高校数学Aで学習する整数の性質の単元から 「最大公約数、最小公倍数の求め方、性質」 についてまとめていきます。 この記事を通して、 最大公約数、最小公倍数、互いに素とは何か 素因数分解を使った最大公約数、最小公倍数の求め方 逆割り算を用いた求め方 最大公約数、最小公倍数の性質 \((ab=gl)\) など 以上の内容をイチから解説していきます。 最大公約数、最小公倍数、互いに素とは? 最大公約数 2つ以上の整数について、共通する約数をこれらの 公約数 といい、公約数のうち最大のものを 最大公約数 といいます。 公約数は最大公約数の約数になっています。 以下の例では、公約数 \(1, 2, 34, 8\) はすべて最大公約数 \(8\) の約数になっていますね。 また、最大公約数は、それぞれに共通する因数をすべて取り出して掛け合わせた数になります。 最小公倍数 2つ以上の整数について、共通する倍数をこれらの 公倍数 といい、正の公倍数のうち最小のものを 最小公倍数 といいます。 公倍数は最小公倍数の倍数になります。 以下の例では、公倍数 \(96, 192, 288, \cdots \) はすべて最小公倍数 \(96\) の倍数になっていますね。 また、最小公倍数は、最大公約数(共通部分)にそれぞれのオリジナル部分(共通していない部分)を掛け合わせた値になっています。 互いに素 2つの整数の最大公約数が1であるとき,これらの整数は 互いに素 であるといいます。 【例】 \(3\) と \(5\) は最大公約数が \(1\) だから、互いに素。 \(13\) と \(20\) は最大公約数が \(1\) だから、互いに素。 これ以上、約分ができない数どうしは「互いに素」っていうイメージだね! また、互いに素である数には次のような性質があります。 【互いに素の性質】 \(a, \ b, \ c\) は整数で、\(a\) と \(b\) が互いに素であるとする。このとき \(ac\) が \(b\) の倍数であるとき,\(c\) は \(b\) の倍数 \(a\) の倍数であり,\(b\) の倍数でもある整数は,\(ab\) の倍数 この性質は、のちに学習する不定方程式のところで活用することになります。 次のようなイメージで覚えておいてくださいね!
- 素因数分解 最大公約数 プログラム
- 学校生活(ID:6348153) - インターエデュ
- 電通大の後期のレベル(ID:3232942) - インターエデュ
- 進研模試／ベネッセ総合学力テストの判定精度はどれくらいですか？｜よくある質問｜マナビジョンラボ
素因数分解 最大公約数 プログラム
[II] 素因数分解を利用して共通な指数を探す方法 最大公約数,最小公倍数 を求めるもう1つの方法は,素因数分解を利用する方法です.高校では通常この方法が用いられます. ○ 最大公約数 を求めるには,
「共通な素因数に」「一番小さい指数」をつけます. (指数とは, 5 2 の 2 のように累乗を表わす数字のことです.) (解説)
例えば, a=216, b=324 の最大公約数を求めるには,
最初に, a, b を素因数分解して,
a= 2 3 3 3, b= 2 2 3 4
の形にします. ◇ 素因数 2 について, 2 3 と 2 2 の
「公約数」は, 1, 2, 2 2
「最大公約数」は, 2 2
このように,公約数の中で最大のものは, 2 3 と 2 2 のうちの,小さい方の指数 2 を付けたものになります! 「最大公約数」
⇒「共通な素因数に最小の指数」を付けます
◇ 同様にして,素因数 3 について, 3 3 と 3 4 の
「公約数」は, 1, 3, 3 2, 3 3
「最大公約数」は, 3 3
◇ 結局, a= 2 3 3 3, b= 2 2 3 4 の最大公約数は 2 2 3 3 =108
○ 最小公倍数 を求めるには,
「全部の素因数に」「一番大きな指数」をつけます. 素因数分解と最小公倍数・最大公約数の求め方【小学生も中学生も】2つの数のすだれ算【中学受験】 | そうちゃ式 受験算数(新1号館). 例えば, a=216, b=1620 の最小公倍数を求めるには,
a= 2 3 3 3, b= 2 2 3 4 5
「公倍数」は両方の倍数になっている数だから, 2 3 が入るものでなければなりません. 「公倍数」は 2 3, 2 4, 2 5, 2 6,...
