また, 「代数体」$K$ (前問を参照)に属する「代数的整数」全体 $O_K$ は $K$ の 「整数環」 (ring of integers)と呼ばれ, $O_K$ において逆数をもつ $O_K$ の要素全体は $K$ の 「単数群」 (unit group)と呼ばれる. 本問の「$2$ 次体」$K = \{ a_1+a_2\sqrt 5|a_1, a_2 \in \mathbb Q\}$ (前問を参照)について, 「整数環」$O_K$ は上記の $O$ に一致し(証明略), 関数 $N(\alpha)$ $(\alpha \in K)$ は 「ノルム写像」 (norm map), $\varepsilon _0$ は $K$ の 「基本単数」 (fundamental unit)と呼ばれる. (5) から, 正の整数 $\nu$ が「フィボナッチ数」であるためには $5\nu ^2+4$ または $5\nu ^2-4$ が平方数であることが必要十分であると証明される( こちら を参照). 三個の平方数の和 - Wikipedia. 問題《リュカ数を表す対称式の値》 $\alpha = \dfrac{1+\sqrt 5}{2}, $ $\beta = \dfrac{1-\sqrt 5}{2}$ について, \[\alpha +\beta, \quad \alpha\beta, \quad \alpha ^2+\beta ^2, \quad \alpha ^4+\beta ^4\] の値を求めよ.
$x, $ $y$ のすべての「対称式」は, $s = x+y, $ $t = xy$ の多項式として表されることが知られている. $L_1 = 1, $ $L_2 = 3, $ $L_{n+2} = L_n+L_{n+1}$ で定まる数 $L_1, $ $L_2, $ $L_3, $ $\cdots, $ $L_n, $ $\cdots$ を 「リュカ数」 (Lucas number)と呼ぶ. 一般に, $L_n$ は \[ L_n = \left(\frac{1+\sqrt 5}{2}\right) ^n+\left(\frac{1-\sqrt 5}{2}\right) ^n\] と表されることが知られている. 定義により $L_n$ は整数であり, 本問では $L_2, $ $L_4$ の値を求めた.
連続するn個の整数の積と二項係数 整数論の有名な公式: 連続する n n 個の整数の積は n! n! の倍数である。 上記の公式について,3通りの証明を紹介します。 → 連続するn個の整数の積と二項係数 ルジャンドルの定理(階乗が持つ素因数のべき数) ルジャンドルの定理: n! 整数問題 | 高校数学の美しい物語. n! に含まれる素因数 p p の数は以下の式で計算できる: ∑ i = 1 ∞ ⌊ n p i ⌋ = ⌊ n p ⌋ + ⌊ n p 2 ⌋ + ⌊ n p 3 ⌋ + ⋯ {\displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}\Big\lfloor \dfrac{n}{p^i} \Big\rfloor}=\Big\lfloor \dfrac{n}{p} \Big\rfloor+\Big\lfloor \dfrac{n}{p^2} \Big\rfloor+\Big\lfloor \dfrac{n}{p^3} \Big\rfloor+\cdots ただし, ⌊ x ⌋ \lfloor x \rfloor は x x を超えない最大の整数を表す。 → ルジャンドルの定理(階乗が持つ素因数のべき数) 入試数学コンテスト 成績上位者(Z) 無限降下法の整数問題への応用例 このページでは,無限降下法について解説します。 無限降下法とは何か?
n! ( m − n)! {}_{m}\mathrm{C}_{n}=\dfrac{m! }{n! (m-n)! } ですが,このページではさらに m < n m < n m C n = 0 {}_{m}\mathrm{C}_{n}=0 とします。 → Lucasの定理とその証明 カプレカ数(特に3桁の場合)について 3桁のカプレカ数は 495 495 のみである。 4桁のカプレカ数は 6174 6174 カプレカ数の意味,および関連する性質について解説します。 → カプレカ数(特に3桁の場合)について クンマーの定理とその証明 クンマーの定理(Kummer's theorem) m C n {}_m\mathrm{C}_n が素数 で割り切れる回数は m − n m-n を 進数表示して足し算をしたときの繰り上がりの回数と等しい。 整数の美しい定理です!
