(1)問題概要
円と直線の交点の数を求めたり、交わるときの条件を求める問題。
(2)ポイント
円と直線の位置関係を考えるときは、2通りの考え方があります。
①直線の方程式をy=~~またはx=~~の形にして円の方程式に代入→代入した後の二次方程式の判別式を考える
②中心と直線の距離と半径の関係を考える
この2通りです。
①において、
円の方程式と直線の方程式を連立すると交点の座標が求められます。
つまり、 代入した後にできる二次方程式は、交点の座標を解に持つ方程式 となります。
それゆえ、
D>0⇔方程式の解が2つ⇔交点の座標が2つ⇔交点が2つ
D=0⇔方程式の解が1つ⇔交点の座標が1つ⇔交点が1つ(接する)
D<0⇔方程式の解がない⇔交点の座標がない⇔交点はない(交わらない)
となります。
また、②に関して、
半径をr、中心と半径の距離をdとすると、
d
したがって,円と直線は $1$ 点で接する. この例のように,$y$ ではなく $x$ を消去した $2$ 次方程式の判別式を調べてもよい.
円と直線の共有点の個数 2個 円と直線の位置関係 連立方程式の判別式$D$ $D \gt 0$ $(p, q)$と直線の距離$d$ $d \gt r $ 円と直線の共有点の個数 1個 円と直線の位置関係 連立方程式の判別式$D$ $D = 0$ $(p, q)$と直線の距離$d$ $d = r $ 円と直線の共有点の個数 0個 円と直線の位置関係 連立方程式の判別式$D$ $D \lt 0$ $(p, q)$と直線の距離$d$ $ d \lt r$ 吹き出し座標平面上の円を図形的に考える これは暗記するようなものではない. 必ず簡単なグラフを描いて考えよう. 円が切り取る線分の長さ 無題 円$C:x^2+y^2=6$と直線$l:x+2y=k$が2点$A,B$で交わり,$AB = 2$であるとき, $k$の値を求めたい. 【高校数学Ⅱ】「円と直線の位置関係の分類」(練習編) | 映像授業のTry IT (トライイット). 以下の$\fbox{? }$に入る式・言葉・値を答えよ. 図のように,円の中心を$O$とし,$O$から直線$x+2y=k$へ下ろした垂線の足を$H$とおく. このとき,$\text{OA}=\fbox{A}, ~\text{AH}=\fbox{B}$であるので,三平方の定理より,$ \text{OH}=\fbox{C}$. ところで,$OH$の長さは,点$O$と直線$\fbox{D}$の距離に一致するので, 点と直線の距離より \[\text{OH}=\fbox{E}\] よって,方程式$\fbox{E}=\fbox{C}(=\text{OH}) $を解けば,$ k=\fbox{F}$と求められる. $\fbox{A}:\boldsymbol{\sqrt{6}}$ $\fbox{B}:\dfrac{1}{2}\text{AB}=\boldsymbol{1}$ $\fbox{C}:\sqrt{(\sqrt{6})^2 -1^2}=\boldsymbol{\sqrt{5}}$ $\fbox{D}:$(直線)$\boldsymbol{x+2y=k}$ $\fbox{E}:\boldsymbol{\dfrac{|0 +2\cdot 0 -k|}{\sqrt{1^2+2^2}}}=\boldsymbol{\dfrac{|k|}{\sqrt{5}}}$ ←直線$x + 2y − k = 0$と点$(0, ~0)$の距離を 点と直線の距離 で計算 $\fbox{F}:\dfrac{|k|}{\sqrt{5}}=\sqrt{5} ~~~\Leftrightarrow ~~|k|=5$, つまり,$\boldsymbol{k=\pm 5}$.
