p$ においては最高次係数が $0$ になるとは限らないのできちんとフォローする必要がありますし、そもそも $f(x) \equiv 0$ となることもあってその場合の答えは $p$ となります。 提出コード 4-5. その他の問題 競技プログラミング で過去に出題された Fermat の小定理に関係する問題たちを挙げます。少し難しめの問題が多いです。 AOJ 2610 Fast Division (レプユニット数を題材にした手頃な問題です) AOJ 2720 Identity Function (この問題の原案担当でした、整数論的考察を総動員します) SRM 449 DIV1 Hard StairsColoring (Fermat の小定理から、カタラン数を 1000000122 で割ったあまりを求める問題に帰着します) Codeforces 460 DIV2 E - Congruence Equation (少し難しめですが面白いです、中国剰余定理も使います) Tenka1 2017 F - ModularPowerEquation!! (かなり難しいですが面白いです) 初等整数論の華である Fermat の小定理について特集しました。証明方法が整数論における重要な性質に基づいているだけでけでなく、使い道も色々ある面白い定理です。 最後に Fermat の小定理に関係する発展的トピックをいくつか紹介して締めたいと思います。 Euler の定理 Fermat の小定理は、法 $p$ が素数の場合の定理でした。これを合成数の場合に拡張したのが以下の Euler の定理です。$\phi(m)$ は Euler のファイ関数 と呼ばれているもので、$1$ 以上 $m$ 以下の整数のうち $m$ と互いに素なものの個数を表しています。 $m$ を正の整数、$a$ を $m$ と互いに素な整数とする。 $$a^{\phi(m)} \equiv 1 \pmod{m}$$ 証明は Fermat の小定理をほんの少し修正するだけでできます。 原始根 上の「$3$ の $100$ 乗を $19$ で割ったあまりを計算する」に述べたことを一般化すると $1, a, a^2, \dots$ を $p$ で割ったあまりは $p-1$ 個ごとに周期的になる となりますが、実はもっと短い周期になることもあります。例えば ${\rm mod}.
p$ における $a$ の 逆元 」と呼びます。逆元が存在することは、${\rm mod}. p$ の世界において $a ÷ b$ といった割り算ができることを意味しています。その話題について詳しくは 「1000000007 で割ったあまり」の求め方を総特集! 〜 逆元から離散対数まで 〜 を読んでいただけたらと思います。 Fermat の小定理を用いてできることについて、紹介していきます。 4-1: 逆元を計算する 面白いことに、Fermat の小定理の証明のために登場した「 逆元 」を、Fermat の小定理によって計算することができます。定理の式を少し変形すると $a × a^{p-2} \equiv 1 \pmod{p}$ となります。これは、$a^{p-2}$ が $a$ の逆元であることを意味しています。つまり、$a^{p-2} \pmod{p}$ を計算することで $a$ の逆元を求めることができます。 なお逆元を計算する他の方法として 拡張 Euclid の互除法 を用いた方法があります。詳しくは この記事 を読んでいただけたらと思います。 4-2.
p における多項式の解の個数 この節の内容は少し難しくなります。 以下の問題を考えてみます。この問題は実は AOJ 2213 多項式の解の個数 で出題されている問題で、答えを求めるプログラムを書いて提出することでジャッジできます。 $p$ を素数とする。 整数係数の $n$ 次多項式 $f(x) = a_n x^{n} + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_0$ が与えられる。$f(z)$ が $p$ の倍数となるような $z (0 \le z \le p-1)$ の個数を求めよ。 ($0 \le n \le 100$, $2 \le p \le 10^9$) シンプルで心がそそられる問題ですね! さて、高校数学でお馴染みの「剰余の定理」を思い出します。$f(x)$ を $x-z$ で割ったあまりを $r$ として以下のようにします。 $$f(x) = (x-z)g(x) + r$$ そうすると $f(z) \equiv 0 \pmod{p}$ であることは、$r \equiv 0 \pmod{p}$ であること、つまり $f(x) \equiv (x-z)g(x) \pmod{p}$ であることと同値であることがわかります。これは ${\rm mod}. 『フェルマーの最終定理』その他、文系でも楽しめる数学者の本. p$ の意味で、$f(x)$ が $x-z$ で割り切れることを意味しています。 よって、 $z$ が解のとき、${\rm mod}. p$ の意味で $f(x)$ は $x-z$ で割り切れる $z$ が解でないとき、${\rm mod}.
