「ユークリッドの平行線公準」という難問 ユークリッドの書いた本『原論』の中には、幾何学に関する公理が列挙されています。(ユークリッドは現代でいう「公理」をさらに分類して「公理」と「公準」とに分けていますが、現代ではこのような区別をせず、全て「公理」と扱います。)これをまずは見てみましょう。 ユークリッドは図形に関する公準(公理)として、次の5つを要請するとしています。 第1公準:『任意の一点から他の一点に対して線分を引くことができる』 第2公準:『線分を連続的にまっすぐどこまでも延長できる』 第3公準:『任意の中心と半径で円を描くことができる』 第4公準:『すべての直角は互いに等しい』 第5公準:『直線が二直線と交わるとき、同じ側の内角の和が2直角(180度)より小さい場合、その二直線は内角の和が2直角より小さい側で交わる』 この「第5公準」を使えば、「平行線の同位角は等しい」は比較的簡単に証明できます。この第5公準のことを「平行線公準」とも呼びます。 しかし、この 「第5公準」は他の公理と比べてもずいぶんと内容が複雑ですし、一見して明らかとも言いにくい ですよね。 実は古代の数学者たちもそう思っていました。この複雑な「公準」は、他の公理を用いて証明できる(つまり、公理ではなく定理である)のではないか? と考えたんです。 実際にプトレマイオスが証明を試みましたが、彼の「証明」は第5公準から導いた他の定理を使っており、循環論法になってしまっていました。 これ以降も数多くの数学者が証明を試みましたが、ことごとく失敗していきます。そして、『原論』からおよそ2000年もの間、「第5公準の証明」は数学上の未解決問題として残り続けたんです。 「平行線公準問題」はどう解決されたか この問題は19世紀になって、ロバチェフスキーとボーヤイという数学者によってようやく解決されましたが、その方法は 「曲面上の図形の性質を考察する」 という一見すると奇想天外なものでした。 平らな平面の話をしているのに、なぜ曲がった面の話が出てくるのか? その理屈はこういうことです。 曲面上に「点」や「直線」や「三角形」などの図形を設定する ある曲面上の図形について、 「第5公準」以外の全ての公理 を満たすようにすることができる しかし、この曲面上の図形は「第5公準」だけは満たさない この「曲面上の図形の性質」が矛盾を起こさないなら、「第5公準以外の公理」と「第5公準の否定」は両立できるということですから、第5公準は他の公理からはどうやっても証明できないことになります。こうして、 「ユークリッドの第5公準は証明できない」ことが証明されました。 こう聞くと、ちょっとだまされたような気分になる人もいるかもしれません。でも論理的におかしなところはありませんし、この「証明できないことの証明」は、きちんと数学的に正しいものとして受け入れられました。 この成果は「曲がった面の図形の性質を探る」という新しい「非ユークリッド幾何学」へと発展していきました。この理論がアインシュタインの一般相対性理論へと結び付いたのは 別のコラムの記事 でお話しした通りです。 もっと分かりやすい「公理」はないか?
