高校数学における、相加相乗平均について、数学が苦手な生徒でも理解できるように解説 します。 現役の早稲田生が相加相乗平均について丁寧に解説しています。 相加相乗平均は、数学の問題の途中で利用することが多く、知っていないと解けない問題もあったりします。 本記事では、 一般的な相加相乗平均だけでなく、3つの変数における相加相乗平均や、使い方についても解説 していきます。 相加相乗平均について充実の内容なので、ぜひ最後まで読んでください! 1:相加相乗平均とは? (公式) まずは、相加相乗平均とは何か(公式)を解説します。 相加相乗平均とは、「2つの実数a、b(a>0、b>0)がある時、(a+b)/2≧√abが成り立ち、等号が成り立つのはa=bの時である」という公式のこと をいいます。 ※実数の意味がわからない人は、 実数とは何かについて解説した記事 をご覧ください。 また、(a+b)/2をaとbの相加平均といい、√abのことを相乗平均といいます。 以上が相加相乗平均とは何か(公式)についての解説です。 次の章では、相加相乗平均が成り立つ理由(証明)を解説します。 2:相加相乗平均の証明 では、相加相乗平均の証明を行っていきます。 a>0、b>0の時、 a+b-2√ab =(√a) 2 -2・√a・√b+(√b) 2 = (√a-√b) 2 ≧0 よって、 a+b-2√ab≧0 となるので、両辺を整理して (a+b)/2≧√ab となります。 また、等号は (√a-√b) 2 =0 より、 √a=√b、すなわち a=bの時に成り立ちます。 以上で相加相乗平均の証明ができました! 【高校数学Ⅱ】「相加・相乗平均の大小関係の活用」 | 映像授業のTry IT (トライイット). 3:相加相乗平均の使い方 相加相乗平均はどんな場面・問題で使うのでしょうか? 本章では、例題を1つ使って、相加相乗平均の使い方をイメージして頂ければと思います。 使い方:例題 a>0とする。この時、a+1/2aの最小値を求めよ。 解答&解説 相加相乗平均より、 a+1/2a ≧ 2・√a・(1/2a) です。 右辺を計算すると、 2・√a・(1/2a) =√2 となるので、 a+1/2aの最小値は√2となります。 相加相乗平均の使い方がイメージできましたか? 今までは、aとbという2つの変数の相加相乗平均を解説してきました。 しかし、相加相乗平均は3つの変数でも活用できます。次の章からは、3つの変数の相加相乗平均を解説します。 4:変数が3つの相加相乗平均 変数が3つある場合の相加相乗平均は、「(a+b+c)/3≧(abc) 1/3 」となり、等号が成り立つのはa=b=cの時 です。 ただし、a>0、b>0、c>0とする。 次の章では、変数が3つの相加相乗平均の証明を解説します。 5:変数が3つの相加相乗平均の証明 少し複雑な証明になりますが、頑張って理解してください!
!」 と覚えておきましょう。 さて、 が成立するのはどんなときでしょうか。 より、 √a-√b=0 ⇔√a=√b ⇔a=b(∵a≧0, b≧0) のときに、 となることがわかります。 この等号成立条件は、実際に問題で相加相乗平均を使うときに必須ですので、おまけだと思わずしっかり理解してください! 実は図形を使っても相加相乗平均は証明できる!? マクローリンの不等式 相加平均と相乗平均の1つの拡張 – Y-SAPIX｜東大・京大・医学部・難関大学現役突破塾. さて、数式を使って相加相乗平均の不等式を証明してきましたが、実は図形を使うことで証明することもできます。 上の図をみてください。 円の中心をO、直径と円周が交わる点をA、Bとおき、 直線ABと垂直に交わり、点Oを通る直線と、円周の交点をCとおきます。 また、円周上の好きなところにPをおき、Pから直線ABに引いた垂線の足をHとおきます。 そして、 AH=a BH=b とおきます。 ただし、a≧0かつb≧0です。辺の長さが負の数になることはありえませんから、当たり前ですね。 このとき、Pを円周上のどこにおこうと、 OC≧PH になることは明らかです。 [直径]=[AH+BH]=a+b より、 OC=[半径]=(a+b)/2 ですね。 ということは、PH=√ab が示せれば、相加相乗平均の不等式が証明できると思いませんか? やってみましょう。 PH=xとおきます。 三平方の定理より、 BP²=x²+b² AP²=a²+x² ですね。 また、線分ABは円の直径であり、Pは円周上の点であるので、 ∠APBは直角です。 そこで三角形APBに三平方の定理を用いると、 AB²=AP²+BP² ⇔(a+b)²=2x²+b²+a² ⇔2x²=a²+2ab+b²-(a²+b²) ⇔2x²=2ab ⇔x²=ab ⇔x=√ab(a≧0, b≧0) よって、PH=√abを示すことができ、 ゆえに、 を示すことができました! 等号成立条件は、OC=PH、つまり Hが線分ABの中点Oと重なるときですから、 a=b です!