1月 23, 2013 本 / ここ数年、世間は数学ブーム(? )のようで、社会人向けの様々な参考書が発売されています。 私自身は典型的な文系人間ですが、数学とりわけ数学者の人生を扱った本が好きなので、書店に面白そうな本が出ているとすぐに手を伸ばしてしまいます。 今回はそんな中から、数学がさっぱりわからなくても楽しめる本を3冊ご紹介。 『フェルマーの最終定理』サイモン・シン著 「フェルマーの最終定理」とは、17世紀の数学者ピエール・ド・フェルマーが書き残した定理で、すなわち「x n + y n = z n 」のnを満たす3以上の自然数は存在しないというもの。 本書はこの一見すると小学生でも理解できる定理をめぐって、300年以上に及ぶ数学者たちの挑戦の歴史を追っていきます。とにかく読み出したら止まらない。上質の歴史小説を読んでいるような感じでしょうか。 最終的にこの定理を証明したイギリス人数学者アンドリュー・ワイルズが、証明を完成させるまでの7年もの間、孤独の中で証明に取り組むくだりでは、読者も声援を送りながら伴走しているような気分にさせられます。 サイモン シン 新潮社 売り上げランキング: 1, 064 『素数の音楽』マーカス・デュ・ソートイ著 素数とは、1とその数自身以外では割り切れない数で、具体的には「2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19…」と続いていきます。この素数の並び方に何らかの規則性はあるのでしょうか?
数論の父と呼ばれているフェルマーとは?
大人は質問に答えたりなどしない。 カイジ に出てくる利根川の有名なセリフだ。 このセリフほど名言と言える名言も無いだろうと僕は思っている。 本当にそうだ。 良くネットで月いくら稼げるとか youtube で稼げるなんて出ているけど 稼げるならなぜ自分でやらないのかという話だ。 ネットでそういう話が良くでるのはそれで集客を計り稼ぎに繋げるためだ。 つまり金儲けの話をしてくる奴なんて絶対に信用出来ない。そいつは自分が儲けるためにやっているだけなんだから。 大人は質問に答えたりなどしない。 中には答えるものもいるだろう。 しかしそれは自分にとって都合が良いから話しているだけなんだ。 利根川も言っている通り質問に答えてくるているからといって信用など到底出来ないという事だ。 僕はこの信用出来ないという事はとても微妙な問題だと思う。色々な問題を疑う事は大切だが全てを疑う事は出来ない。 何かは信じなければならない。 信じている間は信じているという気持ちもないだろうが。 それに全ての人を疑うなんて悲しすぎるじゃないか。 勝つことが全てだ。 イチロー も羽生も勝ったからその人格までも肯定されている。 本当にその通りだその言葉は真実なんだろう。 だけど僕はここでも思うことがある。勝者がいるって事は敗者もいるんだ全ての人間が勝つことなどあり得ない。 そこで負けたら全て終わりか? そんな事はない。失敗したって負けたってもう一回挑戦すればいいんだ。 時計を作りたいという夢があったとしても全ての人が 独立時計師 にはなれない。 向き不向きもある。 ずっとそこを目指すのではなく。 自分が出来る事を目指すのがいいだろう。 好きな事なら挫折なんてないんだ。 憧れではなく好きな事 得意な事で勝負するのがいいと思うんだ。誰だって何か向いているものがあるはずだ。 時計の部品のように要らない存在なんていない。 もしかしたら時計の部品になれるかどうかが問題なのかもしれない。
ALSという病気をご存知でしょうか。正式名:筋萎縮性側索硬化症(ALS)とは、手足・のど・舌の筋肉や呼吸に必要な筋肉がだんだんやせて力がなくなっていく病気です。 しかし、筋肉そのもののではなく、筋肉を動かし、かつ運動をつかさどる神経(運動ニューロン)だけが障害をうける病気です。 心臓が動き、胃や腸で食べ物が消化されるのは無意識に自動的に働いており、これを支配しているのが「自律神経」です。ALSでは自律神経は侵されないので、心臓や消化器の働きには影響がありません。しかし呼吸は、自律神経と随意筋である呼吸筋の両方が関係するので、ALSで運動ニューロンが侵されると、呼吸筋が次第に弱くなって呼吸が困難になり、状態に応じて人工呼吸器の装着が必要になります。 障害や難病を持つ方々にも通常の仕事を!
大人は質問に答えたりしない。それが基本だ。 (利根川、エスポワール壇上にて。) 大人は質問に答えたりしない。それが基本だ。 おまえたちはその基本をはきちがえているから、 今朽ち果ててこんなところにいるのだ。 無論中には答える大人もいる。 しかし、それは答える側にとって、 都合のいい内容 だからそうしているのであって、 そんなものを信用することは、 つまり のせられているってことだ 。 なぜそれがわからない? なぜ、そのことに気付かない? そりゃあ、かまわない。 おまえらの質問に答えること、それ自体は容易い。簡単だ。 しかし、今オレがそんな話を仮にしたとしても、 その真偽 はどうする? 世間というものは とどのつまり 肝心なことは何一つ答えたりしない_利根川幸雄（賭博黙示録カイジ）｜まるさん＠起業後援家｜note. すでにこの船に乗り込んでいるおまえらには、 オレの話の裏をとる術はない 。 おれが何を語ろうと、結局ただそれを 盲目的に 信じるしか道はない。 つまり、どんないい話を聞いてもそれは単なる気休めににしかすぎないってことだ。 違うか? Posted in: カイジ語録 Tag: カイジ名言 Comment: 0 Trackback: -