐かしい九九の3の段ではありませんか。第1項は3×1、第2項は3×2、 第3項は3×3というように項の数を3にかけると求めることができます。よって第6項は18。 (2) これはそれぞれの項を単体で見ると、1=1³ 8=2³ 27=3³となり3乗してできる数。 こういう数を数学では立方数っていいます。しかし、第1項が0³、第2項が1³…となっており3乗する数が項数より1少ないことがわかります。よって第6項は5³=125。 (3) 分母に注目してみると、2 4 8 16 …となっており、分母に2をかけると次の項になります。ということは第5項の分母が32なのでそれに2をかけると64となります。また、1つおきに-がついているので第6項は+となります。よって第6項は1/64。 (4) 分母と分子を別々に見ていきましょう。 分子は1 3 5 7 …と奇数の並びになっているので第6項の分子は11。 分母は1 4 9 16 …となっており、2乗してできる数(第1項は1²、第2項は2²…) だから、第6項の分母は36となり第6項は11/36。 さっき3乗してできる数は立方数っていったけど2乗バージョンもあるのか気になりませんか?ちゃんとあります!平方数っていいます。 立方や平方って言葉聞いたこと過去にありませんか? 小学校のときに習った、体積や面積の単位に登場してきてますね。 立方センチメートルだの平方センチメートルでしたよね。 (5) 今までのものとは違い見た目での特徴がつかみづらいと思いませんか?
階差数列を使う例題 実際に階差数列を用いて数列の一般項を求めてみましょう.もちろん,階差数列をとってみるという方法はひとつの指針であって,なんでもかんでも階差数列で解決するわけではないです.しかし,階差数列を計算することは簡単にできることなので,とりあえず階差をとってみようとなるわけです. 階差数列が等差数列となるパターン 問 次の数列の一般項を求めよ. $$3,7,13,21,31,43,57,\cdots$$ →solution 階差数列 $\{b_n\}$ は $4,6,8,10,12,14,\cdots$ です.これは,初項 $4$,公差 $2$ の等差数列です.したがって,$b_n$ の一般項は,$b_n=2n+2$ です.ゆえに,もとの数列 $\{a_n\}$ の一般項は,$n \ge 2$ のとき, $$a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1} b_n=3+\sum_{k=1}^{n-1} (2k+2) $$ $$=3+n(n-1)+2(n-1)=n^2+n+1$$ となります.これは $n=1$ のときも成立するので,求める数列の一般項は,$n^2+n+1$ です. 階差数列 一般項 公式. 階差数列が等比数列となるパターン $$2,5,11,23,47,95,191,\cdots$$ 階差数列 $\{b_n\}$ は $3,6,12,24,48,96,\cdots$ です.これは,初項 $3$,公比 $2$ の等比数列です.したがって,$b_n$ の一般項は,$b_n=3\cdot2^{n-1}$ です.ゆえに,もとの数列 $\{a_n\}$ の一般項は,$n \ge 2$ のとき, $$a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1} b_n=2+\sum_{k=1}^{n-1} 3\cdot2^{k-1} $$ $$=2+\frac{3(2^{n-1}-1)}{2-1}=3\cdot2^{n-1}-1$$ となります.これは $n=1$ のときも成立するので,求める数列の一般項は,$3\cdot2^{n-1}-1$ です.
1 階差数列を調べる 元の数列の各項の差をとって、階差数列を調べてみます。 それぞれの数列に名前をつけておくとスムーズです。 \(\{b_n\} = 5, 7, 9, 11, \cdots\) 階差数列 \(\{b_n\}\) は、公差が \(2\) で一定です。 つまり、この階差数列は 等差数列 であることがわかりますね。 STEP. 2 階差数列の一般項を求める 階差数列 \(\{b_n\}\) の一般項を求めます。 今回の場合、\(\{b_n\}\) は等差数列の公式から求められますね。 \(\{b_n\}\) は、初項 \(5\)、公差 \(2\) の等差数列であるから、一般項は \(\begin{align} b_n &= 5 + 2(n − 1) \\ &= 2n + 3 \end{align}\) STEP. 3 元の数列の一般項を求める 階差数列の一般項がわかれば、あとは階差数列の公式を使って数列 \(\{a_n\}\) の一般項を求めるだけです。 補足 階差数列の公式に、条件「\(n \geq 2\)」があることに注意しましょう。 初項 \(a_1\) の値には階差数列が関係ないので、この公式で求めた一般項が初項 \(a_1\) にも当てはまるとは限りません。 よって、一般項を求めたあとに \(n = 1\) を代入して、与えられた初項と一致するかを確認するのがルールです。 \(n \geq 2\) のとき、 \(\begin{align} a_n &= a_1 + \sum_{k = 1}^{n − 1} (2k + 3) \\ &= 6 + 2 \cdot \frac{1}{2} (n − 1)n + 3(n − 1) \\ &= 6 + n^2 − n + 3n − 3 \\ &= n^2 + 2n + 3 \end{align}\) \(1^2 + 2 \cdot 1 + 3 = 6 = a_1\) より、 これは \(n = 1\) のときも成り立つので \(a_n = n^2 + 2n + 3\) 答え: \(\color{red}{a_n = n^2 + 2n + 3}\) このように、\(\{a_n\}\) の一般項が求められました!
