"と思った。 最終的に、音楽通の友人が『Mule Variations』を薦めてくれて、僕はそれが全く別のアーティストだと気づいたんだ。それが、僕のトム・ウェイツへの愛の始まりだった。この曲はとても深く、とても豊かで、純粋なアートです」 詳細は以下のURLのページでご覧になれます。
周りが求めるものをすべて手に入れ、愛する人たちに囲まれるのはどんなにうれしいだろう?」って。それをガールフレンドに当てはめて、彼女が最高に幸せなところを思い描いてみた。 Unfold 今作で本当の意味でのコラボレーションをしたのはこの曲だけ。僕がずっとTEEDの音楽を大好きだったから実現したんだ。曲作りとレコーディングで一緒にスタジオ入りした時、彼は僕の前作『Worlds』の「Sea of Voices」が大好きだと教えてくれて、自分もあんな曲が書けたら、とまで言ってくれた。それで、あの曲を思わせるようなサウンドスケープを作ってみた。それから『Nurture』にうまく合う曲にするために、彼に歌ってもらうことにした。実際は2人で一緒に歌ってるようなものだけど。嵐のような出来事だった。変化に富んだ曲だから、しばらくの間トラックリストの初めの方に入れてたんだけど、手を入れていくうちに、「いや、これはアルバムの最後を飾る曲だ。こんなに壮大でウォール・オブ・サウンドな曲を入れるなら、終わりの方に入れなきゃ」と思うようになったんだ。 Trying to Feel Alive この曲では、これまでたどってきた旅の全体像を理解し、何が変わったのかを見極めようとしている。「僕は何を学んだんだろう? 少しでも良くなっただろうか? 満足してるだろうか?」って。曲にするのはものすごく難しかったけど、最終的に僕がたどり着いた答えは、満足感が本当のゴールじゃないってこと。目指してたことすべてを達成してしまうと、前を向くのをやめてしまう。行き場を失くしてしまうんだ。これもまた泣きながら作った曲で、それは個人的な悟りのようなものだったからだと思う。今はこうして乗り越えて、それでも音楽作りに苦労してるし、すっかり自分に満足できたわけでもないけど、それはそれでいいのかもしれないと思えるようになってきた。それが大事なことかもしれない。音楽を作ることで、僕は何度も何度も、生きてることを実感しようとしてるのかもしれないね。
(インタビュー・テキスト 齊藤綾乃) 来年2022年4月にレーベル創立30周年を迎えるKi/oon Music(キューンミュージック)。今年の4月より毎月テーマ設け、季節に合わせて聴きたくなるようなプレイリストを1年間に渡り編成していきます。 7月のテーマは、Summer。梅雨が終わり開放的な気持ちになったり、楽しいイベントが始まりますよね。ワクワクするこの季節を彩る、夏にぴったりなプレイリストをレーベル所属アーティストとともに選曲。 Dig Ki/oon -Summer- Pick Upアーティスト:THIS IS JAPAN 杉森ジャック、小山祐樹 Apple Music Spotify 今回は、90年代オルタナロック の影響を受けたサウンドと、ストイック且つロマンティックな楽曲が魅力の4ピースバンド、THIS IS JAPANから、杉森ジャック (Vo, Gt)、小山祐樹 (Gt. オエコモバ(ジョジョの奇妙な冒険) - アニヲタWiki(仮) - atwiki（アットウィキ）. Vo) の2人が選曲会に参加。本プレイリストには、アニメ「SDガンダムワールド ヒーローズ」第2クールOPテーマに決定した最新曲 「ボダレス」 もCDリリースに先立ってラインナップされているので要チェックです! ーーまずは、夏にぴったりなTHIS IS JAPANの楽曲を教えてください。 杉森:「HEARTBEAT」です。初めて夏を意識して作った楽曲です。いつもはリズムは8ビートの曲が多いけど、アップテンポな16ビートにました。トレモロなど音を震わす技法も使って、リズム感も大切にしています。 ーーなるほど!他の楽曲についてはどうでしょうか? 杉森・小山:「SUNNY」です。 ーー映画「ギャングース」の挿入歌ですよね。映画側から曲のイメージのリクエストはあったのですか? 杉森:レゲエってテーマでしたね。僕の中では、レゲエと夏の距離って近いんですよね。踊れる音楽イコール夏みたいな感覚です。「SUNNY」を作る時、パンクバンドっぽいアプローチをしてみたんです。そしたらギターの数が増えて、違う感じに仕上がりました。 おかげで灼熱の降り注ぐ太陽、干からびていく俺たち!みたいな曲になったので、面白かったです。ライブでは会場の空気を変えたい時に「SUNNY」をドスンと入れて、僕らのグルーヴを整えるのにもいい曲です。 ーー確かに「SUNNY」は他の曲と比べ異彩を放っていますよね!小山さんにとってTHIS IS JAPANの夏ソングはありますか?