「最小公倍数」は 2 3
「公倍数」は, 3 4, 3 5, 3 6, 3 7,...
「最小公倍数」は, 3 4
◇ ところが,素因数 5 については, a には入っていなくて b には入っています.この場合に,両方の倍数になるためには, 5 の倍数でなければなりません. 「公倍数」は 5, 5 2, 5 3,...
「最小公倍数」は 5
◇ 結局, a= 2 3 3 3, b= 2 2 3 4 5 の最小公倍数は 2 3 3 4 5 =3240
このように,公倍数の中で最小のものは,
◇ 2 3 と 2 2 のうちで大きい方の指数 3 を付けたもの
◇ 3 3 と 3 4 のうちで大きい方の指数 4 を付けたもの
◇素因数 5 については,ないもの 5 0 と1つあるもの 5 1 のうちで大きい方の指数 1 を付けたもの
となります.
= 0) continue;
T tmp = 0;
while (n% i == 0) {
tmp++;
n /= i;}
ret. push_back(make_pair(i, tmp));}
if (n! 素因数分解 最大公約数 アルゴリズム python. = 1) ret. push_back(make_pair(n, 1));
return ret;}
SPF を利用するアルゴリズム
構造体などにまとめると以下のようになります。
/* PrimeFact
init(N): 初期化。O(N log log N)
get(n): クエリ。素因数分解を求める。O(log n)
struct PrimeFact {
vector spf;
PrimeFact(T N) { init(N);}
void init(T N) { // 前処理。spf を求める
(N + 1, 0);
for (T i = 0; i <= N; i++) spf[i] = i;
for (T i = 2; i * i <= N; i++) {
if (spf[i] == i) {
for (T j = i * i; j <= N; j += i) {
if (spf[j] == j) {
spf[j] = i;}}}}}
map get(T n) { // nの素因数分解を求める
map m;
while (n! = 1) {
m[spf[n]]++;
n /= spf[n];}
return m;}};
Smallest Prime Factor(SPF) の気持ち
2つ目のアルゴリズムでは、Smallest Prime Factor(SPF) と呼ばれるものを利用します。これは、各数に対する最小の素因数(SPF) のことです。
SPF の前計算により \(O(1)\) で \(n\) の素因数 p を一つ取得することができます。
これを利用すると、例えば 48 の素因数分解は以下のように求めることができます。
48 の素因数の一つは 2 48/2 = 24 の素因数の一つは 2 24/2 = 12 の素因数の一つは 2 12/2 = 6 の素因数の一つは 2 6/2 = 3 の素因数の一つは 3 以上より、\(48 = 2^4 \times 3\)
練習問題
AOJ NTL_1_A Prime Factorize :1整数の素因数分解 codeforces #511(Div.
