文部科学省発行「高等学校情報科『情報Ⅰ』教員研修用教材」の「学習16」にある「確定モデルと確率モデル」では確率モデルを使ったシミュレーション手法としてモンテカルロ法による円周率の計算が紹介されています。こちらの内容をJavaScriptとグラフライブラリのPlotly. jsで学習する方法を紹介いたします。 サンプルプロジェクト モンテカルロ法による円周率計算(グラフなし) (zip版) モンテカルロ法による円周率計算(グラフあり) (zip版) その前に、まず、円周率の復習から説明いたします。 円周率とはなんぞや? 円の面積や円の円周の長さを求めるときに使う、3. モンテカルロ法 円周率 原理. 14…の数字です、π(パイ)のことです。 πは数学定数の一つだそうです。JavaScriptではMathオブジェクトのPIプロパティで円周率を取ることができます。 alert() 正方形の四角形の面積と円の面積 正方形の四角形の面積は縦と横の長さが分かれば求められます。 上記の図は縦横100pxの正方形です。 正方形の面積 = 縦 * 横 100 * 100 = 10000です。 次に円の面積を求めてみましょう。 こちらの円は直径100pxの円です、半径は50です。半径のことを「r」と呼びますね。 円の面積 = 半径 * 半径 * π πの近似値を「3」とした場合 50 * 50 * π = 2500π ≒ 7500 です。 当たり前ですが正方形の方が円よりも面積が大きいことが分かります。図で表してみましょう。 どうやって円周率を求めるか? まず、円の中心から円周に向かって線を何本か引いてみます。 この線は中心から見た場合、半径の長さであり、今回の場合は「50」です。 次に、中心から90度分、四角と円を切り出した次の図形を見て下さい。 モンテカルロ法による円周率の計算では、この図に乱数で点を打つ 上記の図に対して沢山の点をランダムに打ちます、そして円の面積に落ちた点の数を数えることで円周率が求まります!
0: point += 1 pi = 4. 0 * point / N print(pi) // 3. 104 自分の環境ではNを1000にした場合は、円周率の近似解は3. 104と表示されました。 グラフに点を描写していく 今度はPythonのグラフ描写ライブラリであるmatplotlibを使って、上記にある画像みたいに点をプロットしていき、画像を出力させていきます。以下が実際のソースです。 import as plt (x, y, "ro") else: (x, y, "bo") // 3. モンテカルロ法で円周率を求めるのをPythonで実装｜shimakaze_soft｜note. 104 (). set_aspect( 'equal', adjustable= 'box') ( True) ( 'X') ( 'Y') () 上記を実行すると、以下のような画像が画面上に出力されるはずです。 Nの回数を減らしたり増やしたりしてみる 点を打つ回数であるNを減らしたり、増やしたりしてみることで、徐々に円の形になっていく様子がわかっていきます。まずはNを100にしてみましょう。 //ここを変える N = 100 () Nの回数が少ないため、これではまだ円だとはわかりづらいです。次にNを先程より100倍して10000にしてみましょう。少し時間がかかるはずです。 Nを10000にしてみると、以下の画像が生成されるはずです。綺麗に円だとわかります。 標準出力の結果も以下のようになり、円周率も先程より3. 14に近づきました。 試行回数: 10000 円周率: 3. 1592 今回はPythonを用いて円周率の近似解を求めるサンプルを実装しました。主に言語やフレームワークなどのベンチマークテストなどの指標に使われたりすることもあるそうです。 自分もフレームワークのパフォーマンス比較などに使ったりしています。 参考資料
5)%% 0. 5 yRect <- rnorm(1000, 0, 0. 5 という風に xRect, yRect ベクトルを指定します。 plot(xRect, yRect) と、プロットすると以下のようになります。 (ここでは可視性重視のため、点の数を1000としています) 正方形っぽくなりました。 3. で述べた、円を追加で描画してみます。 上図のうち、円の中にある点の数をカウントします。 どうやって「円の中にある」ということを判定するか? 答えは、前述の円の関数、 より明らかです。 # 変数、ベクトルの初期化 myCount <- 0 sahen <- c() for(i in 1:length(xRect)){ sahen[i] <- xRect[i]^2 + yRect[i]^2 # 左辺値の算出 if(sahen[i] < 0. 25) myCount <- myCount + 1 # 判定とカウント} これを実行して、myCount の値を4倍して、1000で割ると… (4倍するのは2. より、1000で割るのも同じく2. より) > myCount * 4 / 1000 [1] 3. 128 円周率が求まりました。 た・だ・し! 我々の知っている、3. 14とは大分誤差が出てますね。 それは、点の数(サンプル数)が小さいからです。 ですので、 を、 xRect <- rnorm(10000, 0, 0. モンテカルロ法で円周率を求める？（Ruby） - Qiita. 5 yRect <- rnorm(10000, 0, 0. 5 と安直に10倍にしてみましょう。 図にすると ほぼ真っ黒です(色変えれば良い話ですけど)。 まあ、可視化はあくまでイメージのためのものですので、ここではあまり深入りはしません。 肝心の、円周率を再度計算してみます。 > myCount * 4 / length(xRect) [1] 3. 1464 少しは近くなりました。 ただし、Rの円周率(既にあります(笑)) > pi [1] 3. 141593 と比べ、まだ誤差が大きいです。 同じくサンプル数をまた10倍してみましょう。 (流石にもう図にはしません) xRect <- rnorm(100000, 0, 0. 5 yRect <- rnorm(100000, 0, 0. 5 で、また円周率の計算です。 [1] 3. 14944 おっと…誤差が却って大きくなってしまいました。 乱数の精度(って何だよ)が悪いのか、アルゴリズムがタコ(とは思いたくないですが)なのか…。 こういう時は数をこなしましょう。 それの、平均値を求めます。 コードとしては、 myPaiFunc <- function(){ x <- rnorm(100000, 0, 0.
146になりましたが、プロットの回数が少ないとブレます。 JavaScriptとPlotly. jsでモンテカルロ法による円周率の計算を散布図で確認 上記のプログラムを散布図のグラフにすると以下のようになります。 ソースコード グラフライブラリの読み込みやラベル名の設定などがあるためちょっと長くなりますが、モデル化の部分のコードは先ほどと、殆ど変わりません。