(怜悧玲瓏 ~高校数学を天空から俯瞰する~ という外部サイト) ということで,場合分けは忘れないようにしましょう! 一般項が k k 次多項式で表される数列の階差数列は ( k − 1) (k-1) 次多項式である。 これは簡単な計算で確認できます,やってみてください。 a n = A n + B a_n=An+B タイプ→等差数列だからすぐに一般項が分かる a n = A n 2 + B n + C a_n=An^2+Bn+C タイプ→階差数列が等差数列になる a n = A n 3 + B n 2 + C n + D a_n=An^3+Bn^2+Cn+D タイプ→階差数列の階差数列が等差数列になる 入試とかで登場するのはこの辺まででしょう。 一般に, a n a_n が n n の k k 次多項式のとき,階差数列を k − 1 k-1 回取れば等差数列になります。 例えば,一般項が二次式だと分かっていれば, a 1, a 2, a 3 a_1, a_2, a_3 で検算することで確証が得られるのでハッピーです。 Tag: 数学Bの教科書に載っている公式の解説一覧
Home 性格 【診断書出します】何て冷たい!非道!情け容赦ないの?「冷酷度チェック」 性格 444943 Views あなたは冷酷な人ですか、それとも温厚な人? この診断では「冷酷さ」にスポットをあてて、あなたの性格をチェックしてみます。 人間、多かれ少なかれ冷たい部分を持っているものです。 冷たいを通り越して、情け容赦ない「冷酷非道」「冷酷非情」「冷酷無比」なんて恐れられてしまう人もいるかもしれませんが、果たしてあなたは大丈夫でしょうか? あなたの冷酷度が一目でわかる診断書も発行しますので、ぜひご確認くださいね。 【診断書出します】何て冷たい!非道!情け容赦ないの?「冷酷度チェック」 Q1. あなたの友だちで、才能があるのに、実行力がぜんぜんない人がいます。「がんばれ!」と励ましても、「別にいいよ…」とやる気を見せません。さて、どうする? じゃあ放っておく というか、最初から励ましたりしない いやいや、やる気が出るまで尻を叩く! 手ぬるい! 殴ってでもやる気を出させる! むしろ、その才能がねたましい Q2. 昨年知り合った、一度あいさつした程度の知人から年賀状が届きました。返事はどうする? 必ず書く 気が向いたら書く 将来的に付き合っているとメリットがありそうなら書く たぶん書かない 絶対書かない Q3. あなたがひとりでショッピングモールをウロウロしていると、泣きじゃくっている迷子がいました。どうする? 迷子の手を引いて親を探してあげる 近くにいる店員さんに預ける ショッピングモールの迷子センターに連れて行く 別に気にならないのでスルーする 「チッ」と舌打ちする 「泣くな!」と迷子を一喝する Q4. 友だちの友だちは○○だ。さて、○○に入れる言葉を次から選ぶとしたら? みな友だち! 知り合い 他人 邪魔者 Q5. あなたはどこが弱い？「ココロの壊れ方診断」 | MIRRORZ(ミラーズ) 無料の心理テスト・診断・占い. 妙齢の女性がコンタクトレンズを落として困っています。どうする? 一緒に探してあげる 女性が美人なら一緒に探してあげる 完全にスルーする 「メガネをかけろ!メガネを!」と内心イラつく わざとそのあたりを歩いて邪魔をする Q6. スーパーのレジ待ちの列に並ぶ際、いちばん気にする要素は? レジ待ちの列の長さ レジの係員の熟練度 レジの係員のルックス 前に並んでいる人たちの買い物カゴの中身の量 別にどれも気にならない Q7. 同窓会には行くほう? 必ず行く 気が向いたら行く あまり行かない 絶対に行かない というか、同窓会に呼ばれない Q8.
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心の広さ、器の大きさが一瞬でわかっちゃう診断です。あなたの心は広いですか?狭いですか? 寛大さ、狭量さレベルを心理テストでチェックしちゃいましょう。寛容で懐の広さに自信がある人は挑戦してみて下さい。もしかしたら、心の闇が明らかになっちゃうかも…? 直感で答えてね。
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