また、正規分布についてさらに詳しく知りたい方は こちら をご覧ください。 (totalcount 73, 282 回, dailycount 1, 164回, overallcount 6, 621, 008 回) ライター: IMIN 正規分布
正規分布 正規分布を標準正規分布に変形することを、 標準化 といいます。 (正規分布について詳しく知りたい方は 正規分布とは? をご覧ください。) 正規分布を標準化する式 確率変数\(X\)が正規分布\(N(μ, σ^2)\)に従うとき、 $$ Z = \frac{X-μ}{σ} $$ と変換すると、\(Z\)は標準正規分布\(N(0, 1)\)(平均0, 分散1)に従います。 標準正規分布の確率密度関数 $$ f(X) = \frac{1}{\sqrt{2π}}e^{-\frac{x^2}{2}}$$ 正規分布を標準化する意味 標準正規分布表 をご存知でしょうか?下図のようなものです。何かとよく使うこの表ですが、すべての正規分布に対して用意するのは大変です(というか無理です)。そこで、他の正規分布に関しては標準化によって標準正規分布に直してから、標準正規分布表を使います。 正規分布というのは、実数倍や平行移動を同じものと考えると、一種類しかありません。なので、どの正規分布も標準化によって、標準正規分布に変換できます。そういうわけで、表も 標準正規分布表 一つで十分なのです。 標準化を使った例題 例題 とある大学の男子について身長を調査したところ、平均身長170cm、標準偏差7の正規分布に従うことが分かった。では、身長165cm~175cmの人の数は全体の何%占めるか? 解説 この問題を標準化によって解く。身長の確率変数をXと置く。平均170、標準偏差7なので、Xを標準化すると、 $$ Z = \frac{X-170}{7} $$ となる。よって \begin{eqnarray}165≦X≦175 &⇔& \frac{165-170}{7}≦Z≦\frac{175-170}{7}\\\\&⇔&-0. 71≦Z≦0. 71\end{eqnarray} であるので、標準正規分布が-0. 71~0. 71の値を取る確率が答えとなる。 これは 標準正規分布表 より、0. 5223と分かるので、身長165cm~175cmの人の数は全体の52. 23%である。 ちなみに、この例題では身長が正規分布に従うと仮定していますが、身長が本当に正規分布に従うかの検証を、 【例】身長の分布は本当に正規分布に従うのか!? で行なっております。興味のある方はお読みください。 標準化の証明 初めに標準化の式について触れましたが、どうしてこのような式になるのか、証明していきます。 証明 正規分布の性質を利用する。 正規分布の性質1 確率変数\(X\)が正規分布\(N(μ, σ^2)\)に従うとき、\(aX+b\)は正規分布\(N(aμ+b, a^2σ^2)\)に従う。 性質1において\(a = \frac{1}{σ}, b= -\frac{μ}{σ}\)とおけば、 $$ N(aμ+b, a^2σ^2) = N(0, 1) $$ となるので、これは標準正規分布に従う。また、このとき $$ aX+b = \frac{X-μ}{σ} $$ は標準正規分布に従う。 まとめ 正規分布を標準正規分布に変換する標準化についていかがでしたでしょうか。証明を覚える必要まではありませんが、標準化の式は使えるようにしておきたいところです。 余力のある人は是非証明を自分でやってみて、理解を深めて見てください!
8413\)、(2) \(0. 2426\) 慣れてきたら、一連の計算をまとめてできるようになりますよ! 正規分布の標準偏差とデータの分布 一般に、任意の正規分布 \(N(m, \sigma)\) において次のことが言えます。 正規分布 \(N(m, \sigma)\) に従う確率変数 \(X\) について、 \(m \pm 1\sigma\) の範囲に全データの約 \(68. 3\)% \(m \pm 2\sigma\) の範囲に全データの約 \(95. 4\)% \(m \pm 3\sigma\) の範囲に全データの約 \(99. 7\)% が分布する。 これは、正規分布表から実際に \(\pm1\) 標準偏差、\(\pm2\) 標準偏差、\(\pm3\) 標準偏差の確率を求めてみるとわかります。 \(P(−1 \leq Z \leq 1) = 2 \cdot 0. 3413 = 0. 6826\) \(P(−2 \leq Z \leq 2) = 2 \cdot 0. 4772 = 0. 9544\) \(P(−3 \leq Z \leq 3) = 2 \cdot 0. 49865 = 0. 9973\) このように、正規分布では標準偏差を基準に「ある範囲にどのくらいのデータが分布するのか」が簡単にわかります。 こうした「基準」としての価値から、標準偏差という指標が重宝されているのです。 正規分布の計算問題 最後に、正規分布の計算問題に挑戦しましょう。 計算問題①「身長と正規分布」 計算問題① ある高校の男子 \(400\) 人の身長 \(X\) が、平均 \(171. 9 \ \mathrm{cm}\)、標準偏差 \(5. 4 \ \mathrm{cm}\) の正規分布に従うものとする。このとき、次の問いに答えよ。 (1) 身長 \(180 \ \mathrm{cm}\) 以上の男子生徒は約何人いるか。 (2) 高い方から \(90\) 人の中に入るには、何 \(\mathrm{cm}\) 以上あればよいか。 身長 \(X\) が従う正規分布を標準化し、求めるべき面積をイメージしましょう。 (2) では、高い方から \(90\) 人の割合を求めて、確率(面積)から身長を逆算します。 解答 身長 \(X\) は正規分布 \(N(171. 9, 5. 4^2)\) に従うから、 \(Z = \displaystyle \frac{X − 171.