STAMP:素晴らしかったです! atagi・PORIN・モリシー:おー!! STAMP:まずatagiさんの歌はすごくハイレベルで、合わせて歌うのが大変でした。PORINさんはまさに期待通りで、安心して聴けましたね。タイ語の発音も素晴らしくて、こちらの人に聴かせても「タイ人のシンガー?」と言っていたくらいです。モリシーさんのギターソロはちょっとサプライズだったというか、僕が入れたフレーズよりもさらにオーサムらしくなっていてビックリしましたね。 モリシー:嬉しいです! atagi:レコーディングもすごく楽しかったですね。「どうですか?」と聞くと、「OK!」って素晴らしい笑顔を返してくれて。めちゃくちゃいい雰囲気でした。 ーーそれもSTAMPさんの人柄ですよね。ちなみにatagiさん、PORINさんは「ฝันร้าย/ฝันดี (move on)」のメロディをどう捉えてますか? atagi:どこかで出会った気がするというか、すごく体に馴染みましたね。違和感はまったくなかったです。 PORIN:1回聴けば覚えられるメロディですね。歌謡っぽいなって。 モリシー:やっぱりアジア的なのかな。 PORIN:そうだと思う。STAMPさんは日本の音楽にも詳しいし、しかもオーサムの曲も聴き込んでくれていたので、私たちにも馴染んだんじゃないかな。 STAMP:J-POPの音楽の影響もありますからね。タイのオーディエンスからも、「日本っぽいメロディですね」というコメントをもらうことがあるので。 atagi:そうなんですね! おもしろい。 STAMP:タイの多くのアーティストは、タイの伝統的な音階を使って曲を作っているんです。そうしないと言葉が乗りづらいんですけど、僕はそうじゃなくて、すべての音階を使って、いろいろなメロディを作るので。
いままでの議論から分かるように,線形定常な連立微分方程式の解法においては, の原像を求めることがすべてである. そのとき中心的な役割を果たすのが Cayley-Hamilton の定理 である.よく知られているように, の行列式を の固有多項式あるいは特性多項式という. が 次の行列ならば,それも の 次の多項式となる.いまそれを, とおくことにしよう.このとき, が成立する.これが Cayley-Hamilton の定理 である. 定理 5. 1 (Cayley-Hamilton) 行列 の固有多項式を とすると, が成立する. 証明 の余因子行列を とすると, と書ける. の要素は高々 次の の多項式であるので, と表すことができる.これと 式 (5. 16) とから, とおいて [1] ,左右の のべきの係数を等置すると, を得る [2] .これらの式から を消去すれば, が得られる. 式 (5. 19) から を消去する方法は, 上から順に を掛けて,それらをすべて加えればよい [3] . ^ 式 (5. 16) の両辺に を左から掛ける. 実際に展開すると、 の係数を比較して, したがって の項を移項して もう一つの方法は上の段の結果を下の段に代入し, の順に逐次消去してもよい. この方法をまとめておこう. と逐次多項式 を定義すれば, と書くことができる [1] . ただし, である.この結果より 式 (5. 18) は, となり,したがってまた, を得る [2] . 式 (5. 19) の を ,したがって, を , を を置き換える. を で表現することから, を の関数とし, に を代入する見通しである. 式 (5. 21) の両辺を でわると, すなわち 注意 式 (5. 初等整数論/合成数を法とする剰余類の構造 - Wikibooks. 19) は受験数学でなじみ深い 組立除法 , にほかならない. は余りである. 式 (5. 18) を見ると が で割り切れることを示している.よって剰余の定理より, を得る.つまり, Cayley-Hamilton の定理 は 剰余の定理 や 因数定理 と同じものである.それでは 式 (5. 18) の を とおいていきなり としてよいかという疑問が起きる.結論をいえばそれでよいのである.ただ注意しなければならないのは, 式 (5. 18) の等式は と と交換できることが前提になって成立している.