平方根 定義《平方根》 $a$ を $0$ 以上の実数とする. $x^2 = a$ の実数解を $a$ の 平方根 (square root)と呼び, そのうち $0$ 以上の解を $\sqrt a$ で表す. 定理《平方根の性質》 $a, $ $b$ を正の数, $c$ を実数とする. (1) $(\sqrt a)^2 = a$ が成り立つ. (2) $\sqrt a\sqrt b = \sqrt{ab}, $ $\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b} = \sqrt{\dfrac{a}{b}}$ が成り立つ. (3) $\sqrt{c^2} = |c|, $ $\sqrt{c^2a} = |c|\sqrt a$ が成り立つ. (4) $(x+y\sqrt a)(x-y\sqrt a) = x^2-ay^2, $ $\dfrac{1}{x+y\sqrt a} = \dfrac{x-y\sqrt a}{x^2-ay^2}$ が成り立つ. 定理《平方根の無理性》 正の整数 $d$ が平方数でないならば, $\sqrt d$ は無理数である. 問題《$2$ 次体の性質》 正の整数 $d$ が平方数でないとき, 次のことを示せ. (1) $\sqrt d$ は無理数である. (2) すべての有理数 $a_1, $ $a_2, $ $b_1, $ $b_2$ に対して \[ a_1+a_2\sqrt d = b_1+b_2\sqrt d \Longrightarrow (a_1, a_2) = (b_1, b_2)\] が成り立つ. (3) 有理数係数の多項式 $f(x), $ $g(x)$ に対して, $g(\sqrt d) \neq 0$ のとき, \[\frac{f(\sqrt d)}{g(\sqrt d)} = c_1+c_2\sqrt d\] を満たす有理数 $c_1, $ $c_2$ の組がただ $1$ 組存在する. 解答例 (1) $d$ を正の整数とする. $\sqrt d$ が有理数であるとして, $d$ が平方数であることを示せばよい. このとき, $\sqrt d$ は $\sqrt d = \dfrac{m}{n}$ ($m, $ $n$: 整数, $n \neq 0$)と表され, $n\sqrt d = m$ から $n^2d = m^2$ となる.
ピタゴラス数といいます。 (3, 4, 5)(5, 12, 13)(8, 15, 17)(7, 24, 25)(20, 21, 29) (12, 35, 37)(9, 40, 41)
腰痛に効く背筋トレーニングを紹介! 腰痛を改善したいときにおすすめの背筋トレーニングとしてはピラティスが挙げられます。アザラシと呼ばれるポーズでは、うつ伏せの状態から軽く上体を持ち上げて、腕と脚を浮かせてください。 脚と腕を上げ下げする運動を10回前後繰り返しましょう。同じように上体を浮かせながら、両腕を横に開くポーズも腰痛に効果的です。このポーズのときは足の裏同士を密着させて膝を浮かせることを意識してみてください。 ダンベルトレーニングだけでなく、ピラティスなどのトレーニングも組み合わせて背筋を鍛えていきましょう。 おすすめのダンベルを紹介! ここでは、おすすめのダンベルを2つ紹介します!
引き締まった 背中 を手に入れたいときにおすすめの 筋トレ 「ワンハンドロウ」。 背中 の筋肉である 広背筋 を収縮させる運動で、初心者でも行ないやすいメニューとして、定番の ダンベル トレーニング です。
背筋 を鍛える種目として効果的ですが、腰を使うため、誤ったフォームで行なうと腰を痛める可能性があります。
今回、 Reebok ONEエリート /フィットネス ランニング トレーナーとして活躍する鳥光健仁さん監修のもと、MELOS公認トレーナー富田巧哉が、ワンハンドロウの正しいやり方・フォームを動画で解説します。
ワンハンドロウの正しいやり方
1. 足を肩幅に広げ、片手と片足をベンチに乗せる。
▲胸を張って体をまっすぐに保つ
2. 背中の筋肉“広背筋”を鍛えるダンベル筋トレ「ワンハンドロウ」 | トレーニング×スポーツ『MELOS』. 少し胸を張り、肩が上がらないよう胸の高さまで ダンベル を引き上げる。
▲肩甲骨が寄らないよう、 広背筋 を意識する
3. ダンベル を下げる。
実施回数
左右 各10回×3セット
ポイント
・息を吐きながら ダンベル を上げ、吸いながら ダンベル を下げる
・腰、 背中 、首は丸めない
鍛えられる筋肉(場所)
・ 広背筋
・ 僧帽筋
・ 三角筋
・菱形筋
・大円筋 etc…
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肩の筋肉を鍛える筋トレ│「三角筋」前部・中部・後部を大きくするダンベルトレーニング
「背筋」は部位別に筋トレせよ。背中の筋肉"広背筋・脊柱起立筋・僧帽筋"を鍛えるダンベルトレーニング5選
▼今回の動画をおさらい
[監修・ トレーニング 指導]
鳥光健仁(とりみつ・たけのり)
Reebok ONEエリート /フィットネス ランニング トレーナー。千葉県出身、1991年生まれ。
[出演トレーナープロフィール]
富田巧哉 (とみた・たくや)
MELOS公認トレーナー。東京都足立区出身、1995年9月2日生まれ。 EPARKスポーツ 認定トレーナー・イベントプランナーとして活動中。
広背筋をダンベルで鍛える方法が知りたい…。 ダンベルで鍛える時のポイントはある?
