コーシー・シュワルツの不等式は、大学入試でもよく取り上げられる重要な不等式 です。 今回は\( n=2 \) の場合のコーシー・シュワルツの不等式を、4通りの方法で証明をしていきます。 コーシーシュワルツの不等式の使い方については、以下の記事に詳しく解説しました。 コーシーシュワルツの不等式の使い方を分かりやすく解説! この記事では、数学検定1級を所持している管理人が、コーシーシュワルツの不等式の使い方について分かりやすく... コーシ―・シュワルツの不等式 \[ {\displaystyle(\sum_{i=1}^n a_i^2)}{\displaystyle(\sum_{i=1}^n b_i^2)}\geq{\displaystyle(\sum_{i=1}^n a_ib_i)^2} \] (\( n=2 \) の場合) (a^2+b^2)(x^2+y^2)≧(ax+by)^2%&(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)\geq(ax+by+cz)^2 \] しっかりと覚えて、入試で使いこなしたい不等式なのですが、この不等式、ちょっと覚えにくいですよね。 実は、 コーシー・シュワルツの不等式の本質は内積と同じです。 したがって、 内積を使ってこの不等式を導く方法を身につけることで、確実に覚えやすくなるはずです。 また、この不等式を 2次方程式の判別式 で証明する方法もあります。私が初めてこの証明方法を知ったときは 感動しました! とても興味深い証明方法です。 様々な導き方を身につけて数学の世界が広げていきましょう!
但し, 2行目から3行目の変形は2項の場合のコーシー・シュワルツの不等式を利用し, 3行目から4行目の変形は仮定を利用しています.
コーシー・シュワルツ(Cauchy-Schwartz)の不等式 ・ 等号は のときのみ. ・ 等号は のときのみ. ・ 等号は のときのみ. 但し, は実数. 和の記号を使って表すと, となります. 例題. 問. を満たすように を変化させるとき, の取り得る最大値を求めよ. このタイプの問題は普通は とおいて,この式を直線の方程式と見なすことで,円 と交点を持つ状態で動かし,直線の 切片の最大値を求める,ということをします. しかし, コーシー・シュワルツの不等式を使えば簡単に解けます. コーシー・シュワルツの不等式より, \begin{align} (2^2+3^2)(x^2+y^2)\geqq (2x+3y)^2 \end{align} ところで, なので上の不等式の左辺は となり, \begin{align} 13\geqq(2x+3y)^2 \end{align} よって, \begin{align} 2x+3y \leqq \sqrt{13} \end{align} となり最大値は となります. コーシー・シュワルツの不等式の証明. この不等式にはきれいな証明方法があるので紹介します. (この方法以外にも, 帰納法 でも証明できます.それは別の記事で紹介します.) 任意の実数 に対して, \begin{align} f(t)=\sum_{k=1}^{n}(a_kt+b_k)^2\geqq 0 \end{align} が成り立つ(実数の2乗は非負). 左辺を展開すると, \begin{align} \left(\sum_{k=1}^{n}a_k^2\right)t^2+2\left(\sum_{k=1}^{n}a_kb_k\right)t+\left(\sum_{k=1}^{n}b_k^2\right)\geqq 0 \end{align} これが任意の について成り立つので, の判別式を とすると が成り立ち, \begin{align} \left(\sum_{k=1}^{n}a_kb_k\right)^2-\left(\sum_{k=1}^{n}a_k^2\right)\left(\sum_{k=1}^{n}b_k^2\right)\leqq 0 \end{align} よって, \begin{align} \left(\sum_{k=1}^{n} a_k^2\right)\left(\sum_{k=1}^{n} b_k^2\right)\geqq\left(\sum_{k=1}^{n} a_kb_k\right)^2 \end{align} その他の形のコーシー・シュワルツの不等式 コーシー・シュワルツの不等式というと上で紹介したものが有名ですが,実はほかに以下のようなものがあります.