こんにちは、ウチダショウマです。 今日は、中学2年生で習う 「平行線と角」 について、まずは $3$ つの角度 「錯角(さっかく)・同位角(どういかく)・対頂角(たいちょうかく)とは何か」 意味をしっかりと理解し、次に 平行線と角の性質 を証明し、最後に応用問題を解いていきます。 目次 錯角・同位角・対頂角の意味 まずは言葉の意味を理解するところからスタートです。 図を用いて一気に覚えてしまいましょう♪ ↓↓↓ <補足>高校以降の数学では、角度を、ギリシャ文字"α(アルファ)、β(ベータ)、γ(ガンマ)、…"を用いて表すことが多いので、それを採用します。 上の図で、 $∠α$ と①の位置関係を錯角、$∠α$ と②の位置関係を同位角、$∠α$ と③の位置関係を対頂角 と言います。 ここからわかるように、まずポイントなのが 「二つの角の位置関係を指す言葉」 だということです。 ですから、「これは錯角」や「それは同位角じゃない」という言い方はしません。 必ず、「これは~に対して錯角」や「それは…に対して同位角じゃない」というふうに表現するようにしましょう。 錯角・同位角の覚え方 さて、言葉の意味は理解できましたか? 平行線の錯角・同位角 標準問題. 対頂角は目の前にある角度なので、とてもわかりやすいです。 しかし、錯角・同位角はちょっとわかりづらいですよね…(^_^;) ここで、 よく出てくる覚え方 をご紹介いたします。 錯角というのは、 斜め向かいに位置する角 を指します。 よって、 アルファベットの「Z(ゼット)」 を図のように書き、折れ曲がるところで作られる二つの角度の位置関係になります。 視覚的にわかりやすくていいですね! <補足>上の図のような場合は、Zを反転させて書くことで、錯覚を見つけることができます。 同位角というのは、 同じ方位に向けて開く角 を指します。 漢字の成り立ちからもわかりやすいですね^^ もう一つオススメな覚え方は、 「 $∠α$ の錯角の対頂角が、$∠α$ の同位角になる」 という理解です。 図を見れば一目瞭然ですが、錯覚と同位角は向かい合ってますよね! 以上のことを踏まえたオススメの覚え方はこれです。 【錯角・同位角のオススメの覚え方】 錯角…Zを書く。 同位角…錯角の対頂角である。 次の章で「対頂角に常に成り立つ性質」について考えていきます。 それを見てからだと、なぜこの覚え方がオススメなのか理解できるかと思います。 スポンサーリンク 対頂角は常に等しいことの証明 【対頂角に成り立つ性質】 $∠a$ と $∠b$ が対頂角であるならば、$$∠a=∠b$$が成り立つ。 ※ここからはギリシャ文字をやめて、普通のアルファベットで記していきます。 なんと… 対頂角であれば等しくなります!
平行線はとてもおもしろい線です。 角度ページから平行線の問題だけここへ集めました。 平行線 平行線 図の中の平行線を探そう 平行線の性質(同位角) 平行線の作る角(錯角:Zの位置の角) 交わった線の作る角度 対頂角(たいちょうかく) 平行線の性質を使って 平行線と角の応用問題 平行線の間にある角度4 発展 平行線の間にある角度5 これは三角形の内角の和の学習が終わってからの問題です。
脳神経内科のクリニックです。 こんにちは。脳神経内科のクリニックです。 物忘れ、意識を失う、頭痛など、 脳の病気について診療いたしております。 一緒に安心の診療を行うスタッフ(看護師)を募集しております。 お気軽に お問い合わせ ください。 お知らせ 8月の休診日のお知らせ [2021. 07. 24更新] 都合により8月14日土曜日は休診とさせていただきます。 ご不便をおかけしますが、よろしくお願いいたします。 新型コロナウイルスワクチンの電話でのお問い合わせ [2021. 20更新] 新型コロナウイルスワクチンの可否について 主治医への確認は不要となっております。 恐れ入りますが、不安のある患者様は受診時にお尋ねください。 当院でのワクチン接種についても電話でのお問い合わせは ご遠慮ください。 円滑な通常診療のためご協力をお願いいたします。 新型コロナウイルスワクチンについて [2021. 05. 18更新] 新型コロナウイルスワクチンの接種が本格的になってまいりました。 てんかんで通院中の患者様については、特に接種自体に問題はないと 「日本てんかん学会」が指針を出しております。 (詳しくは 日本てんかん学会 のホームページをご参照ください) MRI検査について [2021. 恵比寿脳神経外科・内科クリニック | 渋谷区・目黒区 恵比寿駅1分 | 頭痛・めまい・脳神経外科・内科. 04. 19更新] タイミングにより、 MRI検査 の待ち時間が長くなる事があります。 恐れ入りますが、お時間に余裕をもって受診いただきますよう、 お願い申し上げます。 尚、予定のある方は、あらかじめお伝えください。 申し訳ありませんが、土曜日は検査ができませんので平日にご案内いたします。 看護師さん募集します [2021. 05更新] やわらかな笑顔とやさしい気持ちで お手伝いいただける方を募集しております。 脳神経内科に興味のある方、 お気軽にお問い合わせください。 お問い合わせは こちら から。 新しい脳波計が入りました! [2021. 02. 07更新] 当院に待望の最新式の脳波計が入りました。 詳しくは こちら をご覧ください。 当院のコロナ対策III [2021. 01. 27更新] 当院の、という訳ではありませんが、 連携病院である中村記念病院とNTT東日本札幌病院様において 新型コロナウイルス終息宣言が出されました。 引き続き対策を継続してまいりますが、 皆様も安心して受診いただけると思います。 電柱の案内表示 [2020.
