例題と練習問題 例題 (1)等差数列 $\{a_{n}\}$ で第 $12$ 項が $77$,第 $25$ 項が $129$ のとき,この数列の一般項を求めよ. (2)等差数列の和 $S=1+3+5+\cdots+99$ を求めよ. (3)初項が $77$,公差が $-4$ の等差数列がある.この数列の和の最大値を求めよ. 講義 上の公式を確認する問題を用意しました. 等差数列の一般項と和 | おいしい数学. (3)は数列の和の最大というテーマの問題で, 正の項を足し続けているときが和の最大 になります. 解答 (1) $\displaystyle a_{25}-a_{12}=13d=52$ ←間は $13$ 個 $\displaystyle \therefore d=4$ $\displaystyle \therefore \ a_{n}=a_{12}+(n-12)d$ ←$k=12$ を代入 $\displaystyle =77+(n-12)4$ $\displaystyle =\boldsymbol{4n+29}$ ※ 当然 $k=25$ を代入した $a_{n}=a_{25}+(n-25)d$ を使ってもいいですね. (2) 初項から末項まで $98$ 増えたので,間は $49$ 個.数列の個数は $50$ 個より $\displaystyle S=(1+99)\times 50 \div 2=\boldsymbol{2500}$ (3) 数列を $\{a_{n}\}$ とおくと $a_{n}=77+(n-1)(-4)=-4n+81$ 初項から最後の正の項までを足し続けているときが和の最大 なので,$a_{n}$ が正であるのは $a_{n}=77+(n-1)(-4)=-4n+81>0$ $\therefore \ n \leqq 20$ $a_{20}=1$ より (和の最大値) $\displaystyle =(77+1)\times 20 \div 2=\boldsymbol{780}$ ※ $S_{n}$ を出してから平方完成するよりも上の解き方が速いです. 練習問題 練習1 等差数列 $\{a_{n}\}$ で第 $17$ 項が $132$,第 $29$ 項が $54$ のとき,この数列の一般項を求めよ. 練習2 等差数列 $\{a_{n}\}$ で第 $12$ 項が $69$,第 $20$ 項が $53$ のとき,この数列の和の最大値を求めよ.
調和数列【参考】 4. 1 調和数列とは? 数列 \( {a_n} \) において,その逆数を項とする数列 \( \displaystyle \left\{ \frac{1}{a_n} \right\} \) が等差数列をなすとき,もとの数列 \( {a_n} \) を 調和数列 といいます。 つまり \( \displaystyle \color{red}{ \frac{1}{a_{n+1}} – \frac{1}{a_n} = d} \) (一定) 【例】 \( \displaystyle 1, \ \frac{1}{3}, \ \frac{1}{5}, \ \frac{1}{7}, \ \cdots \) は 調和数列 。 この数列の各項の逆数 \( 1, \ 3, \ 5, \ 7, \ \cdots \) は,初項1,公差2の等差数列であるから。 4. 等差数列の一般項の未項. 2 調和数列の問題 調和数列に関する問題の解説もしておきます。 \( \left\{ a_n \right\}: 30, \ 20, \ 15, \cdots \) が調和数列であるから, \( \displaystyle \left\{ \frac{1}{a_n} \right\}: \frac{1}{30}, \ \frac{1}{20}, \ \frac{1}{15}, \cdots \) は等差数列となる。 \( \displaystyle \left\{ \frac{1}{a_n} \right\} \) の初項は \( \displaystyle \frac{1}{30} \),公差は \( \displaystyle \frac{1}{20} – \frac{1}{30} = \frac{1}{60} \) であるから,一般項は \( \displaystyle \frac{1}{a_n} = \frac{1}{30} + (n-1) \cdot \frac{1}{60} = \frac{n+1}{60} \) したがって,数列 \( {a_n} \) の一般項は \( \displaystyle \color{red}{ a_n = \frac{60}{n+1} \cdots 【答】} \) 5. 等差数列まとめ さいごに今回の内容をもう一度整理します。 等差数列まとめ 【等差数列の一般項】 初項 \( a \),公差 \( d \) の等差数列 \( {a_n} \) の一般項は ( 第 \( n \) 項) =( 初項) +(\( n \) -1) ×( 公差) 【等差数列の和の公式】 初項 \( a \),公差 \( d \),末項 \( l \),項数 \( n \) の等差数列の和を \( S_n \) とすると \( \displaystyle \large{ \color{red}{ S_n = \frac{1}{2} n (a + l)}} \) \( \displaystyle \large{ \color{red}{ S_n = \frac{1}{2} n \left\{ 2a + (n-1) d \right\}}} \) 以上が等差数列の解説です。 和の公式は,公式を丸暗記するというよりは,式の意味を理解することが重要です!
