こんにちは、ウチダです。 今回は、数Ⅰ「データの分析」の応用のお話である 「最小二乗法」 について、公式の導出を 高校数学の範囲でわかりやすく 解説していきたいと思います。 目次 最小二乗法とは何か? まずそもそも「最小二乗法」ってなんでしょう… ということで、こちらの図をご覧ください。 今ここにデータの大きさが $n=10$ の散布図があります。 数学Ⅰの「データの分析」の分野でよく出される問題として、このようななんとな~くすべての点を通るような直線が書かれているものが多いのですが… 皆さん、こんな疑問は抱いたことはないでしょうか。 そもそも、この直線って どうやって 引いてるの? 最小二乗法とは？公式の導出をわかりやすく高校数学を用いて解説！【平方完成の方法アリ】 | 遊ぶ数学. よくよく考えてみれば不思議ですよね! まあたしかに、この直線を書く必要は、高校数学の範囲においてはないのですが… 書けたら 超かっこよく ないですか!? (笑) 実際、勉強をするうえで、そういう ポジティブな感情はモチベーションにも成績にも影響 してきます!
1 \end{align*} したがって、回帰直線の傾き $a$ は 1. 1 と求まりました ステップ 6:y 切片を求める 最後に、回帰直線の y 切片 $b$ を求めます。ステップ 1 で求めた平均値 $\overline{x}, \, \overline{y}$ と、ステップ 5 で求めた傾き $a$ を、回帰直線を求める公式に代入します。 \begin{align*} b &= \overline{y} - a\overline{x} \\[5pt] &= 72 - 1. 1 \times 70 \\[5pt] &= -5. 0 \end{align*} よって、回帰直線の y 切片 $b$ は -5. 最小二乗法の意味と計算方法 - 回帰直線の求め方. 0(単位:点)と求まりました。 最後に、傾きと切片をまとめて書くと、次のようになります。 \[ y = 1. 1 x - 5. 0 \] これで最小二乗法に基づく回帰直線を求めることができました。 散布図に、いま求めた回帰直線を書き加えると、次の図のようになります。 最小二乗法による回帰直線を書き加えた散布図
まとめ 最小二乗法が何をやっているかわかれば、二次関数など高次の関数でのフィッティングにも応用できる。 :下に凸になるのは の形を見ればわかる。
分母が$0$(すなわち,$0$で割る)というのは数学では禁止されているので,この場合を除いて定理を述べているわけです. しかし,$x_1=\dots=x_n$なら散布図の点は全て$y$軸に平行になり回帰直線を描くまでもありませんから,実用上問題はありませんね. 最小二乗法の計算 それでは,以上のことを示しましょう. 行列とベクトルによる証明 本質的には,いまみた証明と何も変わりませんが,ベクトルを用いると以下のようにも計算できます. この記事では説明変数が$x$のみの回帰直線を考えましたが,統計ではいくつもの説明変数から回帰分析を行うことがあります. この記事で扱った説明変数が1つの回帰分析を 単回帰分析 といい,いくつもの説明変数から回帰分析を行うことを 重回帰分析 といいます. 説明変数が$x_1, \dots, x_m$と$m$個ある場合の重回帰分析において,考える方程式は となり,この場合には$a, b_1, \dots, b_m$を最小二乗法により定めることになります. しかし,その場合には途中で現れる$a, b_1, \dots, b_m$の連立方程式を消去法や代入法から地道に解くのは困難で,行列とベクトルを用いて計算するのが現実的な方法となります. 回帰分析の目的｜最小二乗法から回帰直線を求める方法. このベクトルを用いた証明はそのような理由で重要なわけですね. 決定係数 さて,この記事で説明した最小二乗法は2つのデータ$x$, $y$にどんなに相関がなかろうが,計算すれば回帰直線は求まります. しかし,相関のない2つのデータに対して回帰直線を求めても,その回帰直線はあまり「それっぽい直線」とは言えなさそうですよね. 次の記事では,回帰直線がどれくらい「それっぽい直線」なのかを表す 決定係数 を説明します. 参考文献 改訂版 統計検定2級対応 統計学基礎 [日本統計学会 編/東京図書] 日本統計学会が実施する「統計検定」の2級の範囲に対応する教科書です. 統計検定2級は「大学基礎科目(学部1,2年程度)としての統計学の知識と問題解決能力」という位置付けであり,ある程度の数学的な処理能力が求められます. そのため,統計検定2級を取得していると,一定以上の統計的なデータの扱い方を身に付けているという指標になります. 本書は データの記述と要約 確率と確率分布 統計的推定 統計的仮説検定 線形モデル分析 その他の分析法-正規性の検討,適合度と独立性の$\chi^2$検定 の6章からなり,基礎的な統計的スキルを身につけることができます.