ごあいさつ 新しい時代の幕開け直後の2019年6月に、恵比寿脳神経外科・内科クリニックを恵比寿駅前(西口)に開院させて頂くことになりました。 多くの方が悩んでおられる「頭痛」「睡眠時の無呼吸」「しびれや痛み」「ふるえ」「めまい」などの病気や症状は、適切な治療を行うことにより改善し、生活の質(QOL)が飛躍的に高まります。当クリニックでは、これらのありふれた脳の病気や症状をはじめ、あらゆる脳の病気に対し専門的医療を提供致します。 また、「脳を護る」ためには予防が第一です。そのためには、様々な生活習慣病(高血圧、高脂血症、糖尿病、高尿酸血症、不整脈など)をコントロールすることが極めて大切です。渋谷・目黒からのアクセスの良い当クリニックでは、これらの生活習慣病に対して専門的な内科診療、ならびに予防医学の立場から食事・運動・睡眠などの生活習慣の指導も行います。そして、今の健康状態を正確に知るための「脳ドック」や「内科健診」も併せて行います。
院長ブログを更新しました。 [2021. 04. 29更新] エムガルティ注射を開始しました 院長ブログを更新しました。 [2021. 22更新] 歩道橋撤去工事がはじまりました 5月1日(土)臨時休診のお知らせ [2021. 15更新] ご迷惑をおかけします.4月30日(金)は診療いたしますが,5月1日から5日まで休診させていただきます. インフルエンザワクチン予約再開 [2020. 11. 25更新] 11月25日午後から,インフルエンザワクチンの予約を再開します. 方南通り脳神経外科クリニック. お電話でも予約を受け付けています. 0297-48-0111までご連絡ください. インフルエンザワクチン予約休止のお知らせ [2020. 21更新] インフルエンザワクチンの電話予約をいったん休止させていただきます. 予約再開する際は,このホームページでお知らせをしますので,ご確認ください. (なお,当院では小学生以上に限定して実施しています.幼稚園以下のお子さんは接種できません) 当院で行っている治療 詳細は 「当院の特徴」のページ をご覧ください。 一般的な内科系疾患 高血圧,糖尿病,高コレステロール血症,痛風,肝障害,貧血,風邪、扁桃腺炎、発熱、疲れ・疲労、だるい、体重減少、立ちくらみ、食欲不振・減退、花粉症、蕁麻疹などについて,総合内科専門医である院長が診療にあたります. 脳神経内科の診療 めまい,頭痛,しびれ,歩行障害,ふるえ,意識消失,言語障害,物忘れ,嚥下障害などの症状について,脳神経内科専門医として診療にあたります.MRIなどの検査は当院で実施できます.診断ののち,投薬などの内科的な治療については当院で実施しますが,外科手術が必要だと判断された場合には,脳神経外科や整形外科に紹介します. 物忘れ(認知症)の診療 認知症学会専門医として,多角的に認知症を診断します.MRI検査も当院で実施できます.治療については,患者様・ご家族と相談しながらおこないます. リハビリテーション(記憶力・認知症・失語症・嚥下障害) リハビリテーション医学会専門医である院長のほかに,当クリニックには常勤の言語聴覚士と非常勤の臨床心理士が勤務しています.物忘れ・認知症・失語症・嚥下障害などのリハビリテーションを毎日実施しています.特に失語症のリハビリテーションは,他院を退院した患者さんや,他院での言語リハビリが終了となった患者さんでも,当院に通院してリハビリを実施できます(病名や発症からの期間によっては保険適応外になることがあります).なお,当院のリハビリテーションは予約制で,希望される方はいちど当院を受診していただく必要があります.ぜひお問い合わせください.