タイプ: 入試の標準 レベル: ★★★ 平面の方程式と点と平面の距離公式について解説し,この1ページだけで1通り問題が解けるようにしました. これらは知らなくても受験を乗り切れますが,難関大受験生は特に必須で,これらを使いこなして問題を解けるとかなり楽になることが多いです. 平面の方程式まとめ ポイント Ⅰ $z=ax+by+c$ (2変数1次関数) (メリット:求めやすい.) Ⅱ $ax+by+cz+d=0$ (一般形) (メリット:法線ベクトルがすぐわかる( $\overrightarrow{\mathstrut n}=\begin{pmatrix}a \\ b \\ c\end{pmatrix}$).すべての平面を表現可能. 点と平面の距離 が使える.) Ⅲ $\dfrac{x}{p}+\dfrac{y}{q}+\dfrac{z}{r}=1$ (切片がわかる形) (メリット:3つの切片 $(p, 0, 0)$,$(0, q, 0)$,$(0, 0, r)$ を通ることがわかる.) 平面の方程式を求める際には,Ⅰの形で置いて求めると求めやすいです( $z$ に依存しない平面だと求めることができないのですが). 求めた後は,Ⅱの一般形にすると法線ベクトルがわかったり点と平面の距離公式が使えたり,選択肢が広がります. 平面の方程式の出し方 基本的に以下の2つの方法があります. 3点を通る平面の方程式 行列式. ポイント:3点の座標から出す 平面の方程式(3点の座標から出す) 基本的には,$z=ax+by+c$ とおいて,通る3点の座標を代入して,$a$,$b$,$c$ を出す. ↓ 上で求めることができない場合,$z$ は $x$,$y$ の従属変数ではありません.平面 $ax+by+cz+d=0$ などと置いて再度求めます. ※ 切片がわかっている場合は $\dfrac{x}{p}+\dfrac{y}{q}+\dfrac{z}{r}=1$ を使うとオススメです. 3点の座標がわかっている場合は上のようにします. 続いて法線ベクトルと通る点がわかっている場合です.
(2) $p$ を負の実数とする.座標空間に原点 ${\rm O}$ と,3点 ${\rm A}(-1, 2, 0)$,${\rm B}(2, -2, 1)$,${\rm P}(p, -1, 2)$ があり,3点${\rm O}$,${\rm A}$,${\rm B}$ が定める平面を $\alpha$ とする.点 ${\rm P}$ から平面 $\alpha$ に垂線を下ろし,$\alpha$ との交点を ${\rm Q}$ とすると,$\rm Q$ の座標を $p$ を用いて表せ. 練習の解答
この場合に,なるべく簡単な整数の係数で方程式を表すと a'x+b'y+c'z+1=0 となる. ただし, d=0 のときは,他の1つの係数(例えば c≠0 )を使って a'cx+b'cy+cz=0 などと書かれる. a'x+b'y+z=0 ※ 1直線上にはない異なる3点を指定すると,平面はただ1つ定まります. このことと関連して,理科の精密測定機器のほとんどは三脚になっています. (3点で定まる平面が決まるから,その面に固定される) これに対して,プロでない一般人が机や椅子のような4本足の家具を自作すると,3点で決まる平面が2つできてしまい,ガタガタがなかなか解消できません. 3点を通る平面の方程式 線形代数. 【例6】 3点 (1, 4, 2), (2, 1, 3), (3, −2, 0) を通る平面の方程式を求めてください. 点 (1, 4, 2) を通るから a+4b+2c+d=0 …(1) 点 (2, 1, 3) を通るから 2a+b+3c+d=0 …(2) 点 (3, −2, 0) を通るから 3a−2b+d=0 …(3) (1)(2)(3)より a+4b+2c=(−d) …(1') 2a+b+3c=(−d) …(2') 3a−2b=(−d) …(3') この連立方程式の解を d≠0 を用いて表すと a=(− d), b=(− d), c=0 となるから (− d)x+(− d)y+d=0 なるべく簡単な整数係数を選ぶと( d=−7 として) 3x+y−7=0 [問題7] 3点 (1, 2, 3), (1, 3, 2), (0, 4, −3) を通る平面の方程式を求めてください. 1 4x−y−z+1=0 2 4x−y+z+1=0 3 4x−y−5z+1=0 4 4x−y+5z+1=0 解説 点 (1, 2, 3) を通るから a+2b+3c+d=0 …(1) 点 (1, 3, 2) を通るから a+3b+2c+d=0 …(2) 点 (0, 4, −3) を通るから 4b−3c+d=0 …(3) この連立方程式の解を d≠0 を用いて表すことを考える a+2b+3c=(−d) …(1') a+3b+2c=(−d) …(2') 4b−3c=(−d) …(3') (1')+(3') a+6b=(−2d) …(4) (2')×3+(3')×2 3a+17b=(−5d) …(5) (4)×3−(5) b=(−d) これより, a=(4d), c=(−d) 求める方程式は 4dx−dy−dz+d=0 (d≠0) なるべく簡単な整数係数を選ぶと 4x−y−z+1=0 → 1 [問題8] 4点 (1, 1, −1), (0, 2, 5), (2, 4, 1), (1, −2, t) が同一平面上にあるように,実数 t の値を定めてください.