例えば,「気温」と「アイスの売り上げ」のような相関のある2つのデータを考えるとき,集めたデータを 散布図 を描いて視覚的に考えることはよくありますね. 「気温」と「アイスの売り上げ」の場合には,散布図から分かりやすく「気温が高いほどアイスの売り上げが良い(正の相関がある)」ことは見てとれます. しかし,必ずしも散布図を見てすぐに相関が分かるとは限りません. そこで,相関を散布図の上に視覚的に表現するための方法として, 回帰分析 という方法があります. 回帰分析を用いると,2つのデータの相関関係をグラフとして視覚的に捉えることができ,相関関係を捉えやすくなります. 回帰分析の中で最も基本的なものに, 回帰直線 を描くための 最小二乗法 があります. この記事では, 最小二乗法 の考え方を説明し, 回帰直線 を求めます. 回帰分析の目的 あるテストを受けた8人の生徒について,勉強時間$x$とテストの成績$y$が以下の表のようになったとしましょう. これを$xy$平面上にプロットすると下図のようになります. このように, 2つのデータの組$(x, y)$を$xy$平面上にプロットした図を 散布図 といい,原因となる$x$を 説明変数 ,その結果となる$y$を 目的変数 などといいます. さて,この散布図を見たとき,データはなんとなく右上がりになっているように見えるので,このデータを直線で表すなら下図のようになるでしょうか. この直線のように, 「散布図にプロットされたデータをそれっぽい直線や曲線で表したい」というのが回帰分析の目的です. 回帰分析でデータを表現する線は必ずしも直線とは限らず,曲線であることもあります が,ともかく回帰分析は「それっぽい線」を見つける方法の総称のことをいいます. 最小二乗法 回帰分析のための1つの方法として 最小二乗法 があります. 最小二乗法の考え方 回帰分析で求めたい「それっぽい線」としては,曲線よりも直線の方が考えやすいと考えることは自然なことでしょう. このときの「それっぽい直線」を 回帰直線(regression line) といい,回帰直線を求める考え方の1つに 最小二乗法 があります. 当然のことながら,全ての点から離れた例えば下図のような直線は「それっぽい」とは言い難いですね. こう考えると, どの点からもそれなりに近い直線を回帰直線と言いたくなりますね.
ということになりますね。 よって、先ほど平方完成した式の $()の中身=0$ という方程式を解けばいいことになります。 今回変数が2つなので、()が2つできます。 よってこれは 連立方程式 になります。 ちなみに、こんな感じの連立方程式です。 \begin{align}\left\{\begin{array}{ll}a+\frac{b(x_1+x_2+…+x_{10})-(y_1+y_2+…+y_{10})}{10}&=0 \\b-\frac{10(x_1y_1+x_2y_2+…+x_{10}y_{10})-(x_1+x_2+…+x_{10})(y_1+y_2+…+y_{10}}{10({x_1}^2+{x_2}^2+…+{x_{10}}^2)-(x_1+x_2+…+x_{10})^2}&=0\end{array}\right. \end{align} …見るだけで解きたくなくなってきますが、まあ理論上は $a, b$ の 2元1次方程式 なので解けますよね。 では最後に、実際に計算した結果のみを載せて終わりにしたいと思います。 手順5【連立方程式を解く】 ここまで皆さんお疲れさまでした。 最後に連立方程式を解けば結論が得られます。 ※ここでは結果だけ載せるので、 興味がある方はぜひチャレンジしてみてください。 $$a=\frac{ \ x \ と \ y \ の共分散}{ \ x \ の分散}$$ $$b=-a \ ( \ x \ の平均値) + \ ( \ y \ の平均値)$$ この結果からわかるように、 「平均値」「分散」「共分散」が与えられていれば $a$ と $b$ を求めることができて、それっぽい直線を書くことができるというわけです! 最小二乗法の問題を解いてみよう! では最後に、最小二乗法を使う問題を解いてみましょう。 問題1. $(1, 2), (2, 5), (9, 11)$ の回帰直線を最小二乗法を用いて求めよ。 さて、この問題では、「平均値」「分散」「共分散」が与えられていません。 しかし、データの具体的な値はわかっています。 こういう場合は、自分でこれらの値を求めましょう。 実際、データの大きさは $3$ ですし、そこまで大変ではありません。 では解答に移ります。 結論さえ知っていれば、このようにそれっぽい直線(つまり回帰直線)を求めることができるわけです。 