!」 と覚えておきましょう。 さて、 が成立するのはどんなときでしょうか。 より、 √a-√b=0 ⇔√a=√b ⇔a=b(∵a≧0, b≧0) のときに、 となることがわかります。 この等号成立条件は、実際に問題で相加相乗平均を使うときに必須ですので、おまけだと思わずしっかり理解してください! 実は図形を使っても相加相乗平均は証明できる!? さて、数式を使って相加相乗平均の不等式を証明してきましたが、実は図形を使うことで証明することもできます。 上の図をみてください。 円の中心をO、直径と円周が交わる点をA、Bとおき、 直線ABと垂直に交わり、点Oを通る直線と、円周の交点をCとおきます。 また、円周上の好きなところにPをおき、Pから直線ABに引いた垂線の足をHとおきます。 そして、 AH=a BH=b とおきます。 ただし、a≧0かつb≧0です。辺の長さが負の数になることはありえませんから、当たり前ですね。 このとき、Pを円周上のどこにおこうと、 OC≧PH になることは明らかです。 [直径]=[AH+BH]=a+b より、 OC=[半径]=(a+b)/2 ですね。 ということは、PH=√ab が示せれば、相加相乗平均の不等式が証明できると思いませんか? 【相加相乗平均とは？】その証明と使い方を完全解説！本番で使いこなそう！ | Studyplus（スタディプラス）. やってみましょう。 PH=xとおきます。 三平方の定理より、 BP²=x²+b² AP²=a²+x² ですね。 また、線分ABは円の直径であり、Pは円周上の点であるので、 ∠APBは直角です。 そこで三角形APBに三平方の定理を用いると、 AB²=AP²+BP² ⇔(a+b)²=2x²+b²+a² ⇔2x²=a²+2ab+b²-(a²+b²) ⇔2x²=2ab ⇔x²=ab ⇔x=√ab(a≧0, b≧0) よって、PH=√abを示すことができ、 ゆえに、 を示すことができました! 等号成立条件は、OC=PH、つまり Hが線分ABの中点Oと重なるときですから、 a=b です!
こんにちは。 いただいた質問について,さっそく回答いたします。 【質問の確認】 不等式の証明で,どんなときに,相加平均・相乗平均の関係を使ったらよいのかわかりません。 というご質問ですね。 【解説】 相加平均と相乗平均の大小関係は, 「 a >0, b >0 のとき, (等号が成り立つのは, a = b のとき)」 でしたね。 この関係は, 不等式を証明するときなどに使うことができるもの でした。 ただし,実際の問題では,どんなときに相加平均と相乗平均の大小関係を使ったらよいのか,どのような2数に対して当てはめればよいのか,迷うことがあると思います。 では,具体的に見ていきましょう。 ≪その1:どんなときに,相加平均と相乗平均の大小関係を使ったらよいの?
←確認必須 このとき最小値 $\displaystyle \boldsymbol{25}$ ※以下は誤答です. $x>0$,$\dfrac{4}{x}>0$,$\dfrac{9}{x}>0$,(相加平均) $\geqq$ (相乗平均)より $\displaystyle \geqq2\sqrt{x \cdot \dfrac{4}{x}}\cdot2\sqrt{x \cdot \dfrac{9}{x}}=24$ このとき最小値 $\displaystyle \boldsymbol{24}$ これは誤りです!左の等号は $x=2$ のとき,右の等号は $x=3$ のときなので,最小値 $24$ をとる $x$ が存在しません. だから等号成立確認が重要なのです. (5) $\dfrac{x^{2}+6}{\sqrt{3x^{2}+8}}$ $=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{3x^{2}+18}{\sqrt{3x^{2}+8}}$ $=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{3x^{2}+8+10}{\sqrt{3x^{2}+8}}$ $=\dfrac{1}{3}\left(\sqrt{3x^{2}+8}+\dfrac{10}{\sqrt{3x^{2}+8}}\right)$ $\sqrt{3x^{2}+8}>0$,$\dfrac{10}{\sqrt{3x^{2}+8}}>0$,(相加平均) $\geqq$ (相乗平均)より $\dfrac{x^{2}+6}{\sqrt{3x^{2}+8}}$ $\displaystyle \geqq\dfrac{1}{3}\cdot2\sqrt{\sqrt{3x^{2}+8} \cdot \dfrac{10}{\sqrt{3x^{2}+8}}}=\dfrac{2}{3}\sqrt{10}$ 等号成立は $\displaystyle \sqrt{3x^{2}+8}=\dfrac{10}{\sqrt{3x^{2}+8}} \Longleftrightarrow x=\dfrac{\sqrt{6}}{3}$ のとき. 相加平均 相乗平均 証明. ←確認必須 このとき最小値 $\displaystyle \boldsymbol{\dfrac{2}{3}\sqrt{10}}$ 練習問題 練習 $x>0$,$y>0$ とする. (1) $x+\dfrac{2}{x}\geqq2\sqrt{2}$ を示せ.