この記事は最終更新日から1年以上が経過しています。内容が古くなっているのでご注意ください。 はじめに 本記事では等差数列についてご紹介します。数列は多くの中学生・高校生が苦手とする単元ですが、なぜ苦手なのか考えたことはありますか? それは、公式を暗記するだけで意味を説明することができないからです。その結果、前提が変わったり、平方数などの見慣れない数が出て来たりする問題に太刀打ちできなくなってしまいます。 数列はセンター試験でほぼ毎年出題される、非常に重要な単元です。 そこでこの記事では、もっとも初歩である「等差数列」を題材に、公式の意味や問題の解き方を説明していきます。 数列が苦手だったために志望校に落ちてしまった…なんてことがないよう、しっかり勉強しましょう! 等差数列の一般項. 等差数列とは? 「等差数列とはなにか」ということがきちんと理解できていれば、あとで紹介する公式は自然に導けるので、覚える必要がありません。反対に、これが理解できていない限り、等差数列をマスターすることは絶対にできません。 数学のどんな単元においても、定義は非常に大事です。きちんと理解しましょう! 等差数列とは「はじめの数に、一定の数を足し続ける数列」 簡単にいえば、等差数列とは「はじめの数に、一定の数を足し続ける数列」です。 たとえば、 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20… この数列は、はじめの数(2)に、一定の数(3)を足し続けていますね。こういったものが等差数列です。 一定の数を足し続けているわけですから、隣同士の項(2と5、14と17など)はその一定の数(3)だけ開いているわけです。 これが、「等差数列」、つまり「差が等しい数列」と呼ばれる所以です。 等比数列と何がちがう? 等差数列と一緒によく出てくるのが等比数列ですが、等差数列とは何が違うのでしょうか。 等差数列とは「はじめの数に、一定の数を足し続ける数列」、 一方、 等比数列とは「はじめの数に、一定の数をかけ続ける数列」 です。 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128… この数列は、はじめの数(2)に、一定の数(2)をかけ続けていますね。こういったものが等比数列です。 等差数列と等比数列は見間違えやすいので、常に注意してください。 等差数列の公式の意味を説明!
ちなみに1つ1つ地道に足していくのは今回はナシです。 ここで、前後ひっくり返した式を用意してみましょう。つまり、 S = 1 + 3 + 5 + 7 +9+11+13+15+17① S =17+15+13+11+9+ 7 + 5 + 3 + 1 ② ①と②の縦にそろっている数(1と17、3と15など)の和がすべて18になっているのに気づきましたか? ①+②をすると、 2S =18+18+18+18+18+18+18+18+18 =18×9 となるのがわかります。この18×9とはつまり、 [初項と末項を足した数]×[項数] です。 つまり、この数列では、 2S = [初項と末項を足した数]×[項数] ∴S = ½ ( [初項と末項を足した数]×[項数]) となるわけです。 そして、この「S = ½ ( [初項と末項を足した数]×[項数])」はすべての等差数列で使えます。一般化した例で考えてみましょう。 ※この説明は「... 」が入っている時点で数学的に厳密ではありません。興味のある方は数学的に厳密な証明を考えてみてください。シグマを使うやり方、項数が偶数である場合と奇数である場合に分けるやり方などがあります。 等差数列の問題を解いてみよう では、等差数列の公式をさらったところで、問題に取り組んでみましょう。
東大塾長の山田です。 このページでは、 数学 B 数列の「等差数列」について解説します 。 今回は 等差数列の基本的なことから,一般項,等差数列の和の公式とその証明 まで,具体的に問題(入試問題)を解きながら超わかりやすく解説していきます。 また,参考として調和数列についても解説しています。 ぜひ勉強の参考にしてください! 1. 等差数列とは? まずは,等差数列の定義を確認しましょう。 等差数列 隣り合う2項の差が常に一定の数列のこと。 例えば,数列 1, 4, 7, 10, 13, 16, \( \cdots \) は,初項1に次々に3を加えて得られる数列です。 1つの項とその隣の項との差は常に3で一定です。 このような数列を 等差数列 といい,この差(3)を 公差 といいます。 したがって,等差数列 \( {a_n} \) の公差が \( d \) のとき,すべての自然数 \( n \) について次の関係が成り立ちます。 等差数列の定義 \( a_{n+1} = a_n + d \) すなわち \( a_{n+1} – a_n = d \) 2. 【高校数学B】「等差数列{a_n}の一般項（１）」(例題編) | 映像授業のTry IT (トライイット). 等差数列の一般項 2. 1 等差数列の一般項の公式 数列 \( {a_n} \) の第 \( n \) 項 \( a_n \) が \( n \) の式で表されるとき,これを数列 \( {a_n} \) の 一般項 といいます。 等差数列の一般項は次のように表されます。 なぜこのような式なるのかを,必ず理解しておきましょう。 次で解説していきます。 2. 