逆に、どう求めるかを知らないと、この直線はなかなか引けませんね(^_^;) 「分散や共分散の求め方がイマイチわかっていない…」 という方は、データの分析の記事をこちらにまとめました。よろしければご活用ください。 最小二乗法に関するまとめ いかがだったでしょうか。 今日は、大学数学の内容をできるだけわかりやすく噛み砕いて説明してみました。 データの分析で何気なく引かれている直線でも、 「きちんとした数学的な方法を用いて引かれている」 ということを知っておくだけでも、 数学というものの面白さ を実感できると思います。 ぜひ、大学に入学しても、この考え方を大切にして、楽しく数学に取り組んでいってほしいと思います。
第二話:単回帰分析の結果の見方(エクセルのデータ分析ツール) 第三話:重回帰分析をSEOの例題で理解する。 第四話:← 今回の記事
自分のように、婚期を逃してしまい、結婚できない人生は、絶対に嫌だと思うなら、元カノを忘れるしかない。 一番の方法は、時間が過ぎるのを待つことだけど、それができるのは、若い人だけで、30代以降には不向き。 のんびりしていたら、あっと言う間に、婚期が過ぎるので、あくまでも、時間は最後の手段にしましょう。 ちなみに、詳しい元カノの忘れ方は、以下の記事に書いてあるから、ぜひ参考にして、すぐ忘れてください。 まとめ 元カノのことは、良い思い出として、覚えているのは良いけど、忘れられないと言う心理は、さすがにマズい。 最悪の場合、自分や友人のように、最後の砦の30代が過ぎてしまい、大切な婚期を、逃してしまいますよ。 新しい恋愛が無理なら、元カノと復縁して、最終的に結婚できればと、思う人がいるかもしれません。 しかし、仮に復縁できても、その先に待っているのは、また同じ不幸のことだって、実際にあるんです。 もし、ご紹介した6つの心理が、まだ心に潜んでいるなら、早く追い払わないと、本当に結婚できなくなるぞ!
こんにち日は後の恋愛は、30代の前半で、今もちょっとだけ、元カノに未練が残っている、独身ブロガーのキシです。 あるサイトの調べによると、圧倒的に男性の方が、元恋人を忘れない傾向にあり、思い当たる人も多いのでは。 しかし、元カノのことを、忘れないでいると、新しい彼女が作れず、最悪の場合は、結婚できずに人生が終わるかも。 若い人なら、まだ先があるので、多少の時間の猶予はあるけど、30歳を過ぎても、忘れていなければ、かなりヤバい。 もっとヤバいのは、40歳を過ぎた人で、このままだと本当に、結婚できないから、心理状態を把握して、早く忘れてください。 まだ元カノのことが好きなんです! 圧倒的に多い、元カノを忘れられない心理状態は、「まだ元カノのことが好き」で、自分も少し該当します。 特に、自分に非があって別れた場合、元カノを嫌いになった訳じゃないから、思いを断ち切れないでしょうね。 別れて間もないなら、時間が解決するだろうけど、数カ月が過ぎたのに、まだ好きだったら、かなり重傷です。 しかし、元カノを好きだとしても、元カノが自分のことを、好きな可能は皆無で、すでに彼氏がいるはず。 好きでいるのは、その人の勝手だけど、今の状態が続くと、新しい彼女なんて、絶対にできませんよ。 初めて付き合った女性なんです! 元カノが、「初めての彼女」だった場合は、思い入れが尋常じゃないから、元カノを忘れられないのでしょう。 どんな出来事でも、最初に体験したことは、一生の思い出になるから、この場合は、仕方がない面もあります。 自分も、かなり前だけど、今でも記憶に残っており、ときどき思い出すから、永遠に忘れることはないのかも。 しかし、自分の「初めての彼女」でも、元カノが「初めての彼氏」ではないなら、とっくの昔に忘れているはず。 初めての彼女は、絶対に忘れないけど、相手も同じとは限らないので、思い続けても、意味はないですよ。 別れてから大切さを知ったんです! 「別れた恋人が好きすぎて結婚できない」40代男性に共感相次ぐ「私が書いたのかと思った」「過去はどんどん美化される」 | キャリコネニュース. 彼女と別れてから、しばらくすると、自分にとって大切な人だったと、気がつく人が、意外と多いらしいです。 悲しいことに、人は失ってみないと、本当に大切な物が、一体なんなのか、気がつかないのでしょうね。 自分も、付き合っていた頃から、大切な人だったけど、別れてから、もっと大切だったと、気がつきました。 しかし、自分にとって、元カノが大切な存在でも、元カノは、元カレが大切な存在だと、全く思っていません。 大切な存在でも、別れてしまったら、過去のことなので、違う大切な人を見つけた方が、良いと思いますよ。 本気で結婚するつもりだったんです!