5\) となる \(P(Z \geq 0) = P(Z \leq 0) = 0. 5\) 直線 \(z = 0\)(\(y\) 軸)に関して対称で、\(y\) は \(z = 0\) で最大値をとる \(P(0 \leq Z \leq u) = p(u)\) は正規分布表を利用して求められる 平均がど真ん中なので、面積(確率)も \(y\) 軸を境に対称でわかりやすいですね!
スペルの違い①「or」と「our」 人や物の性質・状態・動作を表す接尾語は、アメリカ英語では「or」と綴るのに対し、イギリス英語では「our」と書きます。 アメリカ英語 イギリス英語 意味 color colour 色 labor labour 労働 behavior behaviour 振る舞い flavor flavour 味・風味 honor honour 名誉 スペルの違い②「er」と「re」 共に名詞の末尾にくる「er」と「re」ですが、アメリカ英語では前者を用いるのに対し、イギリス英語では、後者のスペルが一般的です。 center centre 中心 meter metre メートル theater theatre 劇場 fiber fibre 繊維 なお、以下の例のようにイギリス英語でも「er」と綴る単語があるので、ご注意下さい!
今日は19世紀初頭の英語の歴史と、アメリカ英語の始まりについて見ていきましょう。 American English 17世紀の初め、イングランドの人々がアメリカに移住し始めました。彼らはイングランドから遠く離れた所に住むこととなりましたが、英語のスタイルにそれほど違いはありませんでした。異なるアクセントや方言は発展していきましたが、話し方に関してはイングランドで使われていた英語と変わりはありませんでした。しかし1776年の独立戦争時、アメリカはイングランドから独立します。 では、アメリカ英語は1776年から話されるようになったのでしょうか?
日本人留学生に一番人気のアメリカ。世界最先端のエンタメ、スポーツ、テクノロジーを求めて世界中から人が集まるので、いろんな文化に触れながら英語を学ぶことができます。 アメリカ留学について見る
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語学留学に興味がある方であれば、アメリカ英語やイギリス英語の違いについて一度は聞いたことがあるのではないでしょうか?
イギリス英語とアメリカ英語。 どっちが古い英語に近い伝統的な英語だと思いますか? 「もちろんイギリス英語に決まってるでしょ」と言われそうな質問です。 でも実は「アメリカ英語の方が古い英語である」という考え方があります。 アメリカ英語が古いってことはアメリカが英語発祥の地? 今回は「言語学」の域に入ってしまう勢いで「英語の歴史」を深ーく掘り下げていきます。真面目一徹です。 This photo was originally taken by dandftravel どっちの国が古い英語を喋っているのか なんで「アメリカ英語の方がイギリス英語より古い」なんて考えがあるのでしょう。 「実はアメリカが英語発祥の地だった」なんていうトンデモ理論を持ち出すつもりはありません。 スポンサーリンク 英語はイギリスで生まれて、大航海時代にアメリカに伝わった。これは誰もが知っている事実です。 それを覆すつもりはありません。というかそんなこと言語学者でも何でもない自分にはできません。 英語の発祥はイギリスです。 では、英語の本家イギリスの人たちは、英語が生まれた当時の伝統的な英語を喋っているのでしょうか。 文化人類学の中でこういうセオリーがあります 古い文化や言語は遠隔の地に温存される。そして発祥地と伝承された地では発祥地の方が変化が早い このセオリーが正しいとしたら。 イギリスで発祥した英語はアメリカ(遠隔地)に伝わって、アメリカで温存されているということです。これと同じことがフランス語でも言われていて、カナダのケベックで使われているフランス語は古いフランス語の形を残しているそうです。 すごく興味深くないですか?