リスニングは対策をしておけば高確率で安定して点数が取れる問題です。ぜひ、秋以降は「英語を音声で聞く」ことにも力を入れてみてください。文章を読むときには音読をすることも効果的です。 都立入試過去問以外だと 英検3級用の問題集についているリスニングCD ( など)はオススメです。耳から英語を聞くことに慣れているだけで、リスニングが一気に得意になるはずです。 問題(Question)を聞くときは、 WとHから始まる疑問詞 を聞き洩らさないようにしましょう。過去5年間、すべての質問は下の8つの疑問詞が使われています。 What(なにを) Who(だれが) When(いつ) Where(どこで) Why(なぜ) Which(どの) Whose(だれの) How(どのように) 3. 大問2 図表を用いた問題+英作文 24点(3問×4点+12点) 図表が入った文章やEメールの本文を読んで、設問に答える問題が3題×4点で12点出ています。 文章量は多少ありますが、設問と関係のない文章や図表が大半であり、 設問のポイントとなるところを見つけることができれば1分で解ける問題 です。よって、まずは問題から読んでください。 その中に固有名詞やキーワードになる単語があれば、まずはその語句を文章から探して下さい。必ず答えはその近辺にあります。 また、テーマに合った文章を3文書く(一文=4点の12点)の英作文が必ず出ています。 選択問題は得意でも自由英作文になると全く手を動かすことができない生徒もいますが、とてももったいないことだといつもプラスジムでは指導しています。 毎年出てくるテーマは「手紙を書く、意見を書く、紹介する」など日常にありふれた内容でイメージも沸きやすいですし、テーマと文章の流れに合っていれば、「I Like soccer. 」の一文を書くだけで4点がもらえるからです。 毎日今日あった出来事を、3文で書くトレーニング をしてください。教科書や問題集を見れば、使える文章はたくさん出てきます。一つの文章の書き方を覚えてしまえば、単語を変えるだけで幅広いテーマに応用できます。必ず12点取りましょう!
大問3 対話文 28点(4点×7問) 大問3は複数名(令和2年度はクラスメート3人)の会話文を読んでの選択問題が7問です。文章自体は難しい文章ではないですが、登場人物が自由に会話していくため、話の流れ(誰が、何を話しているのか)が読みにくく、混乱が生じます。 また、会話文特有の表現(言葉の省略やフランクな言い回しなど)は慣れていないと意味が取りにくい部分もあります。 対策としては、 問題文から読み、本文の該当箇所の前後から4択に合うものを探し、なければ範囲を広げる のが効率的です。 (1)~(5)は毎年下線部に関する問題なので文章中から探すのは容易です。 文章量自体は多いですが、内容はとても基本的な構成になっていて、 下線部の前後、さらに言うとその段落内にしか答えはありません。 一問2分程度で5問解き、あとの5分で全体を見ながら残りの2題を解くイメージです。 時間配分をよくよく考えながら、過去問にチャレンジしてください。 5. 大問4 物語文 28点(4点×7問) 大問4は物語文・説明文です。比較的長い文書を読み、選択問題7問に答えます。 東京都立高校入試の大問4の特徴は、 下線部の内容を問われる大問3と違い、文章全体把握の力が問われる ことです。 例えば「ア~エを文章の流れに沿って並べ替えなさい」や「文章に合うものを答えなさい」など全体の流れをつかんでおかないと答えられない問題が多いです。 題意をつかむという意味では、 読み始める前に問題と選択肢を確認しておくことは当然ですが、文章の最後についている〔注〕のところをも必ず目を通しましょう 。 大体の流れが把握できることが多いです。 数学の様な正答率10%以下の問題は英語にはでないことが大半です。(令和2年度の最低正答率はリスニングB記述の17. 5%)。 ほかの大問と比べて大問正答率が低くなりがちな大問4ですが、それでも41. 0%の大問正答率です。 合否を分けるのは、読むスピードでしょう。 普段から時間を決めて文章を読み、速読に慣れておくことをオススメします。
(私はそれはとてもいいものだと思います) ③I was happy to learn about the japanese culture. (私は日本の文化について知ることができて幸せです) したいことについての文 ①I want to [動詞] 〇〇. ②It is because I am going to be 〇〇. ③I need to study harder things. 例) ①I want to study math. (私は数学が勉強したいです) ②It is because I am going to be high scool student. (なぜなら高校生になりたいからです) ③I need to study harder things. (私にはたくさん勉強する必要があります)