妻にもいると思いますよ。 聞いたことはありませんけど。 元カノはあくまで思い出であって どうこうなることはないです。 元カノのことは忘れられませんが 引きずっているわけではありません。 さいごに 結婚した男性の結婚後は実に様々です。 結婚生活がうまくいかない時に 問題に向き合わず元カノの方が良かったと 思ってばかりいると結婚生活は うまくいかなくなるためご注意ください。 結婚生活がうまくいくかいかないかは あなたの気持ち次第です。 最後までお読みいただき ありがとうございました。
本気で、元カノと結婚する予定だったら、忘れられないのも、よく分かりますが、これはかなり悲惨ですね。 さらに、元カノのご両親に挨拶していたり、婚約や結納を済ませていたら、忘れられないのは、仕方がないのかも。 自分の場合は、元カノの両親に、結婚の許しを、もらっていたのに、別れたから、忘れられないのは、当然の結果。 しかし、結婚が破談になっているなら、元の状態に戻るなんて、常識的に考えれば、不可能に決まっています。 このパターンは、この中で最も絶望的だから、結婚するつもりだったことを、早く忘れるしかありませんね。 楽しい思い出があり過ぎるんです! 思い出は、時が過ぎると共に、美化されるらしく、元カノとの楽しい思い出の場合は、なおさら、そうでしょうね。 おまけに、時が過ぎれば過ぎるほど、美化された思い出が、熟成するから、さらに元カノが、忘れられないのかも。 自分の場合は、元カノとの旅行が、スゴく楽しかったので、今でも鮮明に覚えており、やっぱり忘れられない。 しかし、付き合っていた頃を、しっかり思い返せば、楽しい思い出と同じくらい、嫌な思い出があるはず。 良い面を見るのは、普段の生活だけにして、元カノの場合は、悪い面だけ見た方が、良いと思いますよ。 元カノを超える人に出会えないんです! 元カノが、スゴく綺麗で優しい女性なら、それ以上の人に、出会わないと思うのは、仕方がないでしょう。 実際、友人に同じタイプがいて、「あのときの彼女が一番だった」と、お酒を飲んだとき、何度か言ってました。 自分の場合、スゴく綺麗で優しい女性と、もし付き合って別れたら、同じように、忘れないはずです。 ただし、自分がスゴくイケメンで、優しい人じゃないなら、元カノは、もっと良い人に、きっと出会っています。 残念なことに、スゴく綺麗で優しい女性は、そう簡単に出会わないから、この場合、どうにもできませんね。 今の状態のままだと結婚はできないぞ! 元カノが忘れられないで結婚できないあなたへ!. まだ、別れて間もない頃なら、元カノを忘れられないは、男なら誰も同じなので、それほど問題ではありません。 しかし、数カ月が過ぎても、元カノを全く忘れられないと、最悪の場合、結婚できない可能性が出て来ます。 事実、スゴく綺麗で優しい女性と、付き合った友人は、今も結婚しておらず、かなりの重傷みたいです。 自分の場合も、30代の頃は、元カノを忘れられなかったから、大切な婚期を、逃してしまいました。 今は、ちょっとだけなので、ほぼ大丈夫ですが、40代になったから、結婚するのは無理でしょうね。 どうすれば元カノを忘れられますか?