高校数学における、相加相乗平均について、数学が苦手な生徒でも理解できるように解説 します。 現役の早稲田生が相加相乗平均について丁寧に解説しています。 相加相乗平均は、数学の問題の途中で利用することが多く、知っていないと解けない問題もあったりします。 本記事では、 一般的な相加相乗平均だけでなく、3つの変数における相加相乗平均や、使い方についても解説 していきます。 相加相乗平均について充実の内容なので、ぜひ最後まで読んでください! 1:相加相乗平均とは? 相加平均 相乗平均 使い分け. (公式) まずは、相加相乗平均とは何か(公式)を解説します。 相加相乗平均とは、「2つの実数a、b(a>0、b>0)がある時、(a+b)/2≧√abが成り立ち、等号が成り立つのはa=bの時である」という公式のこと をいいます。 ※実数の意味がわからない人は、 実数とは何かについて解説した記事 をご覧ください。 また、(a+b)/2をaとbの相加平均といい、√abのことを相乗平均といいます。 以上が相加相乗平均とは何か(公式)についての解説です。 次の章では、相加相乗平均が成り立つ理由(証明)を解説します。 2:相加相乗平均の証明 では、相加相乗平均の証明を行っていきます。 a>0、b>0の時、 a+b-2√ab =(√a) 2 -2・√a・√b+(√b) 2 = (√a-√b) 2 ≧0 よって、 a+b-2√ab≧0 となるので、両辺を整理して (a+b)/2≧√ab となります。 また、等号は (√a-√b) 2 =0 より、 √a=√b、すなわち a=bの時に成り立ちます。 以上で相加相乗平均の証明ができました! 3:相加相乗平均の使い方 相加相乗平均はどんな場面・問題で使うのでしょうか? 本章では、例題を1つ使って、相加相乗平均の使い方をイメージして頂ければと思います。 使い方:例題 a>0とする。この時、a+1/2aの最小値を求めよ。 解答&解説 相加相乗平均より、 a+1/2a ≧ 2・√a・(1/2a) です。 右辺を計算すると、 2・√a・(1/2a) =√2 となるので、 a+1/2aの最小値は√2となります。 相加相乗平均の使い方がイメージできましたか? 今までは、aとbという2つの変数の相加相乗平均を解説してきました。 しかし、相加相乗平均は3つの変数でも活用できます。次の章からは、3つの変数の相加相乗平均を解説します。 4:変数が3つの相加相乗平均 変数が3つある場合の相加相乗平均は、「(a+b+c)/3≧(abc) 1/3 」となり、等号が成り立つのはa=b=cの時 です。 ただし、a>0、b>0、c>0とする。 次の章では、変数が3つの相加相乗平均の証明を解説します。 5:変数が3つの相加相乗平均の証明 少し複雑な証明になりますが、頑張って理解してください!