2 等差数列の一般項の導出 【証明】 初項 \( a \),公差 \( d \) の等差数列 \( {a_n} \) の第 \( n \) 項は次の図のように表される。 第 \( n \) 項は,初項 \( a_1 = a \) に公差 \( d \) を \( (n-1) \) 回加えたものだから,一般項は \( \large{ \color{red}{ a_n = a + (n-1) d}} \) となる。 2. 3 等差数列の一般項を求める問題(入試問題) 【解答】 この数列の初項を \( a \),公差を \( d \) とすると \( a_n = a + (n-1) d \) \( a_5 = 3 \),\( a_{10} = -12 \) であるから \( \begin{cases} a + 4d = 3 \\ a + 9d = -12 \end{cases} \) これを解くと \( a = 15 \),\( d = -3 \) したがって,公差 \( \color{red}{ -3 \cdots 【答】} \) 一般項は \( \begin{align} \color{red}{ a_n} & = 15 + (n-1) \cdot (-3) \\ \\ & \color{red}{ = -3n + 18 \cdots 【答】} \end{align} \) 2.
上の図を見てください。 n番目の数を出すには、公差を(n-1)回足す必要があります。間の数は木の数よりも1つ少ないという、植木算と同じですね。 以上より、 初項=3 公差=4 公差を何回足したか=n-1 という3つの数字が出そろいました。 これを一般化してみましょう。 これが、等差数列の一般項を求める公式です。 等差数列のコツ:両脇を足したら真ん中の2倍?
4 等差数列の性質(等差中項) 数列 \( a, \ b, \ c \) が等差数列ならば \( b – a = c – b \) ゆえに \( 2b = a+c \) このとき,\( b \) を \( a \) と \( c \) の 等差中項 といいます。 \( \displaystyle b = \frac{a + c}{2} \) より,\( b \) は \( a \) と \( c \) の 相加平均 になります。 3. 等差数列の和 次は等差数列の和について解説していきます。 3. 1 等差数列の和の公式 等差数列の和の公式 3. 等差数列の解き方をマスターしよう｜高校生／数学 ｜【公式】家庭教師のアルファ-プロ講師による高品質指導. 2 等差数列の和の公式の証明 まずは具体的に 「初項 1 ,公差2 ,項数10 の等差数列の和S 」 を求めることを考えてみましょう。 次のように,ますSを並べ,その下に和の順序を逆にしたものを並べます。 そして辺々を足します。 すると,「2S=20が10個分」となるので \( 2S = 20 \times 10 \) ∴ \( \displaystyle \color{red}{ S} = \frac{1}{2} \times(20 \times 10) \color{red}{ = 100} \) と求めることができました。 順序を逆にしたものと足し合わせることで,和が同じ数字が項の数だけ出てくるので,数列の和を求めることができます! この考え方で,一般化して等差数列の和を求めてみましょう。 初項 \( a \),末項 \( l \),項数 \( n \) の等差数列の和を \( S_n \) とすると 右辺は,\( a + l \) を \( n \) 個加えたものなので \( 2 S_n = n (a+l) \) ∴ \( \displaystyle \color{red}{ S_n = \frac{1}{2} n (a + l)} \cdots ① \) また,\( l \) は第 \( n \) 項なので \( l = a + (n-1) d \) これを①に代入すると \( \displaystyle \color{red}{ S_n = \frac{1}{2} n \left\{ 2a + (n-1) d \right\}} \) が得られます。 よって公式②は①を変形したものです。 3. 3 等差数列の和を求める問題 それでは,公式を使って等差数列の和を求める問題にチャレンジしてみましょう。 (1) は初項・公差がわかっているので,公式①で一発です。 (2) は初項1,公差3,末項100とわかりますが, 項数がわかりません 。 まずは項数を求めてから,公式で和を求めます 。 (1) 初項20,公差3,項数10より \displaystyle \color{red}{ S} & = \frac{1}{2} \cdot 10 \left\{ 2 \cdot 20 + (10-1) \cdot 3 \right\} \\ & \color{red}{ = 335 \cdots 【答】} (2) 初項1,公差3であるから,末項100が第 \( n \) 項であるとすると \( 1 + (n-1) \cdot 3 = 100 \) ∴ \( n = 34 \) よって,初項1,末項100,項数34の等差数列の和を求めると \displaystyle \color{red}{ S} & = \frac{1}{2} \cdot 34 (1 + 100) \\ & \color{red}{ = 1717 \cdots 【答】} 等差数列の和の公式の使い分け 4.
