このように最初からいきなり余因子展開を行うのではなく 整理して計算しやすくすることで 余因子展開後の見通しがかなり良く なります! (最終行はサラスの公式もしくは余因子展開を用いてご自身で計算してみてください. ) それでは, 問をつけておきますので是非といてみてください!
■行列式 → 印刷用PDF版は別頁 【はじめに】 ○ 行列は,その要素の個数だけの独立した要素 から成りたっており,次のように [] や()で囲んで表します. ○ 行列式は1つの数 で,正方行列に対してだけ定義され,正方行列でないときは行列式を考えません. ○ 行列式の値 は,次のように | |や det() で囲んで表します. (英語で行列式を表す用語:determinantの略) ○ 【行列式の求め方 】 ・・・ 余因子展開 による計算 (1) 1次正方行列(1×1行列)の行列式はその数とする. 例 det(3)=3 ※ 1次正方行列については |3| の記号を使うと絶対値記号と区別がつかないので注意 (2) 2次正方行列 の行列式は, ad−bc とする. ※2次の行列式の値は,高校でも習い,覚えておくのが普通です =ad−bc 例 det =2·4−1·3=5 (3) 3次正方行列 の行列式は,次のように2次正方行列の行列式で定義できる. =a −d +g 例 =3(−20+12)−2(−16+6)+(−8+5)=−24+20−3=−7 ※3次正方行列だけに適用できるサリュの方法もあるが,サリュの方法は他の行列には適用できないので,ここではふれない. 行列式 余因子展開 4行 4列. (4) 以下同様にしてn次正方行列の行列式は(n-1)次正方行列の行列式に展開したものによって帰納的に定義する.・・・(前のものによって次のものを定義する.) ※ 各成分 a ij に対して (−1) i+j a ij ×(その行と列を取り除いた行列の行列式) を 余因子 という. ※ 1つの列または1つの行についてすべての余因子を加えたものを 余因子展開 という. 余因子展開は,計算し易い行または列に関して行えばよく,どの行・どの列について余因子展開しても結果は変わらないということが知られている. たとえば,次の計算は,3次の行列式を第1列に関して余因子展開したものです. 同じ行列式で,第1行に関して余因子展開すると次のようになります. =3(−20+12)−4(−8+2)−(12−5)=−24+24−7=−7 【Excelで行列式を計算する方法】 正方行列の各成分が整数や分数の数値である場合は,Excelの関数MDETERM()を使って,行列式の値を計算することができます. =MDETERM(範囲) 例 例えば,次のように4×4行列の成分がA1:D4の範囲に書きこまれているとき A B C D E 1 1 2 3 -1 2 0 1 -2 5 3 2 3 0 2 4 -2 2 4 1 5 この行列式の値をセルE5に書きこみたければ,E5に =MDETERM(A1:D4) と書き込めばよい.結果は50になります.
このデータで結果を確かめるには,Excelに数値を転記する必要はなく,Web画面上で範囲をドラッグ&コピーしてから,Excel上で単純にペーストする(貼り付ける)とよい. (以下の問題も同様)
参考文献 [1] 線型代数 入門
「行列式の性質」では, 一般の行列式に対して成り立つ性質を見ていくことにします! 行列式を求める方法として別記事でサラスの公式や余因子展開を用いる方法などを紹介しましたが, 今回の性質と組み合わせれば簡単に行列式を求める際に非常に強力な武器になります. それでは今回の内容に入りましょう! 「行列式の性質」の目標 ・行列式の基本性質を覚え, 行列式を求める際に応用できるようになる! 行列式の性質 定理:行列式の性質 さて, では早速行列式の基本性質を5つ定理として紹介しましょう! 定理: 行列式の性質 n次正方行列A, \( k \in \mathbb{R} \)に対して以下のことが成り立つ. 余因子展開とは？ ～具体例と証明 ～ - 理数アラカルト -. この定理に関して注意点を挙げます. よく勘違いされる方がいるのですが, この性質は行列に対する性質とは異なります. 詳しくは「 行列の相等と演算 」でやった "定理:行列の和とスカラー倍の性質"と見比べてみるとよい です. 特にスカラー倍と和に関して ごちゃごちゃになってしまう人をよく見るので この"定理:行列式の性質"を使う際はくれぐれもご注意ください! それでは, 行列式の性質を使って問題を解いていくことにしましょう! 例題:行列式の性質 例題:行列式の性質 次の行列の行列式を求めよ \( \left(\begin{array}{cccc}3 & 2& 1 & 1 \\1 & 4 & 2 & 1 \\2 & 0 & 1 & 1 \\1 & 3 & 3 & 1 \end{array}\right) \) この例題に関しては、\( \overset{(1)}{=} \)と書いたら定理の(1)を使ったと思ってください. ほかの定理の番号も同様です. それでは、解答に入ります.
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それは、過去問を解いた後、正解か不正解だけチェックし、すぐに次の問題に進んでしまうことです。 知識を正確に身に付けるために過去問を解いているのですから,単に正解しただけで満足せず、不正解の選択肢も含めて 「この選択肢は、なぜ正しい(間違っている)のか」 を正確に理解するまで解説を読み込みましょう。 このような学習を繰り返すことで、確かな知識が身に付きます。 5肢択一式と一問一答(あしべつ)、どちらがよい?
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