マクローリンの不等式 相加平均と相乗平均の1つの拡張 – Y-SAPIX|東大・京大・医学部・難関大学現役突破塾 「マクローリンの不等式 相加平均と相乗平均の1つの拡張」に関する解説 相加平均と相乗平均の関係の不等式は一般にn変数で成立することはご存じの方が多いでしょう。また、そのことの証明は様々な誘導つきでこれまでに何度も大学入試で出題されています。実はn変数の相加平均と相乗平均の不等式は、さらにマクローリンの不等式という不等式に拡張できます。今回はそのマクローリンの不等式について解説します。 キーワード:対称式 相加平均と相乗平均の大小関係 マクローリンの不等式
問題での相加相乗平均の使い方 公式が証明できたところで、公式を使って問題を解いてみましょう。 等号が成立する条件をきちんと示そう まずはこの問題を解いてみてください。 【問題1】x>0のとき、 の最小値を求めなさい。 【解説2】 問題を眺めていて、相加相乗平均が使えそうだな…と思う箇所はありませんか? そう、 ここです! 相加平均 相乗平均 最大値. 相加相乗平均の不等式により、 と答えようとしたあなた、それを答案に書くと、大幅に減点されるでしょう。 x+1/x≧2 という式は、単に「2以上になる」と言っているだけで、「2が最小値である」とは一言も言っていません。つまり、最小値が3である可能性もあるわけです。 ですから、x+1/x=2、つまり等号成立条件を満たすxが存在することを証明しないと、(x+1/x)の最小値が2だから(x+1/x)+2の最小値が4〜なんてことは言えないのです。 における等号成立条件は、a=bでした。 つまり今回の等号成立条件は、 x=1/x ⇔x²=1かつx>0 ⇔x=1 となり、x+1/x=2を満たすxが存在することを示すことができました。 これを書いて初めて、最小値の話を持ち出すことができます。 この等号成立条件は書き忘れて大減点をくらいやすいところですので、くれぐれも注意してください。 【問題2】x>0のとき、 の最小値を求めなさい。 【解説2】x>0より、相加相乗平均の不等式を用いて、 等号成立条件は、 2/x=8x ⇔x²=¼ ⇔x=½ (∵x>0) よって、求める最小値は8である。 打ち消せるかたまりを探す! 【問題3】x>0, y>0のとき、 の最小値を求めなさい。 【解説3】 どこに相加相乗平均の不等式を使うかわかりますか? このままでは何をしても文字は打ち消されません。展開してみましょう。 x>0, y>0より、相加相乗平均の不等式を用いると、 等号成立条件は、 6xy=1/xy ⇔(xy)²=⅙ ⇔xy=1/√6(∵x>0かつy>0) よって、6xy+1/xyの最小値は2√6であるので、 (2x+1/y)(1/x+3y)=5+6xy+1/xyの最小値は、 2√6+5 打ち消せるかたまりがなかったら作る! 【問題4】x>-3のとき、 の最小値を求めよ。 【解説4】 これは一見、打ち消せる文字がありません。 しかし、もしもないのであれば、作ってしまえばいいのです!
28 同僚のおばちゃんがくれたからそれ使ってる 69 : :2021/03/21(日) 11:14:06. 10 漢は黙って唐草模様の風呂敷 俺は黙って唐草模様の風呂敷 70 : :2021/03/21(日) 11:15:37. 48 スーパーのかごを堂々と持ち帰ってる奴が気持ち悪い 71 : :2021/03/21(日) 11:16:09. 75 セクシーって典型的な昔ながらの欧米様のやることは正しいとおもってる出羽守厨すぎる 72 : :2021/03/21(日) 11:18:16. 35 男らしいとか女らしいとか 昭和過ぎるだろ 令和になってんのにまだこんな ダサいことにラベル化しとるんか おっさんどもは 73 : :2021/03/21(日) 11:22:13. 09 父ちゃんと買い物いくと適当に今食べたいものだけカゴにいれていたな 果物に刺身に肉に惣菜買い込んで母ちゃんに料理用意してあったのに怒られてた 74 : :2021/03/21(日) 11:23:21. 男でエコバッグ持ち歩いてる奴って気持ち悪いよな。. 37 >>24 ちょっと待て 75 : :2021/03/21(日) 11:24:28. 26 車に折り畳めるマイかご入れてる 現場で自分の荷物入れて持って行くにも買い物で持って行くにも便利すぎる 袋に詰め替える時間を無くせるし、物が潰れるとかひっくり返るとかも無いからマジオススメ 76 : :2021/03/21(日) 11:27:51. 25 >>1 万引き常習の犯罪者に認定されるわ 77 : :2021/03/21(日) 11:33:54. 06 昨日、必要になってエコバッグを買った。なるべく安いものを探したら500円掛かった。 1日1回スーパーに買い物してレジ袋大に5円ずつ払っても100回分の投資だぞ。 そして、それを毎日持って歩かないといけないなんてな。どうすんだよ 78 : :2021/03/21(日) 11:34:37. 80 >>19 外人さんキレてたわ アタリマエ!て叫んでてワロタ 79 : :2021/03/21(日) 11:35:19. 23 ID:BfhQ// >>9 その男らしさってなんの役に立つんだ?w 80 : :2021/03/21(日) 11:38:50. 56 半透明で買ったものが透けるレジ袋の店では買わない 81 : :2021/03/21(日) 11:39:15.