円と直線の交点 円と直線の交点について,グラフの交点の座標と連立方程式の実数解は一致する. 円と直線の共有点の座標 座標平面上に円$C:x^2+y^2=5$があるとき,以下の問いに答えよ. 直線$l_1:x+y=3$と円$C$の共有点があれば,すべて求めよ. 直線$l_2:x+y=4$と円$C$の共有点があれば,すべて求めよ. 円 と 直線 の 位置 関連ニ. 直線$l_1$と円$C$の共有点は,連立方程式 \begin{cases} x+y=3\\ x^2+y^2=5 \end{cases} の解に一致する.上の式を$\tag{1}\label{entochokusennokyouyuutennozahyou1}$,下の式を$\tag{2}\label{entochokusennokyouyuutennozahyou2}$とするとき,$\eqref{entochokusennokyouyuutennozahyou1}$より$y = 3 – x$であるので, これを$\eqref{entochokusennokyouyuutennozahyou2}$に代入すれば \begin{align} &x^2+(3-x)^2=5\\ \Leftrightarrow~&2x^2 -6x+9=5\\ \Leftrightarrow~&x^2 -3x+2=0 \end{align} これを解いて$x=1, ~2$. $\eqref{entochokusennokyouyuutennozahyou1}$より,求める共有点の座標は$\boldsymbol{(2, ~1), ~(1, ~2)}$. ←$\eqref{entochokusennokyouyuutennozahyou1}$に代入して$y$を解く.$x=1$のとき$y=2,x=2$のとき$y=1$となる. 直線$l_2$と円$C$の共有点は,連立方程式 x+y=4\\ の解に一致する.上の式を$\tag{3}\label{entochokusennokyouyuutennozahyou3}$,下の式を$\tag{4}\label{entochokusennokyouyuutennozahyou4}$とするとき, $\eqref{entochokusennokyouyuutennozahyou3}$より$y = 4 – x$であるので, これを$\eqref{entochokusennokyouyuutennozahyou4}$に代入すれば &x^2+(4-x)^2=5~~\\ \Leftrightarrow~&2x^2 -8x+11=0 \end{align} $\tag{5}\label{entochokusennokyouyuutennozahyou5}$ となる.2次方程式$\eqref{entochokusennokyouyuutennozahyou5}$の判別式を$D$とすると \[\dfrac{D}{4}=4^2 -2\cdot 11=-6<0\] であるので,$\eqref{entochokusennokyouyuutennozahyou5}$は実数解を持たない.
しよう 図形と方程式 円の方程式, 判別式, 点と直線の距離, 直線の方程式 この記事を書いた人 最新記事 リンス 名前:リンス 職業:塾講師/家庭教師 性別:男 趣味:料理・問題研究 好物:ビール・BBQ Copyright© 高校数学, 2021 All Rights Reserved.
円と直線の位置関係を,それぞれの式を利用して判断する方法を $2$ 通り紹介します. 円と直線の共有点 平面上に円と直線が位置しているとき,これらふたつの位置関係は次の $3$ パターンあります. どのような条件が成り立つとき,どのパターンになるのでしょうか.以下,$2$ つの方法を紹介します. 点と直線の距離の公式を用いる方法 半径 $r$ の円と直線 $l$ があるとしましょう.ここで,円の中心から直線 $l$ までの距離を $d$ とすると,次が成り立ちます. 円と直線の位置関係1: 半径 $r$ の円の中心と直線 $l$ の距離を $d$ とする. $$\large d< r \Leftrightarrow \mbox{円と直線は}\ \color{red}{\mbox{異なる2点で交わる}}$$ $$\large d =r \Leftrightarrow \mbox{円と直線は}\ \color{red}{\mbox{1点で接する}}$$ $$\large d >r \Leftrightarrow \mbox{円と直線は}\ \color{red}{\mbox{共有点をもたない}}$$ これは下図をみれば明らかです. この公式から $d$ と $r$ をそれぞれ計算すれば,円と直線の位置関係が調べられます.すなわち,わざわざグラフを書いてみなくても, 代数的な計算によって,円と直線がどのような位置関係にあるかという幾何学的な情報が得られる ということです. 円と直線の位置関係を調べよ. 問 円 $x^2+y^2=3$ と直線 $y=x+2$ の位置関係を調べよ. →solution 円 $x^2+y^2=3$ の中心の座標は $(0, 0)$. $(0, 0)$ と直線 $y=x+2$ との距離は $\sqrt{2}$. 一方,円の半径は $\sqrt{3}$. $\sqrt{2}<\sqrt{3}$ なので,円と直線は $2$ 点で交わる. 問 円 $(x-2)^2+(y-1)^2=5$ と直線 $x+2y+1=0$ の位置関係を調べよ. 円 $(x-2)^2+(y-1)^2=5$ の中心の座標は $(2, 1)$. $(2, 1)$ と直線 $x+2y+1=0$ との距離は $\sqrt{5}$. 一方,円の半径は $\sqrt{5}$. したがって,円と直線は $1$ 点で接する.
