用这款APP,检查作业高效又准确! 扫二维码下载作业帮. 拍照搜题,秒出答案,一键查看所有搜题记录. 优质解答 等比数列中, 连续等距的片段和构成的数列Sm, S2m-S3m, S3m-S4m, 构成等比数列. 等比数列 - Wikipedia 等比数列(とうひすうれつ、英: geometric progression, geometric sequence; 幾何数列)は、隣り合う二項の比が項番号によらず等しい数列を言う。 各項に共通する (common) その一定の比のことを公比(こうひ、英: common ratio )という。. 例えば 4, 12, 36, 108, … という数列 (a n) ∞ 2011-10-23 等比数列求和公式推导 至少给出3种方法 713; 2010-06-03 等比数列求和公式是什么? 543; 2012-08-02 无穷等比数列求和公式是? 179; 2015-07-05 等比级数求和公式是什么 908; 2009-09-04 当0 よって,第$n$項までの等差数列の和$a+(a+d)+(a+2d)+\dots+\{a+(n-1)d\}$はこの平均$\dfrac{2a+(n-1)d}{2}$の$n$倍に等しくなります. したがって,
重要な場合
初項1,公差1の場合の数列$1, \ 2, \ 3, \ 4, \ \dots$の和は特に重要です. この場合,$a=1$, $r=1$ですから,初項から第$n$項までの和は
となります.これも確かに,初項1と末項$n$の平均$\frac{n+1}{2}$に$n$をかけたものになっていますね. 初項$a$,公差$d$の等差数列の初項から第$n$項までの和$S_n$は,
である.これは,初項から第$n$項までの平均が$\dfrac{2a+(n-1)d}{2}$であることから直感的に理解できる.また,$a=d=1$の場合は$S_n=\dfrac{n(n+1)}{2}$である. 等比数列の和
次に,等比数列の初項から第$n$項までの和を求めましょう. 等比数列の和の公式は
公比$r$が$r=1$の場合
公比$r$が$r\neq1$の場合
の2種類あります が,$r=1$の場合は簡単なので重要なのは$r\neq1$の場合です. 等比数列の和の公式
等比数列の和に関して,次の公式が成り立ちます. 初項$a$,公比$r$の等比数列の初項から第$n$項までの和は
r=1の場合
また,数列
は初項7,公比1の等比数列ですから,$a=7$, $r=1$です. この数列の初項から第$50$項までの和は,公式から
と分かりますね. r≠1の場合
たとえば,数列
は初項2,公比3の等比数列ですから$a=3$, $r=2$です. 等比級数の和 シグマ. この数列の初項から第10項までの和は,公式から
「等比数列の和の公式」の導出
$r=1$の場合
$r=1$のとき,数列は
ですから,初項から第$n$項までの和が
となることは明らかでしょう. $r\neq1$の場合
です.両辺に$r-1$をかければ,
となります.この右辺は
と変形できるので,
が成り立ちます.両辺を$r-1$で割って,求める公式
初項$a$,公差$r$の等差数列の初項から第$n$項までの和$S_n$は,
である.$r\neq1$の場合と$r=1$の場合で和が異なることに注意. 補足
因数分解
$x^2-y^2$や$x^3-y^3$が因数分解できるように,実数$x$, $y$と任意の自然数$n$に対し,
と因数分解ができます.これを知っていれば,$x=r$, $y=1$の場合,
を考え, 両辺に$\dfrac{a}{1-r}$をかけることで,すぐに等比数列の和の公式
【 多項式の基本6|3次以上の展開と因数分解の公式の総まとめ 】
3次以上の多項式の因数分解は[因数定理]を用いることも多いですが,[因数定理]の前にまずは公式に当てはめられないかを考えることが大切です.等比級数の和 収束
初項 $2$ で、公比が $3$ の等比数列の第 $N$ 項までの和は、
2. 初項 $3$ で、公比が $-\frac{1}{2}$ の等比数列の第 $N$ 項までの和は、
等比級数
初項が $1$、公比が $r$ の等比数列の和
の $N \rightarrow \infty$ の極限
を 等比級数 という。
等比級数には、
等比数列の和 を用いると、
である。これを場合分けして考える。
であるので ( 等比数列の極限 を参考)、
$r-1 > 0$ であることから、
(iv) $r \leq -1 $ の場合
この場合、$r^{N}$ の極限は確定しないので、
もまた確定しない ( 等比数列の極限 を参考)。
等比級数の例
初項 $1$ で、公比が $\frac{1}{2}$ の等比級数は、
である。