万有引力/宇宙速度/ケプラーの法則解説シリーズ(3) 今回は、ケプラーの第一・第二・第三法則と、関係する数学Ⅲの楕円の性質を解説します。 以下の 2記事 +この記事で ケプラーの法則と万有引力の基礎はバッチリ身につきます!
(+α):高校範囲外になりますが、この面積速度一定の法則は様々な運動で成り立ち、「角運動量保存則」と言う名前がついています。 興味のある人は調べてみて下さい。 ケプラーの第三法則 ケプラーの第3法則とは、惑星の公転周期をT、楕円の長半径をaとした時、 \(\frac {T^{2}}{a^{3}}\) が常に一定となると言う法則です。 $$\frac {T^{2}}{a^{3}}=k (k=一定)$$ 例えば、地球の公転周期は1年、 地球が運動する楕円軌道の長半径は およそ1. 5×10 8 (km) 木星の公転周期は11. 9年 木星が運動する楕円軌道の長半径はおよそ7. 8×10 8 (km) 実際に計算してみると、 地球が3. ケプラーの第一法則 導出. 375 木星が3. 351 と、確かにほぼ同じになります。 ケプラー3法則と万有引力の確認問題 これまでの「万有引力の法則〜ケプラーの法則」3回のまとめとして、定着用の問題を作りました。 一題で基礎的なことが色々と問えるので、(数字などは違えども)似た問題は超頻出です。 定着問題 今、<図4>の惑星Aを中心に人工衛星が速度v1で円運動している。 その後、周回軌道上の点Pで衛星を速度v p まで加速させると、 青色で示したAを焦点の一つとする楕円軌道上を運動し始めた。 万有引力定数をG、惑星Aの質量をM、人工衛星の質量をm、惑星の半径をR、とするとき 問1:人工衛星の速度v1を求めよ。 問2:加速後の点Pでの速度vpはv1の何倍かを求めよ。 問3:<図4>上に示した点Qでの人工衛星の速度vqを求めよ。 問4:青色の楕円軌道の周期T'を求めよ <図4:ケプラーの法則まとめ問題図> 解答解説 問1:惑星Aを中心とする円運動 見直したい人は「 第一宇宙速度と万有引力を向心力とした円運動 」を読んでみて下さい!
惑星が描く楕円軌道 ※焦点の定義 楕円とは、ある2点からの距離の和が一定となる点で描かれた曲線 のことです。 この、 ある2点のことを「焦点」 と呼びます。 図1中に、惑星(点P)と2つの焦点を結ぶ点線を示していますが、点Pが楕円軌道上のどこにあっても、点線の長さはいつも同じになります。 また、この定義からいうと「真円とは、2つの焦点が一致した特殊な楕円」ということができます。 豆知識➀ 遠日点と近日点(遠地点と近地点) 図1中に示した 点Aを「遠日点」、点Bを「近日点」 と呼びます。 文字通り、「遠日点」とは 太陽と惑星の距離が最も遠くなる点 のことです。 一方「近日点」では、 太陽と惑星の距離が最も近く なります。 彗星など、極端に細長い楕円軌道を持つ天体では、遠日点にいるか近日点にいるかで、太陽との距離が数十倍~百倍くらい変わってきます。 ちなみに、惑星のまわりを回る衛星の軌道にも、ケプラーの第1法則は適用できます。 焦点にいるのが地球、楕円軌道を回るのが月だった場合、 点Aは「遠地点」、点Bは「近地点」 と呼ばれます。 豆知識② 小惑星リュウグウの軌道 2018年6月27日、JAXAの小惑星探査機「はやぶさ2」が 小惑星リュウグウ に到着しました。 小惑星リュウグウの公転軌道はどうなっているのでしょうか? リュウグウの公転軌道は、地球などの惑星と比べると細長い楕円形状です。 リュウグウの遠日点は火星の軌道と重なり、近日点は地球の公転軌道より内側にあります。 つまり、地球~火星の近くを行ったり来たりしている小惑星だということです。 うっかりタイミングが合ってしまったら、地球に衝突するかもしれない天体なのです! 「PHA(潜在的に危険な小惑星)」 と呼ばれる、地球に衝突する可能性が高く、かつ衝突したら地球に与える影響が大きい小惑星に分類されています。 面積速度一定の法則ともいいます。 「太陽と惑星を結ぶ線が、一定時間に描く面積は一定である。」 では、図2を見ていきましょう。 図2. ケプラーの第一法則 発見. 面積速度一定を示す図 ある一定時間に、惑星が楕円軌道上の点a~点bまで進んだとしましょう。 焦点の1つにいる太陽と、点a, bを線で結ぶと、水色で示したくさび型ができます。 次に、同じくある一定時間に、惑星は楕円軌道上の点c~点dに進みました。 ここでも、太陽と点c, dを線で結んだくさび型ができます。 この くさび型の面積が、惑星が楕円軌道上のどこにあろうと一定になる 、というのがケプラーの第2法則です。 水色で示した面積は、いつでも等しいのです。 この法則は、何を意味するのでしょうか?
今日のキーワード 不起訴不当 検察審査会が議決する審査結果の一つ。検察官が公訴を提起しない処分(不起訴処分)を不当と認める場合、審査員の過半数をもって議決する。検察官は議決を参考にして再度捜査し、処分を決定する。→起訴相当 →不起... 続きを読む
万有引力はなんとなく理解できたけど、 ケプラーの法則がよくわからない。 なんとなく言っていることはわかるけど、 実際の問題での使い方がわからない。 あなたもそんなふうに思っていませんか?
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