問題での相加相乗平均の使い方 公式が証明できたところで、公式を使って問題を解いてみましょう。 等号が成立する条件をきちんと示そう まずはこの問題を解いてみてください。 【問題1】x>0のとき、 の最小値を求めなさい。 【解説2】 問題を眺めていて、相加相乗平均が使えそうだな…と思う箇所はありませんか? そう、 ここです! 相加相乗平均の不等式により、 と答えようとしたあなた、それを答案に書くと、大幅に減点されるでしょう。 x+1/x≧2 という式は、単に「2以上になる」と言っているだけで、「2が最小値である」とは一言も言っていません。つまり、最小値が3である可能性もあるわけです。 ですから、x+1/x=2、つまり等号成立条件を満たすxが存在することを証明しないと、(x+1/x)の最小値が2だから(x+1/x)+2の最小値が4〜なんてことは言えないのです。 における等号成立条件は、a=bでした。 つまり今回の等号成立条件は、 x=1/x ⇔x²=1かつx>0 ⇔x=1 となり、x+1/x=2を満たすxが存在することを示すことができました。 これを書いて初めて、最小値の話を持ち出すことができます。 この等号成立条件は書き忘れて大減点をくらいやすいところですので、くれぐれも注意してください。 【問題2】x>0のとき、 の最小値を求めなさい。 【解説2】x>0より、相加相乗平均の不等式を用いて、 等号成立条件は、 2/x=8x ⇔x²=¼ ⇔x=½ (∵x>0) よって、求める最小値は8である。 打ち消せるかたまりを探す! 【問題3】x>0, y>0のとき、 の最小値を求めなさい。 【解説3】 どこに相加相乗平均の不等式を使うかわかりますか? このままでは何をしても文字は打ち消されません。展開してみましょう。 x>0, y>0より、相加相乗平均の不等式を用いると、 等号成立条件は、 6xy=1/xy ⇔(xy)²=⅙ ⇔xy=1/√6(∵x>0かつy>0) よって、6xy+1/xyの最小値は2√6であるので、 (2x+1/y)(1/x+3y)=5+6xy+1/xyの最小値は、 2√6+5 打ち消せるかたまりがなかったら作る! 相加平均 相乗平均 証明. 【問題4】x>-3のとき、 の最小値を求めよ。 【解説4】 これは一見、打ち消せる文字がありません。 しかし、もしもないのであれば、作ってしまえばいいのです!