概要
穎明館高校は、東京都八王子市にある中高一貫教育の私立校で男女共学の進学校です。通称は、「穎明館」。普通科の高校で堀越高校のグループ校です。高校においては生徒の募集を行わない完全中高一貫校です。週6日制で高校過程では、教科によって定期試験等の成績を基に定められたグレード別で授業を行います。体育館には室内温水プールがあります。2006年度からは、1学期制を導入しました。この影響で、定期試験の代わりに「単元テスト」と称されるテストが始まりました。
部活動においては、運動部と文化部ともに充実していて、硬式野球部が有名です。かるた部や釣り同好会もあります。
穎明館高等学校出身の有名人
一ノ瀬颯(俳優)、小室瑛莉子(フジテレビアナウンサー)
口コミ(評判)
在校生 / 2020年入学
2021年04月投稿
5. 0
[校則 5 | いじめの少なさ 5 | 部活 3 | 進学 5 | 施設 4 | 制服 2 | イベント 4]
総合評価
学校の雰囲気がとても良く楽しく通ってます
高校募集もない環境なので一生の友達を見つけられます
出口も良く、真ん中上ならMARCH以上には行けます
校則
かなり緩いです
生徒手帳もありません
在校生 / 2018年入学
2021年01月投稿
[校則 3 | いじめの少なさ 5 | 部活 3 | 進学 4 | 施設 4 | 制服 4 | イベント 3]
八王子周辺から難関大へ進学するならこの高校はおすすめだと思います。
また進学実績だけでなく、校風も良く素晴らしい6年間を送ることができる学校です。
普通です。
高校に上がると先生の束縛もかなり緩くなります。
保護者 / 2017年入学
2019年06月投稿
4.
学校生活(Id:6348153) - インターエデュ
をメインのブラウザとして使っているのですが、「駿台模試 模試結果」や「全統模試 模試結果」で下の写真のように画像検索をします。 【「駿台模試 模試結果」での検索結果】 【「全統模試 模試結果」での検索結果】 そして、ヒットした画像のリンク元に行き、模試の結果を見に行きます。 例えば↓ですが、「2018年6月施行」と書かれています。 2019年7月の今現在では、この方の過去1年間の成績を知ることが出来るかもしれません。 この方が3年生、もしくは浪人生だった場合、合否の結果を知る事が出来るかもしれません。 最終的にどこの大学に合格したかを知ることが出来た場合、その方の偏差値や判定結果が自分の子供の今時点と比べてどうだったかを知る事もできます。 また、模試の結果を残している方は、その勉強方法や勉強時間も書いている場合が多く、それを読むだけでもとても参考になります。 このように、多くの受験生の模試結果を見ているだけで、自然と成績表の見方、偏差値の基準、判定の信憑性、そこに行き着くまでの勉強方法が見えてくるのです。 最後に、これを繰り返しているうちに、偏差値や、合格判定以外の見方が出来る様になりますので、是非お試しください。
電通大の後期のレベル(Id:3232942) - インターエデュ
するならなんのアプリ使ってますか? スマートフォン 東京理科大学は千葉大学 横浜国立大学と同レベルだよな? 大学受験 卓球 暗黙のルール。得点で10対0になった時点で勝っているほうが負けている相手に1点あげる暗黙のルールがあるみたいですが、どのような経緯、どのような始まりで、その暗黙のルールがスタート したのですか? 卓球 質問です。僕は帝京大学を受けるのですが、基礎学力調査の欄で小論文方式、1科目方式、2科目方式により1方式選択と画像の通りあるのですが小論文方式だけでも受けることができるってことですか? 進研模試／ベネッセ総合学力テストの判定精度はどれくらいですか？｜よくある質問｜マナビジョンラボ. 大学受験 3ヶ月で共通テスト古文で8割以上取る作戦を考えてください。 やる気だけはあります。 参考書等教えてください。 大学受験 I have learned that success is to be measured not so much by the position that one has reached in life as by the obstacles which he has overcome while trying to succeed. success is to be measuredは「〜によって測られるべきだ」とbe to構文の義務で訳されていたのですが、to不定詞の名詞的用法と見ると「成功は〜によって測られるということを学んだ」と訳せそうですがなぜ上記のように訳されているのでしょうか? 英語 東大医学部(理3)と京大医学部では、偏差値的に京大医学部の方が上だとされている模様。本当ですか? 大学受験 英語は共通テストでし使わないんですけどシス単2章まで終わったあとに3章に行くべきですか?それとも多義語をするべきですか?教えてください! 英語 英語の質問です。 I really () your timely suggestion about what I should do. の()を埋める問題で、 答えは appreciate (私が何をすべきかタイミングよく提案をしてくれて本当にありがとう。) なのですが、admire を入れて、「私が何をすべきかタイミングよく提案をしてくれて本当に感心する」だとおかしいですか? よろしくお願いします。 英語 同志社大学か立命館大学に行きたい高一です。 英語が好きで、テストの点数も英語がいちばん高いです。(クラス1番ではないけど……) だから、同志社大学に行って英語力を磨きたいのですが、最近、立命館大学もめちゃくちゃいいと言う話を聞いて、立命館大学も気になってきました。 同志社大学と立命館大学、どっちの方が英語を専門的に学べますか?
