$n=3$ $n=5$ $n=7$ の証明 さて、$n=4$ のフェルマーの最終定理の証明でも十分大変であることは感じられたかと思います。 ここで、歴史をたどっていくと、1760年にオイラーが $n=3$ について証明し、1825年にディリクレとルジャンドルが $n=5$ について完全な証明を与え、1839~1840年にかけてラメとルベーグが $n=7$ について証明しました。 ここで、$n=7$ の証明があまりに難解であったため、個別に研究していくのはこの先厳しい、という考えに至りました。 つまり、 個別研究の時代の幕は閉じた わけです。 さて、新しい研究の時代は幕を開けましたが、そう簡単に研究は進みませんでした。 しかし、時は20世紀。 なんと、ある日本人二人の研究結果が、フェルマーの最終定理の証明に大きく貢献したのです! 世界の数学者の理解を超越していた「ABC予想」 査読にも困難をきわめた600ページの大論文(4/6) | JBpress (ジェイビープレス). それも、方程式を扱う代数学的アプローチではなく、なんと 幾何学的アプローチ がフェルマーの最終定理に決着をつけたのです! フェルマーの最終定理の完全な証明 ここでは楽しんでいただくために、証明の流れのみに注目し解説していきます。 まず、 「楕円曲線」 と呼ばれるグラフがあります。 この楕円曲線は、実数 $a$、$b$、$c$ を用いて$$y^2=x^3+ax^2+bx+c$$と表されるものを指します。 さて、ここで 「谷山-志村の予想」 が登場します! (谷山-志村の予想) すべての楕円曲線は、モジュラーである。 【当時は未解決】 さて、この予想こそ、フェルマーの最終定理を証明する決め手となるのですが、いったいどういうことなんでしょうか。 ※モジュラーについては飛ばします。ある一種の性質だとお考え下さい。 まず、 「フェルマーの最終定理は間違っている」 と仮定します。 すると、$$a^n+b^n=c^n$$を満たす自然数の組 $(a, b, c, n)$ が存在することになります。 ここで、楕円曲線$$y^2=x(x-a^n)(x+b^n)$$について考えたのが、数学者フライであるため、この曲線のことを「フライ曲線」と呼びます。 また、このようにして作ったフライ曲線は、どうやら 「モジュラーではない」 らしいのです。 ここまでの話をまとめます。 谷山-志村予想を証明できれば、命題の対偶も真となるから、 「モジュラーではない曲線は楕円曲線ではない。」 となります。 よって、これはモジュラーではない楕円曲線(フライ曲線)が作れていることと矛盾しているため、仮定が誤りであると結論づけられ、背理法によりフェルマーの最終定理が正しいことが証明できるわけです!
三平方の定理 \[ x^2+y^2 \] を満たす整数は無数にある. \( 3^2+4^2=5^2 \), \(5^2+12^2=13^2\) この両辺を z^2 で割った \[ (\frac{x}{z})^2+(\frac{y}{z})^2=1 \] 整数x, y, z に対し有理数s=x/z, t=y/zとすれば,半径1の円 s^2+t^2=1 となる. つまり,原点を中心とする半径1の円の上に有理数(分数)の点が無数にある. これは 円 \[ x^2+y^2=1 \] 上の点 (-1, 0) を通る傾き t の直線 \[ y=t(x+1) \] との交点を使って,\((x, y)\) をパラメトライズすると \[ \left( \frac{1-t^2}{1+t^2}, \, \frac{2t}{1+t^2} \right) \] となる. フェルマーの最終定理とは？証明の論文の理解のために超わかりやすく解説！ | 遊ぶ数学. ここで t が有理数ならば,有理数の加減乗除は有理数なので,円上の点 (x, y) は有理点となる.よって円上には無数の有理点が存在することがわかる.有理数の分母を払えば,三平方の定理を満たす無数の整数が存在することがわかる. 円の方程式を t で書き直すと, \[ \left( \frac{1-t^2}{1+t^2}\right)^2+\left(\frac{2t}{1+t^2} \right)^2=1 \] 両辺に \( (1+t^2)^2\) をかけて分母を払うと \[ (1-t^2)^2+(2t)^2=(1+t^2)^2 \] 有理数 \( t=\frac{m}{n} \) と整数 \(m, n\) で書き直すと, \[ \left(1-(\frac{m}{n})^2\right)^2+\left(2(\frac{m}{n})\right)^2=\left(1+(\frac{m}{n})^2\right)^2 \] 両辺を \( n^4 \)倍して分母を払うと \[ (n^2-m^2)^2+(2mn)^2=(n^2+m^2)^2 \] つまり3つの整数 \[ x=n^2-m^2 \] は三平方の定理 \[ x^2+y^2=z^2 \] を満たす.この m, n に順次整数を入れていけば三平方の定理を満たす3つの整数を無限にたくさん見つけられる. \( 3^2+4^2=5^2 \) \( 5^2+12^2=13^2 \) \( 8^2+15^2=17^2 \) \( 20^2+21^2=29^2 \) \( 9^2+40^2=41^2 \) \( 12^2+35^2=37^2 \) \( 11^2+60^2=61^2 \) … 古代ギリシャのディオファントスはこうしたことをたくさん調べて「算術」という本にした.