最新情報を受け取ろう! 受験のミカタから最新の受験情報を配信中! この記事の執筆者 ニックネーム:やっすん 早稲田大学商学部4年 得意科目:数学
この記事は最終更新日から1年以上が経過しています。内容が古くなっているのでご注意ください。 はじめに 数学に出て来る数多くの公式の中でも有名である、相加相乗平均の不等式。 シンプルな形をしていて覚えやすいとは思いますが、あなたはこの公式を証明することはできますか? 単に式だけを覚えていて、なんで成り立つのかはわからない… というあなた。それはとても危険です。 相加相乗平均に限らず、公式がなぜ成り立つのかを理解しておかないと、公式が成り立つための条件などを意識することができず、それが答案上で失点へと結びついてしまいます。 この記事では、相加相乗平均を2つの方法で証明するだけでなく、文字が3つある場合の相加相乗平均の公式や、実際の問題を解く際の相加相乗平均の使い方についてお伝えします。 大学入試において、どうしても解けないと思った問題が、相加相乗平均を使ったらあっさり解けてしまった、ということは(本当に)よくあります。 この記事で相加相乗平均をマスターして、入試における武器にしてしまいましょう! 文字が2つのときの相加相乗平均の証明 ではまず、一番よく見るであろう、文字が2つのときの相加相乗平均について説明します。 そもそも「相加相乗平均」とは? 相加平均 相乗平均 違い. そもそも「相加相乗平均」とはどういった公式なのでしょうか。 「相加相乗平均」とは実は略称であり、答案で書くべき名前は「相加相乗平均の不等式」です。 この公式を☆とおきます。 では、証明していきましょう! まずはオーソドックスな数式を使う相加相乗平均の証明 まずは数式で説明します。といっても簡単な証明です。 a≧0, b≧0のとき、 よって証明できました。 さて、☆にはなぜ、「a≧0かつb≧0」という条件が執拗なほどについてくるのでしょうか。 まず☆は√abを含んでいるので、この平方根を成立させるために、ab≧0である必要があります。 つまり (a≧0かつb≧0)または(a≦0かつb≦0) です。 しかし、a≦0かつb≦0のときを考えてみると、 (a+b)/2≧√ab≧0より、(a+b)/2は0以上でなければならないのにも関わらず、 (a+b)/2が0以上となるのはa=b=0のときのみですね。負の数に負の数を足したら負の数になるし、0に負の数を足しても負の数になることがその理由です。 そして、a=b=0は、「a≧0かつb≧0」に含まれています。 よって、☆が成り立つa, bの条件は、 a≧0かつb≧0 であるわけです。 問題を解いているときに、ついここを忘れて、負の数が入っているにも関わらず相加相乗平均を使ってしまい、まったく違う答えが出てしまったりします。 「相加相乗平均を使うときは、使う数がどっちも0以上でないといけない!!
マクローリンの不等式 相加平均と相乗平均の1つの拡張 – Y-SAPIX|東大・京大・医学部・難関大学現役突破塾 「マクローリンの不等式 相加平均と相乗平均の1つの拡張」に関する解説 相加平均と相乗平均の関係の不等式は一般にn変数で成立することはご存じの方が多いでしょう。また、そのことの証明は様々な誘導つきでこれまでに何度も大学入試で出題されています。実はn変数の相加平均と相乗平均の不等式は、さらにマクローリンの不等式という不等式に拡張できます。今回はそのマクローリンの不等式について解説します。 キーワード:対称式 相加平均と相乗平均の大小関係 マクローリンの不等式
上の部分を折り、広げてから、上の一枚を折り線に合うように折ります。 8.広げられる部分を戻し、三角形の部分を折り線に向かって折ります。 9.羽になる部分を開き、軽く横に引っ張ります。 10.頂上の四角形の部分を中央に合わせるように押し込みます。 11.ダイヤのような形になったら、両面の上の角を折ります。 12.羽の部分を上に折り、バツ印になるように折り線を付けます。 13.中央に折り込み、出っ張った部分を横に折る 14.横の部分を開き、中に折り込んでからもとに戻します。 15.耳のような形になった横の部分を折り込み、上の部分を細く折り込みます。 16.手足になる部分を開いて立たせてから折り込みます。 17.一度折り目を付け、出っ張りを上に折り上げてから、中に折り込みます。 18.出っ張り部分を折ってから、残った首の部分を中に折り込みます。 19.首の部分を開き、上の部分を2度折ってから軽く引っ張ります。 20.尻尾にあたる部分に指を入れ、立たせます。 21.足の部分を2度、羽の部分を1度折り返して、完成です! 上級編|かっこいい折り紙のドラゴン・龍の難しい折り方 上級編|ちょっと難しい!折り紙ドラゴン・龍の折り方 折り紙ドラゴンの基本に慣れたら、今度はちょっぴり難しい折り方に挑戦してみましょう!ここでご紹介する作り方では、基本的な折り方を応用して、さらに立体的でリアルなドラゴンを作ることができます。 動画では実際の折り方と折り図の両方が見られるので、折り紙が苦手な方でも安心して作ることができます。「もっとかっこいいドラゴンを作ってみたい!」という方は、ぜひチャレンジしてみてください! 【折り紙】ドラゴンの作り方9種類！世界一難しい折り方は？【動画あり】 | Cuty. 上級編|超難しい!折り紙ドラゴン・龍の折り方 上級編になると、初級編よりも細かく複雑な作業と集中力が必要になります。しかし、出来上がった時の達成感はこの上ないものだと思います。出来上がった完成図をイメージしながら、根気よく作っていきましょう。 ここでご紹介している動画では、一般的な折り紙より少し大きいタイプの紙を使用しています。複雑な形状をしたウロコやドラゴンらしい凶暴そうな顔なども表現できるため、よりリアルなドラゴンを作るにはピッタリの折り方です。「折り紙の腕には自信がある!」という方は、ぜひチャレンジしてみてください! 上級編の折り紙ドラゴンを上手に作るためには「丁寧に折り目を付けること」がポイントになります。同じ折り方を何度も繰り返すことも多いですが、それぞれ少しずつ折り幅が異なっており、折り幅の違いがドラゴンの表情やシルエットに影響します。動画を参考に慎重に折っていくようにしましょう!