2zh] 場合分けをせずとも\bm{瞬殺できる型}である. \ 接点の座標は, \ \bm{接線の接点における法線(垂直な直線)が円の中心を通る}ことを利用して求める. 2zh] 2直線y=m_1x+n_1, \ y=m_2x+n_2\, の垂直条件は m_1m_2=-\, 1 \\[. 2zh] よって, \ y=2x\pm2\ruizyoukon5\, と垂直な直線の傾きmは, \ 2\cdot m=-\, 1よりm=-\bunsuu12\, である. 円と直線の位置関係|思考力を鍛える数学. 8zh] 原点を通る傾き-\bunsuu12\, の直線はy=-\bunsuu12x\, で, \ これと接線の交点の座標を求めればよい. 接点の座標(重解)は, \ \maru1にk=\pm\, 2\ruizyoukon5\, を代入して解いても求められるが, \ スマートではない. 2zh] 2次方程式\ ax^2+bx+c=0\ の解は x=\bunsuu{-\, b\pm\ruizyoukon{b^2-4ac}}{2a} \\[. 5zh] よって, \ D=b^2-4ac=0\ のとき\bm{重解\ x=-\bunsuu{b}{2a}}\, であり, \ これを利用するのがスマートである. 8zh] \maru1においてa=5, \ b=4kなので重解はx=-\bunsuu25k\, であり, \ これにk=\pm\, 2\ruizyoukon5\, を代入すればよい. \bm{そもそも()^2\, の形になるようにkの値を定めたのであるから, \ 瞬時に因数分解できる. }
プチプチシートを楽天でみる アルミホイル アルミホイルを使うことで、冷たさが持続するといわれてます。 保冷剤はジェル状のものが多く中身は、ほぼ水。 それが空気にふれることにより、温度が中に入り時間と共にとけていきます。 そんなとき、アルミホイルで保冷剤をキッチリ巻くことで冷たさが長持ちできるんだとか! なぜならばアルミホイルは、熱が伝わりやすい特徴があるから。 アルミホイルで保冷剤を包む ことで、保冷剤の冷たさがより伝わるわけなんです。 保冷剤の冷たさを長持ちさせてくれるアイテムにアルミホイルとプチプチシートを紹介しました。 この他にも、さらに保冷バッグを使うなどすると良いですね! 保冷剤の効果を長時間キープするには？お弁当やキャンプ時にも使えるコツ | 暮らし | オリーブオイルをひとまわし. お弁当を保冷剤で冷やすときの注意点 セリアにこんな保冷剤があった — はうる (@how_kun) July 11, 2020 夏のお弁当に保冷剤は欠かせませんよね! ちょっとした工夫で保冷剤を長持ちさせることができます。 ①お弁当は冷ます ②おかずに冷凍食品を使う ③保冷剤はフタの上に置く ④保冷バッグを使う 詳しく説明しますね! ①①お弁当は冷ます 夏のお弁当で一番気をつけなくてはいけないのが、傷ませないこと。 傷んだものを食べると、お腹を壊したり最悪の場合は食中毒になってしまいます。 そんなことにならないためにも お弁当は冷ましてから包みましょう! 温かいままフタをしてしまうと、食材の熱で食材が傷んでしまうことも。 特にゴハンはよく冷ましましょう。 我が家はご飯を詰めたら下に保冷剤を置いて冷まします。 ②おかずに冷凍食品を使う 今日の夫弁当です🍱 この時期のお弁当は気を使いますよね😅 冷食のから揚げ、自然解凍OKなので保冷剤を兼ねて便利👍 #お弁当 #冷凍食品ありがとう — ころん (@katura_coron) August 20, 2020 冷凍食品を保冷剤代わりに使うということです。 凍らせた一口ゼリーなども保冷剤代わりになりますし、食べるころにはすっかり溶けています。 デザート変わりになりますよ! ③保冷剤はフタの上に置く 冷気は空気より重く、下に流れる特徴があります。 なので、一番上のフタの上に置くことで冷気が下に伝わるため、食材が冷えて腐りにくくなります。 ④保冷バッグを使う 保冷剤で冷えたお弁当も温度が上がらないように保冷バッグを使いましょう。 特に外にお弁当を持っていくときは保冷剤はすぐに溶けてしまうので、保冷剤+保冷バッグで温度が上がらないようにしましょう。 その際は、余分に保冷剤を入れておくと良いですよ!