フェルマーの最終定理(n=4)の証明【無限降下法】 - YouTube
フェルマー予想 の証明PDFと,その概要を理解するための数論幾何の資料。 フェルマー予想とは?
試しに、この公式①に色々代入してみましょう。 $m=2, n=1 ⇒$ \begin{align}(a, b, c)&=(2^2-1^2, 2×2×1, 2^2+1^2)\\&=(3, 4, 5)\end{align} $m=3, n=2 ⇒$ \begin{align}(a, b, c)&=(3^2-2^2, 2×3×2, 3^2+2^2)\\&=(5, 12, 13)\end{align} $m=4, n=1 ⇒$ \begin{align}(a, b, c)&=(4^2-1^2, 2×4×1, 4^2+1^2)\\&=(15, 8, 17)\end{align} $m=4, n=3 ⇒$ \begin{align}(a, b, c)&=(4^2-3^2, 2×4×3, 4^2+3^2)\\&=(7, 24, 25)\end{align} ※これらの数式は横にスクロールできます。(スマホでご覧の方対象。) このように、 $m-n$ が奇数かつ $m, n$ が互いに素に気をつけながら値を代入していくことで、原始ピタゴラス数も無限に作ることができる! という素晴らしい定理です。 ≫参考記事:ピタゴラス数が一発でわかる公式【証明もあわせて解説】 さて、この定理の証明は少々面倒です。 特に、この定理は 必要十分条件であるため、必要性と十分性の二つに分けて証明 しなければなりません。 よって、ここでは余白が狭すぎるため、参考文献を載せて次に進むことにします。 十分性の証明⇒ 参考文献1 必要性の証明のヒント⇒ 参考文献2 ピタゴラス数の性質など⇒ Wikipedia 少しだけ、十分性の証明の概要をお話すると、$$a^2+b^2=c^2$$という式の形から、$$a:奇数、b:偶数、c:奇数$$が証明できます。 また、この式を移項などを用いて変形していくと、 \begin{align}b^2&=c^2-a^2\\&=(c+a)(c-a)\\&=4(\frac{c+a}{2})(\frac{c-a}{2})\end{align} となり、この式を利用すると、$$\frac{c+a}{2}, \frac{c-a}{2}がともに平方数$$であることが示せます。 ※$b=2$ ではないことだけ確認してから、背理法で示すことが出来ます。 $n=4$ の証明【フェルマー】 さて、いよいよ準備が終わりました!