ダンベルを使った広背筋トレーニングは、自分に合った負荷をかけられるため、 初心者でも 安全に効率よく筋力アップを目指せる でしょう。 とはいえ、広背筋トレーニングは間違ったフォームで行うと、筋トレ効果が得られないうえ怪我の原因になりかねません。 ダンベルで広背筋トレーニングを行うなら、 正しいフォームで行う といったポイントに注意して取り組みましょう。 広背筋を鍛えるうえでのポイントを最低限抑えて、理想の身体を手に入れてくださいね!
ダンベルスイング ダンベルスイングのやり方 ・プレートの枚数に偏りを持たせたダンベルを用意します。持ち手側は少なく、身体から遠い側に多くのプレートを付けるのが基本です。 ・肩幅に脚を開いたら、枚数が少ない側のプレートに両手をかけてダンベルを持ちます。 ・お尻を突き出した前傾姿勢から股間にダンベルを通し、股関節の屈曲を意識しながらダンベルを持ち上げましょう。 ・背中を伸ばしたままダンベルを上げ下げするのがポイントです。 ・10回の上げ下げを1セットとしたうえで10回行うのが目安になります。 ダンベルスイングのコツ ・脚ではなく臀部を意識する ・ダンベルを振りすぎない ダンベルスイングについてもっと詳しく見る▽ ケトルベルスイングとダンベルスイングのやり方&コツを解説|効果的に背筋を鍛えるには? ダンベルグッドモーニング ダンベルグッドモーニングのやり方 ・肩幅に脚を開いたら、左右それぞれの手にダンベルを持ちます。ダンベルは太腿の正面からやや側面に近い位置に添えてください。 ・視線を前に固定したまま上体を前傾させます。このとき、背中が丸まらないように注意しましょう。 ・ダンベルの重さによって背部の筋肉に負荷がかかっていることを感じながら、背中と床が平行になるまで上体を倒します。 ・反動をつけることなくゆっくり上体を起こしてください。直立姿勢になったら、再び上体を倒す動作の繰り返しです。 ・上体を倒してから起こす動作を10回×3セット実施するのが目安になります。 ダンベルグッドモーニングのコツ ・背中を丸めない ・肩に力を入れない ダンベルグッドモーニングについてもっと詳しく見る▽ ダンベルグッドモーニングのやり方とコツを解説|効果的に背筋を鍛えるには? バックエクステンション バックエクステンションのやり方 ・床にうつ伏せになったら、手足を伸ばして地面から浮かせます。爪先や腕が地面に触れていない状態が基本姿勢です。 ・背中の筋肉を意識しながら、上半身を弓なりに起こしてください。 ・上半身を起こすときは腕を3つの段階に分けて手前に引き寄せましょう。3回目で肩よりも後ろに肘が来ているのが理想です。 ・数秒キープしたら、今度は4つの段階に分けて基本姿勢に戻ってください。キープするときは背中を反り過ぎないように注意しましょう。 ・上体を起こしては戻す運動を10回~15回行うのが1セットです。3セットを目標に取り組みましょう。 バックエクステンションのコツ ・呼吸法を意識する ・鍛えている部位を意識する ・適正な回数で行う ・マシンやベンチを使って負荷を調整 ・トレーニングの締めに行う バックエクステンションについてもっと詳しく見る▽ バックエクステンションのやり方とコツを解説|効果的に背筋を鍛えるには?