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蒸し暑い日々が続くと、お昼までの間にお弁当が傷まないか、気を使いますね。 保冷剤をランチバッグの中に入れたりと、対策が必要です。 保冷剤は、お弁当のフタの上に乗せると効率よく冷やすことができます よ♪ お弁当の下にも保冷剤を置いたり 、 お弁当の祖熱を取ってからバッグに入れる ことで、より長く保冷効果を保つこともできます。 お弁当を腐らせないための対策について、参考になれば嬉しいです。 水滴対策や保冷剤のタイプ についてもお伝えしていきます! お弁当の保冷剤/保冷効果が高い入れ方について 保冷剤はお弁当のフタの上に置く 冷気は上から下に向かって流れます 。 なので、お弁当のフタの上に乗せると効率よく冷やすことができます。 保冷バックに入れるかアルミホイルで包む お弁当箱を入れるバックは保冷効果のあるものでないと、あっという間に溶けてしまいます。 保冷バックが手元になければ、 お弁当箱と保冷剤をアルミホイルで包んだ状態で持ち運ぶ ことをオススメします。 さらに効果を高めたいなら お弁当箱の下にも保冷剤を敷く ことで、さらに効果を高めることができます。 また、 凍らせた飲み物や果物、ゼリーで隙間を埋める ことも効果的です。 埋めるべき隙間は、お弁当箱と保冷バックとの隙間です。 あとは最近ですと、自然解凍で食べられるものが増えているので、自然解凍で食べられるおかずをお弁当箱に入れることも効果的です。 保冷剤も小さなタイプ(30グラム程度)では、1時間半もすると効果を失うと言われています。 そのため、真夏は2個使いで対処していくことをおすすめします。 さらに! ただ、単純に保冷剤を使えば、それでよいというわけではありません。 ポイントは 保冷剤と冷やしたいものの温度差によって、保冷剤の持続時間はかわる ということです。 温度差が少ないほうが、保冷剤の持続時間が長くなります。作り立てでお弁当の温度が高いと、保冷剤は早く溶けてしまいます。 外気温によっても変わりますが、常温以上のお弁当に保冷剤を入れると、保冷剤が溶けるのは早くなってしまいます。一方で、冷蔵庫に入れたお弁当に保冷剤を入れると保冷剤が溶けるのは遅くなります。 なので、前日作ったお弁当は冷蔵庫に入れておいたり、朝作ったお弁当であれば、おかずの粗熱をとってから、1度冷蔵庫に入れておきましょう。 できるだけ冷ました状態にして、保冷剤との温度差を小さくしておくのがポイントです♪ スポンサーリンク 水滴対策/保冷剤を入れたバックがビチョビチョにならないために 水滴は、 保冷剤と保冷バッグの中の温度差が原因で生じている のです。 作り立ての温かいお弁当と、保冷剤の冷気の間に温度差が発生して、水滴ができてしまうという原理ですね。 保冷バッグの中身を冷やすために入れているので、仕方ない部分はあります。 でも、お弁当の包や保冷バッグが水滴でぬれてしますのはイヤですよね。 簡単にできる解決策をご紹介します。 それは 「ガーゼで保冷剤を包む」 こと!