5mm}\mathbf{x}_{0})}{(\mathbf{n}, \hspace{0. 5mm}\mathbf{m})} \mathbf{m} ここで、$\mathbf{n}$ と $h$ は、それぞれ 平面の法線ベクトルと符号付き距離 であり、 $\mathbf{x}_{0}$ と $\mathbf{m}$ は、それぞれ直線上の一点と方向ベクトルである。 また、$t$ は直線のパラメータである。 点と平面の距離 法線ベクトルが $\mathbf{n}$ の平面 と、点 $\mathbf{x}$ との間の距離 $d$ は、 d = \left| (\mathbf{n}, \mathbf{x}) - h \right| 平面上への投影点 3次元空間内の座標 $\mathbf{u}$ の平面 上への投影点(垂線の足)の位置 $\mathbf{u}_{P}$ は、 $\mathbf{n}$ は、平面の法線ベクトルであり、 規格化されている($\| \mathbf{n} \| = 1$)。 $h$ は、符号付き距離である。
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トライのAIタブレットを利用している方の意見やそうでない方でもこの状況を客観的に見てどう思うか教えて頂きたいです。 大学受験 現在都内で通信教育のビジネスを運営しているのですが、今までずっと、一般向けに市販されている教材を使っていたのですが、思うように集客ができないため、 このたび塾専用の教材に切り替えようかと検討しているのですが、その場合、特許や著作権絡みの問題はあるのでしょうか? 例えば市販の教材の場合だと、コピーや写メールは禁止だとか、生徒も講師も共に同じ教材を使わなければダメだとか、さまざまな制限があったのですが、塾専用教材の場合でも、そのあたりの制限は変わらないのでしょうか? 法律相談 私は悩みがあります。 私は今中学3年生で受験生なのですが、 家が貧乏なので塾に行けません。 そして家に自分の部屋もなければ、勉強机もありません。いつも小さい折りたたみの机を使っています。 私は勉強が全くできないのでワーク(参考書)を買ってみたりしたんですが、小さい机では長時間勉強することも難しいし、参考書をみたり教科書、ノートを見るだけで勉強をするというのがとても難しいです。 私は塾に通いたいです……。 中1の時に塾に行っていましたが、結局塾代が高くてやめてしまいました。それから中2はほぼ何もしていませんでした……。 中3になった今も親は行かせてあげたいけど塾代が高い。と言います。私もそれを分かりきった上で言っていますがやっぱり私は塾に行かないと難しいです。 こんなことを言っている中で周りと比べるのもおかしいですが、やっぱり友達はみんな塾に行かせてもらってて、模試とかもあったり今の時期だと夏期講習もあったりとかしてやっぱりそれがあると忙しいのはもちろんわかってます。でも羨ましいんです。みんなが塾に行けてるのが羨ましい。 このまま自習だけで入試受けたりは難しいです。 どうしたらいいでしょうか…… •̥ ˍ •̥ 回答お願いします。 高校受験 駿台の夏期講習だけ通うのですが、会員カードはいつ配られるのですか? 予備校、進学塾 浪人生です。 9月から予備校に行くか迷っています。 今現在は最寄りの駅近くの自習スペースを使っています。ですが夏明けやコロナのことを考えるといつか使えなくなってしまう可能性があります。 昨年浪人で河合塾に通っていた先輩の勧めで前期は基礎固めが出来てないと全くついていけないから9月までは宅浪でもいいんじゃないかと勧められたので前期は予備校に通わなかったです。 現状武田塾か河合塾か四谷学院で迷っています。 武田塾は往復で20分 河合塾は往復で2時間前後 四谷学院は往復で1時間30分くらいです。 予備校、進学塾 高3です。 もともと夏期講習に行かないつもりだったのですが友達が河合塾の英語長文読解の夏期講習がすごく良いと言っていて行けばよかったと後悔しています。 河合塾は人気講師は埋まっていて申し込みができないのですが秀英予備校の4日間の英語の夏期講習はまだ申し込みができます。秀英予備校の英語夏期講習はどのような感じですか?