なお、次の記事ではクラッチバッグの編み方についてご紹介しています。コースターや麦わら帽子など、かぎ針編みの基本となる編み方になれてきたら、次はクラッチバッグ作りに挑戦されてみてはいかがでしょうか。ぜひ次の記事を参考になさってください。 クラッチバッグの編み方5選!初心者でも簡単に手編みができる!
5cm グリップ付き 523円 楽天で詳細を見る 必要なのは自分の指だけ!子供も出来る指編みの編み方 道具を使わずに、自分の指を使って編む「指編み」という方法もあります。小さい頃にやったことがある人もいるのではないでしょうか?これは編み物初心者はもちろん、ちいさな子供でも簡単に編み物が出来るのでとってもおすすめです。自分の指を編み針にして編んでいくのでより自分で作った、という実感が持てて楽しいですよ。 子供でも帽子が編める!
小さな子供が被ると可愛いニットのくま耳帽子の編み方は、以外と簡単に手編 可愛い手作り麦わら帽子のアイデア④ボンボン付きキャスケット風麦わら帽子 可愛い手作り麦わら帽子のアイデアの4つ目は、ボンボン付きでキャスケット風のとてもおしゃれで一風変わった麦わら帽子です。麦わら帽子は、頭頂部分が丸く、ブリムが広いタイプが一般的ですが、ご紹介しているようなキャスケットタイプのものもとてもおしゃれですね。 麦わら帽子は夏に使うのが一般的ですが、このようにボンボンが付いている変わったデザインの麦わら帽子であれば、季節を問わずに使えそうです。 可愛い手作り麦わら帽子のアイデア⑤切り替え&模様編み 可愛い手作り麦わら帽子のアイデアの5つ目は、麻の糸を2種類使って切り替え部分をリボンのように仕上げる麦わら帽子です。このように、あらかじめ色を変えておくことでリボンがよれたり曲がったりする心配もないですね。 また、ご紹介している麦わら帽子は、ブリム部分の松編みもとてもおしゃれです。模様編みが入ることで、さらに女性らしい雰囲気が強まりますね。おしゃれな麦わら帽子を作りたいという方には、ブリムの模様編みはとてもおすすめです。 初心者でも簡単な編み方で可愛い麦わら帽子を編もう! 初心者でも簡単に編める可愛い麦わら帽子についてご紹介しました。いかがでしたでしょうか。帽子を自分で編めるのはとても意外に感じる方も多いでしょうが、実はとても簡単に仕上げることができます。 自分用にはもちろんですが、子どもたちや家族用にも手作りされてみはいかがでしょうか。ぜひ来年の夏に使う麦わら帽子作りに、挑戦してみてくださいね。 商品やサービスを紹介する記事の内容は、必ずしもそれらの効能・効果を保証するものではございません。 商品やサービスのご購入・ご利用に関して、当メディア運営者は一切の責任を負いません。
今回は、秋冬に欠かせない帽子の簡単な編み方を紹介します!かぎ針を使うと、簡単に帽子が手編みできるんです 初心者にもおすすめな子供用の帽子の編み方などもありますよ!かぎ針の手編みデビューをしちゃいましょう!編み図も紹介するので、参考にしてみてください (初心者用)かぎ針編みで帽子を編む方法. かぎ針編みの帽子を手作りして、自分の出費を抑えたり、友人への手作りのプレゼントにするのはとても素敵なアイデアです かぎ針編みの初心者にとっては、帽子を編むなんてとても難しく感じるかもしれませんが、見た目より案外簡単にできます 2016/01/20 - かぎ針編みで編む帽子の編み方集をあつめました、編む時の参考に 「帽子 編み方. かぎ針編み. 初心者さんにおすすめ編み物のキット4選｜手編みにチャレンジ！｜cozre[コズレ]子育てマガジン. かぎ針」のアイデアをもっと見てみましょう 帽子の編み方やかぎ針で簡単なやり方②は、赤ちゃん用のニット帽と言われる【ベビーキャップ・くまさん帽子】の作り方です 毛糸の種類によって、かぎ針の号数が変わってきますので、注意が必要です 初心者の方でも分かり... 簡単!