保冷剤に水滴がついてしまったり、その水滴が保冷バックに付くのを、防ぐことができます。 お弁当をタオルで包むことで、代用することもできますね! 100円ショップで購入できる吸収素材にすれば、もっと安心です。 キッチンペーパーで包むと、水滴でびちょびちょになり後始末が大変なので、おすすめはしません… 保冷剤はどんなタイプがいいのか 小さいサイズは隙間に詰めやすいですが、大きいサイズのものは、空気に触れる面が少ないので、溶けにくいです。サイズごとの特徴によって使い分けることも大切ですね。 保冷剤は小さいものよりも、大きなサイズのものの方が解けるまでに時間がかかります。 より長く保冷時間を維持したいなら、大きいサイズの保冷剤を選ぶことをおすすめします。 保冷剤には2種類あります。 一つ目は、ポリエチレン製の袋に入った 「ソフトタイプ」 です。 ▼▼小さめ 100g▼▼ このタイプは、熱伝導率が高いので、飲み物や食材を素早く冷やすことができます。しかし、ハードタイプに比べて溶けやすく、破損もしやすいです。 2つ目は、プラスチック容器に入った 「ハードタイプ」 です。 こちらは、耐久性があり、保存効果を長時間保つことができるのが特徴的です。 キャンプやバーベキューのときには、おすすめですね! 保冷剤を長持ちさせる方法でアルミホイルは有効!?イヤイヤ〇〇を使いましょう!! | 役立つ情報館. 保冷バックに入れると時間はどれくらい持つの? 一般的な 保冷バッグの保冷力は、4~6時間程度 です。 しかし、外気温や保管場所などの条件によって前後します。 なので、部屋の中でも風通しのいい場所や、外の場合は日陰に置いておくなどして、できるだけ涼しい場所にお弁当を置いておくことをおすすめします。 いつからいつまで? お弁当の保冷剤が必要な時期 保冷剤を使い始めるのは、 予想最高気温が25度を超えそうな日が目安 です。 なので、 6月から9月の期間が保冷剤が必要な季節 と言えます。 しかし、近年は温暖化傾向にあるので、月で考えるよりも、その日の最高気温を参考にして、保冷剤を入れるか検討したほうがよいと思います。 まとめ 梅雨から、夏にかけての季節は、お弁当の食中毒が心配な主婦の方は多いのではないでしょうか。 お弁当の場合は、しっかり冷やしたいというよりも、菌の繁殖を抑えるために高温にならないように対策したいですよね。 そういった時に、保冷剤は欠かせないアイテムです。 食中毒から大切な家族の安全を守るためにも、ぜひ参考にしてくださいね(*^-^*)
生活・健康 2018. 06. 01 この記事は 約4分 で読めます。 この記事は約 4 分で読めます。 夏の暑い時期のお出かけによく使われる 保冷剤 キャンプや運動会などでも活躍しますよね!! 冷やしたい物を冷やしてくれる保冷剤を、少しでも長持ちさせる方法をお伝えしますね。 〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓 ▼保冷能力は一般的な樹脂製クーラーボックスの"42倍"!! 電源いらずで3日間冷え冷え 【オンリースタイル最強冷え冷えセット】 ▶詳細情報はこちら 保冷剤を長持ちさせるのに、アルミホイルは有効なの?? 保冷剤を長持ちさせるのに、 アルミホイルを巻いて・・・ なんて話がありますが、現実的には・・・ アルミホイルは熱伝導率が高いから、保冷剤に巻けば冷気を通す。 と言われている方もいますが、熱伝導率が高くて冷気を通すなら、 その逆で外の熱も保冷材に伝わるのでは?? と私は思います。 そこで、保冷剤を長持ちさせる方法で現実的な方法をご紹介しますね。 クーラーボックスではなく、発泡スチロールの箱を使う 保冷剤を長持ちさせる方法として、 根本的に入れ物を変えましょう。 保冷剤を入れて冷やす物は、クーラーボックスに入れたり保冷バッグに入れたりしますよね?? 実は、ホームセンターで売っている安価なクーラーボックスよりも 発泡スチロールの箱 の方が保冷効果が高いんです。 ちなみに、蓋つきの発泡スチロールの箱ですよ。 発泡スチロールの箱も、ホームセンターでも販売されていますし、鮮魚店などで貰うこともできるかもしれませんね。 【関連記事】 知っておきたい!! 保冷バッグの効果を上げる方法!! 保冷剤マスターへの道!! 保冷剤で冷やしたい物も事前に冷やしておく 保冷剤で冷やしたい物というと、 ジュース・お茶 食材 などがありますよね??
まとめ いかがでしょうか。 保冷剤とまわりの温度差を減らすことで、保冷剤の効果を少しでも長くキープできるということを覚えておけば、お弁当やクーラーボックス以外の状況でも活用できます。 周りのものも冷やす!ということを覚えておいて、これからの暑い夏に少しでも快適に過ごせるように、みなさんも保冷剤を有効的に活用してみてくださいね。 こちらの記事もチェック!