弧長 円弧や曲線の長さを,ざまざまな座標系および任意の複数次元で計算する. 一般的な曲線の弧長を計算する: 円の弧長 カージオイドの長さ 曲線の弧長を計算する: x=0 から1 の y=x^2 の弧長 x=-1からx=1までのe^-x^2の長さ 極座標で曲線を指定する: 極座標曲線 r=t*sin(t)の弧長 t=2からt=6 曲線をパラメトリックに指定する: t=0から2π の x(t)=cos^3 t, y(t)=sin^3 t の弧長 t=0から7 の範囲の曲線 {x=2cos(t), y=2sin(t), z=t} の長さ 任意の複数次元で弧長を計算する: 1〜π の(t, t, t, t^3, t^2)の弧長 More examples
ここで, \( \left| dx_{i} \right| \to 0 \) の極限を考えると, 微分の定義より \lim_{\left| dx_{i} \right| \to 0} \frac{dy_{i}}{dx_{i}} & = \lim_{\left| dx_{i} \right| \to 0} \frac{ y( x_{i+1}) – y( x_{i})}{ dx_{i}} \\ &= \frac{dy}{dx} である. ところで, \( \left| dx_{i}\right| \to 0 \) の極限は曲線の分割数 を とする極限と同じことを意味しているので, 曲線の長さは積分に置き換えることができ, &= \lim_{n \to \infty} \sum_{i=0}^{n-1} \sqrt{ 1 + \left( \frac{dy_{i}}{dx_{i}} \right)^2} dx_{i} \\ &= \int_{x=x_{A}}^{x=x_{B}} \sqrt{ 1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2} dx と表すことができる [3]. 曲線の長さ 積分 サイト. したがって, 曲線を表す関数 \(y=f(x) \) が与えられればその導関数 \( \displaystyle{ \frac{df(x)}{dx}} \) を含んだ関数を積分することで (原理的には) 曲線の長さを計算することができる [4]. この他にも \(x \) や \(y \) が共通する 媒介変数 (パラメタ)を用いて表される場合について考えておこう. \(x, y \) が媒介変数 \(t \) を用いて \(x = x(t) \), \(y = y(t) \) であらわされるとき, 微小量 \(dx_{i}, dy_{i} \) は媒介変数の微小量 \(dt_{i} \) で表すと, \begin{array}{l} dx_{ i} = \frac{dx_{i}}{dt_{i}} \ dt_{i} \\ dy_{ i} = \frac{dy_{i}}{dt_{i}} \ dt_{i} \end{array} となる. 媒介変数 \(t=t_{A} \) から \(t=t_{B} \) まで変化させる間の曲線の長さに対して先程と同様の計算を行うと, 次式を得る. &= \lim_{n \to \infty} \sum_{i=0}^{n-1} \sqrt{ \left( \frac{dx_{i}}{dt_{i}}\right)^2 + \left( \frac{dy_{i}}{dt_{i}}\right)^2} dt_{i} \\ \therefore \ l &= \int_{t=t_{A}}^{t=t_{B}} \sqrt{ \left( \frac{dx}{dt}\right)^2 + \left( \frac{dy}{dt}\right)^2} dt \quad.
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したがって, 曲線の長さ \(l \) は細かな線分の長さとほぼ等しく, \[ \begin{aligned} & dl_{0} + dl_{1} + \cdots + dl_{n-1} \\ \to \ & \ \sum_{i=0}^{n-1} dl_{i} = \sum_{i=0}^{n-1} \sqrt{ \left( x_{i+1} – x_{i} \right)^2 + \left( y_{i+1} – y_{i} \right)^2} \end{aligned} \] で表すことができる. 最終的に \(n \to \infty \) という極限を行えば \[ l = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=0}^{n-1} \sqrt{ \left( x_{i+1} – x_{i} \right)^2 + \left( y_{i+1} – y_{i} \right)^2} \] が成立する. 曲線の長さ 積分. さらに, \[ \left\{ \begin{aligned} dx_{ i} &= x_{ i+1} – x_{ i} \\ dy_{ i} &= y_{ i+1} – y_{ i} \end{aligned} \right. \] と定義すると, 曲線の長さを次のように式変形することができる. l &= \lim_{n \to \infty} \sum_{i=0}^{n-1} \sqrt{ {dx_{i}}^2 + {dy_{i}}^2} \\ &= \lim_{n \to \infty} \sum_{i=0}^{n-1} \sqrt{ \left\{ 1 + \left( \frac{dy_{i}}{dx_{i}} \right)^2 \right\} {dx_{i}}^2} \\ &= \lim_{n \to \infty} \sum_{i=0}^{n-1} \sqrt{ 1 + \left( \frac{dy_{i}}{dx_{i}} \right)^2} dx_{i} 曲線の長さを表す式に登場する \( \displaystyle{ \frac{dy_{i}}{dx_{i}}} \) において \(y_{i} = y(x_{i}) \) であることを明確にして書き下すと, \[ \frac{dy_{i}}{dx_{i}} = \frac{ y( x_{i+1}) – y( x_{i})}{ dx_{i}} \] である.
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