無料レシピ「コットンの糸で編みたい帽子」9選【かぎ針編】 その1 60ろくまるさんの「素敵なチューリップ帽子」 「60ろくまる」さんのニットブログに、 素敵なチューリップ帽子 の無料レシピがありました! クロバーは、編み物・手芸・ソーイング・パッチワーク・刺しゅうなど、手作り総合メーカーです 無料のハンドメイドレシピ (作り方) や編み図、型紙があります 手づくりを楽しむ便利な道具の紹介や、初心者にわかりやすい手作りムービー、手作りの基礎では編み物(棒針・かぎ針... チクチク編み編み かぎ針編みの編み物、挑戦したことありますか? ?どこでもさっと取り出して続きを編みはじめられるかぎ針編みは、忙しくても手仕事がしたい!という人の強い味方 冬に恋しくなるあったか小物はもちろん、夏は裂き編みや涼しげなラフィア風帽子も編めるんです... 8割方出来上がると、次のを編み始めようとするため いっこうに完成画像がアップできません (ノ∀`) 編み物も自分の性格よく出ちゃうものですね 写真までボケボケなので撮りなおしましたよ ( p_q) グレーのお帽子 ベビー用「かぎ針編みのワンちゃんお帽子」 出典: crocheandme. blogspot. jp やはり、子どもに編んであげたい!! お母さんが編み物をはじめるキッカケはここなのでは?
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初心者でも麦わら帽子って編めるの? 初心者でも麦わら帽子は簡単に編める 初心者でも麦わら帽子は比較的簡単に編むことができます。なぜなら、麦わら帽子を手作りでかぎ針で手編みする場合、そのほとんどが細編みという基本的な編み方だけを使っていくためです。細編みは、かぎ針編みの基本になります。 麦わら帽子を一つ編み終えるころには、編み物初心者さんであっても細編みをしっかりマスターできるようになっているでしょう。ぜひ夏用の可愛い麦わら帽子作りに挑戦してみてください。 慣れてきたらサイズの調整も また、麦わら帽子をかぎ針編みで手編みできるようになったら、今度は使う人のサイズに合わせてサイズ調整ができるようになるといいでしょう。自分でオリジナルで編み図を作って編むことができれば、自分の分だけではなく、子どもの分や家族の分もおそろいで作ることができるようになりますね。 また、次の記事ではコースターの編み方についてご紹介しています。麦わら帽子よりも簡単に編めるのがコースターです。ぜひ編み物が初めてという方は、コースター作りから挑戦されるといいでしょう。ぜひ次の記事を参考になさってくださいね。 関連記事 コースターの編み方6選!初心者でも簡単に手編みができる! 初心者でも手編みできる簡単なコースターの編み方をご存知ですか?コースタ 麦わら帽子の編み方!麦わら帽子を編むのに必要なものは? 麦わら帽子を編むのに必要なもの①麦わら帽子用の糸 麦わら帽子を編むのに必要なものの1つ目は、麦わら帽子用の毛糸です。麦わら帽子には、麻の糸がよく使われます。エコアンダリヤという種類の糸や、エスニックジュードなどがメジャーです。また、100均で購入できるペーパーヤーンを使うことができます。 麦わら帽子を編むのに必要なもの②かぎ針 麦わら帽子を編むのに必要なものの2つ目は、かぎ針です。基本的には使う糸のサイズに合わせたかぎ針を使います。販売されている糸のパッケージには、その糸のサイズに合うかぎ針の号数が記載されていますから、それを確認してかぎ針を準備しましょう。 また、麦わら帽子特有ですが、帽子のブリムのフチにカーブを付けたい場合などには、あえてワンサイズ小さいかぎ針を使うこともあります。自分の好みや、使う編み図に応じてかぎ針のサイズを確認するといいでしょう。 楽しい編み物に欠かせないのがかぎ針ですが、ダイソーやセリアなどの100均では編み物関連の商品が多く販売されています。その中でも、かぎ針の種類はとても豊富です。編み物に挑戦するのが初めての場合には、まずは100均のアイテムから使ってみるといいでしょう。ぜひ次の記事を参考になさってください。 【100均かぎ針】ダイソー・セリアの11個!レース針で編み物に挑戦!