ドラゴンの折り紙の作り方・折り方【簡単編】②ドラゴンのしおり ドラゴンの折り紙の作り方・折り方の簡単編2つ目は、ドラゴンのしおりです。しおりなので体は平面ですが、翼が飛び出るしおりになります。 ドラゴンのしおりの折り方 1 鶴の基本形まで折る。(足を作る前の状態の事) 2 基本形を開いて、鶴なら羽にあたる方の端を中央に沿って折る。 3 中割折りをして首を作る。 4 更に先端も中割折りをして頭を作り、更に中割折りをしてつのを作る。 5 もう片方も中割折りして、首とまっすぐになる様に折る。 6 翼部分を折って、折り線に沿って更に折る。 7 裏面も同じように折って完成! ドラゴンの折り紙の作り方・折り方2選!【初級編】 ドラゴンの折り紙の作り方・折り方【初級編】①簡単な立体ドラゴン ドラゴンの折り紙の作り方・折り方の初級編1つ目は、簡単な立体ドラゴンです。立体的なドラゴンの中で、一番簡単な折り方です。 簡単な立体ドラゴンの折り方 1 鶴の基本形まで折る。 2 鶴の背中にあたる部分の角を折って戻す。 3 少し開いて折り線を付けた部分を内側に折り込む。 4 角と角の対角線状に折る。 5 一枚を下に折って開く。 6 折った端を折り線に沿って左右折り線を付ける。 7 折り線を内側に折り込み、片方に寄せて折っておく。 8 中割折りをして首を作り、更に中割折りして頭を作る。 9 反対側も中割折りして尻尾を作る。 10 尻尾部分を半分に折る。 11 尻尾は中割折りをしてぎざぎざにしておく。 12 足の部分を内側に折る。 13 翼部分を上に折る。 14 頭部分を内側に折り込み、首を作る。 15 頭部分を開いて先端が細くなるように折り込む。 16 前足を折ったら完成! ドラゴンの折り紙の作り方・折り方【初級編】②ネッシーみたいなドラゴン ドラゴンの折り紙の作り方・折り方の初級編2つ目は、ネッシーみたいなドラゴンです。ネッシーのように首が長く、草食系のようなドラゴンです。 ネッシーみたいなドラゴンの折り方 4 角と角の対角線状に折り、裏面も同じ様に折る。 5 表裏一枚ずつ下におる。 7 折り線を内側に折り込み、片方に寄せて折っておく。裏側も同じ様に折る。 8 左右どちらも中割折りする。 9 左右どちらも内側に折り込み、半分になるように下に折る。 10 左右どちらも端と端を合わせて、半分になるように折る。 11 折った所は全て内側に折り込んでおく。 12 中割折りをして首を作り、更に中割折りを2回して頭とつのを作る。 13 足を全部で4つ折る。(立てても良いし、横でも良い。) 14 尻尾は折り込みを繰り返しぎざぎざにしておく。 15 翼を上に折り上げて完成!