進研模試／ベネッセ総合学力テストの判定精度はどれくらいですか？｜よくある質問｜マナビジョンラボ
【6348153】学校生活
掲示板の使い方
投稿者: 悩み事 (ID:Obu/95wqByc) 投稿日時:2021年 05月 23日 00:01
現在5年生の男の子、原材料塾の偏差値から高槻中学を目指してみようと思っています。ただ、関東から来たばかりで高槻中学の事情が良くわかっていません。
色々調べると最近共学になり勉強が超大変になった、皆塾に通っていてお金も掛かる、その割には国立大の現役合格が少ない(医学部ではないです)との評判がみられます。
実際はどうなのでしょうか?? 色々情報いただけると助かります。
【6348215】 投稿者: 高槻 (ID:RJ3rg4Wdhsw) 投稿日時:2021年 05月 23日 02:31
勉強は確かに大変ですけど、友達がいるのでとても楽しいですよ!合格実績は他の賢い学校に比べると劣りますが、国立を頑張って目指している人がたくさんいるので勉強するにはとても良い環境ですよ。
【6348473】 投稿者: 保護者 (ID:924m5kjYt0g) 投稿日時:2021年 05月 23日 10:43
気持ち良いコメントではないですね。
そうお感じになるなら、他校を受験されたら良いと思います。
【6348538】 投稿者: 素朴な疑問 (ID:JJfMOEFg0lM) 投稿日時:2021年 05月 23日 11:35
原材料塾って何処の塾? 【6348555】 投稿者: 悩み事 (ID:cBdKaejF0o. ) 投稿日時:2021年 05月 23日 11:54
現在の塾、の変換間違えました。
【6348949】 投稿者: となりのマックスバリュ (ID:wMl5bEP33Mk) 投稿日時:2021年 05月 23日 16:25
宿題が大変になった。
というのは男子校の時と比べての事ですね。
他校と比べて、となると親の目からはあまり変わらないか、少し少ないかな?というイメージですね。
現役合格の実績は、まだ男子校だった学生の結果なので
共学になった生徒たちが受験する2023年の結果を見てみないと、なんとも言えないのではないでしょうか。
京都の洛星や、大阪の開明、奈良の西大和などは宿題が多いと聞きますので進学校もしくは進学校を目指す所の流行りなのでしょう。
子供曰く、みんな仲が良くて楽しい。との事
ただ、宿題の量は慣れるまで大変な様子です。
カリキュラムとしては、
数学の進度は比較的遅く、
英語に最も力を入れていると感じます。
その他はわかりません。
私は、ここの学風と共学になってからの
現役合格率の上昇にかけて
子供に薦めました。
【6348955】 投稿者: 高校保護者 (ID:auZdCpM5Z/. )
他の掲示板とかで検索すると、あまり良い評判はないような。。。
でも息子は学園祭の雰囲気とかも良くて、気に入っているので親としては良いと思っています。
ベネッセでは、「進研模試/ベネッセ総合学力テスト」でA、B、C、D、E判定だった受験生が、実際に受験した入試でどのような結果だったのかを毎年調査しています(入試結果調査)。
ここに注意! 同じ判定でも、模試によって合格可能性(%)が違います! ■進研模試(3年生記述・マーク模試の合格可能性)
A
B
C
D
E
合格可能性
80% 以上
60%以上 80%未満
40%以上 60%未満
20%以上 40%未満
20% 未満