57 ID:uGtHvNR50? 2BP(2000) 刑事告訴しないとか腐りきってるな 96 アイアンフィンガーフロムヘル (茸) [ニダ] 2020/11/01(日) 12:45:53. 08 ID:ceELQb4M0 ユニセフとかだってあんだけバンバンCM流しているんだぞ! 局だってボランティアでCM流している訳じゃ無いだろ! その金で栄養補助食品買ってやれよと思う。 97 ミッドナイトエクスプレス (岐阜県) [ニダ] 2020/11/01(日) 13:00:10. 70 ID:85nPktUE0 >>91 生協法ってのも 特定の政党のために組合を利用してはならないこと こんな規定があるのに思いっきり一部政党に偏っていたりする 農協やコープや他にどんなのありますか。 公益や公共などと文字が入っていても、本来のその特別な法人格に該当しない ただの金儲け・利権集団・政治活動団体であったりする場合もあるのではないですか? 今回の緑の羽募金もその団体が表向きの説明ではなく、現実の実態が政治的・利権集団であるかは 自治会住人からは見極めしずらく、一部勢力でしかないのに公共の文字に騙されている 場合もあるかもしれません。 従って緑の募金を自治会で義務的に徴収する事はやめるべきだと考えます。 98 稲妻レッグラリアット (東京都) [US] 2020/11/01(日) 13:08:14. 「ギャンブルで金が必要」募金385万を着服した市職員を懲戒免職. 96 ID:i8XMFiUO0 ギャンブルやめるには引きこもりになるしかない。仕事以外は家に引きこもるのだ。ソースは俺くん >>38 LOTOを買う方が良い 堅実に行くなら約16万分の1で数千万が狙えるミニロト 5千万以上億万を狙うなら約600万分の1のロト6 億万以上十億万を狙うなら約1000万分の1のロト7 ちなみに宝くじ板に退職金を全額BIGにぶち込んで一等とった輩がいる 100 ミッドナイトエクスプレス (岐阜県) [ニダ] 2020/11/01(日) 13:11:26. 29 ID:85nPktUE0 >>97 >ただの金儲け・利権集団・政治活動団体であったり →ただの金儲け・利権集団・政治活動団体・" 宗教系団体 "であったり
7月3日(金) 本日の様子2 【全校】 2020-07-03 15:00 up! 7月3日(金) 児童集会 今日の児童集会では、総務委員会(児童会役員)より、今年度の東部小学校のスローガンを発表しました。 本来であれば、全校児童からいろいろと意見を募ってスローガンを決めるのですが、今年は休校期間が長く、話し合いもできない状況なので、昨年度のスローガンを引き続き採用することにしました。 スローガンは「育てようやさしさの種 咲かせよう笑顔の花」です。 東部小学校が、優しい気持ちをもった児童でいっぱいになり、笑顔あふれる学校になるように、みんなでこのスローガンのもと、一年間頑張りましょう。 1枚目:スローガンを発表している児童会役員 2枚目、3枚目:教室に示されたスローガン 【全校】 2020-07-03 12:39 up! 7月2日(木) 本日の様子 今週は、病気による欠席者数が1桁という日が多いです。みんな、本当に頑張ってますが、無理はしないようにしましょうね。 コロナ感染防止のための手洗い、消毒等に加えて、熱中症の予防もしっかりとしていきましょう。 1枚目:1年生が、願い事を書いた札を付けながら、七夕の飾り付けを行っていました。まもなく全クラスできあがるのでしょうか。 2枚目:3年生が視力検査中。目を大切にしたいですね。 3枚目:5年生が、メダカの卵を顕微鏡で観察していました。どんな風にみえたかな? 【全校】 2020-07-02 14:45 up! 7月1日(水) 7月スタート! 7月に入りました。学校が再開してからまだ1ヶ月なので、「もう7月! ?」という感じです。 例年ならば、あと少しで「夏休み」なんですが、今年は1学期の終わりがいつもより遅いので、あと一踏ん張りですね。 梅雨の湿気や暑さによる体調不良が心配ですので、しっかり食べて栄養をとり、十分睡眠をとって、夏休みまでの残りの日を、しっかり乗り切りましょう!! 1枚目:今から理科の観察に行ってきま~す。(4年生) 2枚目:1年生の各教室には、児童が作った飾り付けがあります。上手にできていますね。 3枚目:2年生が音楽で、山びこの歌を私に聞かせてくれました。交互に立ったり座ったりして、山びこを表すように、歌っていました。 【全校】 2020-07-01 15:06 up! 6月30日(火) 緑の羽根募金(緑化委員会) 先週一週間、緑化委員会による緑の羽根募金を行いました。 毎朝、緑化委員のもつ募金箱に、児童のみなさんが協力的に募金をしました。 その甲斐もあり、集金額を数えたところ、約2万7千円集まりました。 この募金で集まったお金のうちいくらかは本校に還元されるので、緑化活動に活用していきます。 ご協力ありがとうございました。 写真は、募金活動を頑張っている緑化委員です。 (例年のごとく、校長室にも募金を求めて、毎日やってきました) 【全校】 2020-06-30 11:40 up!
6月10日(水) 本日の様子2 その他の様子です。 1枚目:1年生がダンスをしているかと思ったら、体全体を使ってひらがなの「ね」の形を学習してました。 2枚目:今年はスポーツテストをする時間が学校全体でとれなかったので、各学級が体育の時間に少しずつ進めています。5年生が長座体前屈を計測していました。 3枚目:ラニー先生と外国語の授業中。 【全校】 2020-06-10 14:31 up!