折り紙ドラゴン・龍の完成形⑥|立派な尻尾がインパクトのあるドラゴン 折り紙ドラゴンは、何をモチーフにするかによって作品の雰囲気が変化します。こちらの写真の折り紙ドラゴンは、太くて立派な尻尾が特徴的なドラゴンになっています。黄緑色の体色によって、は虫類らしさがより引き出されており、実際にいてもおかしくない雰囲気を放っています。 実際にこの作品のように複雑な折り紙ドラゴンが折れるようになるまでには、慣れが必要でもありますが、複雑なデザインの作品が折れるようになった時にはさらに難しいドラゴンを作りたくなるかもしれませんね! 折り紙ドラゴン・龍の完成形⑦|神秘的な半透明のドラゴン 折り紙ドラゴンは、折るのが大変な作品でもありますが、慣れてくると大きな折り紙や特殊な折り紙でチャレンジしたくなる魅力があります。こちらの写真の折り紙のドラゴンは、セロファンのような半透明の折り紙で出来ています。普通の折り紙でできたドラゴンとはまた一風変わった雰囲気がありますね! 折り紙のドラゴン(龍)の折り図5選 折り紙ドラゴン・龍の折り図①|立体的なドラゴンで基本を覚えよう! 折り紙ドラゴンの中でも、比較的スタンダードな姿をしているこちらの折り紙のドラゴンは、途中までは折り紙の「鶴」を折る時と同じ方法になっています。難しい部分も、動画ではゆっくり折り進めているため、動画を一時停止しながらチャレンジしてみましょう! 折り紙ドラゴン・龍の折り図②|ドラゴンの特徴的な翼をマスターしよう! ドラゴン(龍)の特徴でもある翼は、折り紙で表現するのが難しいように感じる方も多いと思います。こちらの動画では、そんな翼の折り方を練習するにはピッタリの折り図になっています。動画を見ながら、よりリアルな折り紙のドラゴンを作れるようになりましょう! 折り紙ドラゴン・龍の折り図③|2足で自立するドラゴンもこれで簡単 先ほどの「折り紙ドラゴン(龍)の完成形」でもご紹介したような、2足で自立するタイプの折り紙ドラゴンを折るのは、一見難しいように感じるかもしれませんが、実は折り図自体はとても簡単なのです!動画では折り図を実際の折り方を並行して見ることができるので、ぜひチャレンジしてみてください! 折り紙ドラゴン・龍の折り図④|とても簡単!尻尾が特徴的なドラゴン 尻尾の長いドラゴンを折る時には、折り方にも工夫が必要になるため「これなら簡単かもしれない」と思ってチャレンジしてみても、意外に苦戦するという方も多いようです。今回ご紹介する動画の中では、途中経過もじっくり見せてくれているため、動画を見ながらぜひ挑戦してみてください!
折り紙の龍・ドラゴンの番外編 トカゲの折り図・作り方 折り紙ドラゴンが折れるようになったら、トカゲなどの「は虫類」も簡単に作れるようになります。ここでは折り紙のトカゲの中でも、折り紙ドラゴンとよく似た折り方をする「エリマキトカゲ」の折り方についてまとめています。は虫類が好きな方はぜひチャレンジしてみてください! 恐竜の折り図・作り方 折り紙ドラゴンと同じく、特に男性に人気の高い折り紙作品に「恐竜」があります。ここでは恐竜のなかでも特に人気の高い「ティラノサウルス」の折り方についてご紹介します。恐竜らしい手足や尻尾の構造は、折り紙ドラゴンを応用したものとなっていますので、動画を参考にぜひ作ってみて下さいね! 折り紙のドラゴンや龍の作り方をマスターして自慢しよう! 基本的な作り方から一筋縄ではいかないような難しい作品まで、数々のドラゴン・龍の折り方についてまとめましたが、いかがでしたでしょうか?難しい場合は何度も動画を見直したり、友達と一緒に挑戦するのも折り紙の醍醐味です。難しいけれどかっこいい…折り紙のドラゴンの作り方をマスターしてお友達に自慢しましょう! 関連記事では、一見簡単には作れない「ウエディングブーケ」を折り紙で作る時のポイントや実際の作り方についてまとめていますので、こちらもぜひ参考にしてチャレンジしてみてください! ●商品やサービスを紹介いたします記事の内容は、必ずしもそれらの効能・効果を保証するものではございません。 商品やサービスのご購入・ご利用に関して、当メディア運営者は一切の責任を負いません。