(i)-(v) は多項式に対してもそのまま成り立つことが容易にわかる。実際、例えば ならば となる整数係数の多項式 が存在するから が成り立つ。 合同方程式とは、多項式 とある整数 における法について、 という形の式である。定理 2. 1 より だから、 まで全て代入して確かめてみれば原理的には解けるのである。 について、各係数 を他の合同な数で置き換えても良い。特に、法 で割り切れるときは、その項を消去しても良い。この操作をしたとき、 のとき、この合同式を n 次といい、 合同式 が n 次であることの必要十分条件は となる多項式 の中で最低次数のものが n 次であることである。そのような の最高次、つまり n 次の係数は で割り切れない(割り切れるならば、その係数を消去することで、さらに低い次数の、 と合同な多項式がとれるからである)。 を素数とすると、 が m 次の合同式で、 が n 次の合同式であるとき は m+n 次の合同式である。実際 となるように m次の多項式 と n 次の多項式 をとれば となる。ここで の m+n 次の係数は である。しかし は m 次の合同式で、 は n 次の合同式だから は で割り切れない。よって も で割り切れない(ここで法が素数であることを用いている)。よって は m+n 次の合同式である。 これは素数以外の法では一般に正しくない。たとえば となる。左辺の 1 次の係数同士を掛けると 6 を法として消えてしまうからである。 素数を法とする合同方程式について、以下の基本的な事実が成り立つ。 定理 2. 2 (合同方程式の基本定理) [ 編集] 法 が素数のとき、n 次の合同式 は高々 n 個の解を持つ。もちろん解は p を法として互いに不合同なものを数える。より強く、n 次の合同式 が互いに不合同な解 を持つならば、 と因数分解できる(特に である)。 n に関する数学的帰納法で証明する。 のときは と合同な 1次式を とおく。 であるから 定理 1. 8 より、 が と合同になるような が を法として、ただひとつ存在する。すなわち、 はただひとつの解を有する。そしてこのとき となる。 より定理は正しい。 n-1 次の合同式に対して定理が正しいと仮定し、 を n 次の合同式とする。 より となる多項式 が存在する。 より を得る。上の事実から は n-1 次の合同式である。 は素数なのだから、 定理 1.
1. 1 [ 編集] (i) (反射律) (ii) (対称律) (iii)(推移律) (iv) (v) (vi) (vii) を整数係数多項式とすれば、 (viii) ならば任意の整数 に対し、 となる が存在し を法としてただ1つに定まる(つまり を で割った余りが1つに定まる)。 証明 (i) は全ての整数で割り切れる。したがって、 (ii) なので、 したがって定義より (iii) (ii) より より、定理 1. 1 から 定理 1. 1 より マイナスの方については、 を利用すれば良い。 問 マイナスの方を証明せよ。 ここで、 であることから、 とおく。すると、 ここで、 なので 定理 1. 6 より (vii) をまずは証明する。これは、 と を因数に持つことから自明である((v) を使い、帰納的に証明することもできる)。 さて、多変数の整数係数多項式とは、すなわち、 の総和である。先ほど証明したことから、 したがって、(v) を繰り返し使えば、一つの項についてこれは正しい。また、これらの項の総和が なのだから、(iv) を繰り返し使ってこれが証明される。 (viii) 定理 1. 8 から、このような が存在し、 を法として1つに定まることがすぐに従う(なお (vi) からも ならば であるから を法として1つに定まることがわかる)。 先ほどの問題 [ 編集] これを合同式を用いて解いてみよう。 であるから、定理 2.