"学業第一"の教育ママ姿 橋下徹氏 "五輪貴族" に不快感MAX「テロ規定使って入れるな」「閉じ込めて南京錠かけたらいい」 【ワイドショー通信簿】LINEで「フロリダ」の意味は?
1 アバカビル (埼玉県) [ES] 2021/03/21(日) 10:26:44. 17 ID:vnF8E+Ml0●? 2BP(2000) 2 エファビレンツ (埼玉県) [US] 2021/03/21(日) 10:27:12. 64 ID:XvRBt8an0 そうでもない 他のスーパーのマークが入ったビニール袋で入れてもらってる 4 アシクロビル (富山県) [ニダ] 2021/03/21(日) 10:27:55. 05 ID:T00AB9l/0 お前の方が気持ち悪いよ かごに広げてそのまま持って帰れるやつのが楽でいいだろ 7 バルガンシクロビル (コロン諸島) [HK] 2021/03/21(日) 10:29:16. 47 ID:APqTWZOyO セクシーじゃん 本人の考え方だし、別にいいと思うぞ 9 ビクテグラビルナトリウム (愛知県) [DE] 2021/03/21(日) 10:30:48. 95 ID:qH1OGAFN0 毎回5円の袋、1枚か2枚買ってるわ。 その方が男らしい 10 テノホビル (光) [BR] 2021/03/21(日) 10:30:50. 14 ID:OFkVR7OK0 >>6 風呂敷か? おれミッキーのマイバッグ使ってる 大地震きて欲しいね東京に 13 ジドブジン (庭) [US] 2021/03/21(日) 10:31:34. 86 ID:UisPpzui0 俺みたいなナイスガイつかまえてよくそんな事言えるな 男ってカートやカゴも大抵女に持たせるよね 自分は手ぶらで偉そうにあーでもないこーでもないと口挟むしマジウゼエ 特に老夫婦なんか高確率でこれ男尊女卑の証だわ 16 ザナミビル (神奈川県) [FR] 2021/03/21(日) 10:32:32. 50 ID:ckDwussu0 いや、デジイチ首からぶら下げて歩いてるおじさんの方が気持ち悪い 17 パリビズマブ (東京都) [US] 2021/03/21(日) 10:32:47. 「エコバッグは131回使わないと意味がない」環境負荷をかける“本当にエコ？”な習慣 (2021年7月21日) - エキサイトニュース. 73 ID:GQxce9gT0 肩掛けできるから楽なんだよ ビニール袋だと手に食い込んで痛いの >>1 逆に持ってないやつは頭悪そうw レジで聞かれないとキレそうになる 手ぶらだぞ、見てわかるだろ エコバッグってネーミングがな >>14 他人ジロジロ観察してるの、気持ちわりー 22 アバカビル (神奈川県) [US] 2021/03/21(日) 10:36:09.
68 >>1 禿同 チンコ捨ててこい 82 : :2021/03/21(日) 11:40:04. 72 風呂敷が好きで使ってる 83 : :2021/03/21(日) 11:40:04. 97 エコバッグは百均に売ってるので十分だ。 84 : :2021/03/21(日) 11:40:57. 35 通常は常備してるが手ぶらの時は買い物できんよな 85 : :2021/03/21(日) 11:41:08. 84 手帳型のスマホケースつけてるやつも主婦みたいでキモい 86 : :2021/03/21(日) 11:41:42. 52 >>77 100回使い切る前に破れる可能性もあるし、定期的に洗わないと不衛生だしなぁ なんだかんだで毎回買った方が楽だと思った 87 : :2021/03/21(日) 11:43:07. 98 ID:VaD/ 4000円w これ取り返すの大変だぞ 毎日3円の袋を1年買っても1000円程度だ 普通にレジ袋を買おう!そっちには清潔だし 88 : :2021/03/21(日) 11:51:06. 86 まぁ確かにオカマくせえよな 普通はトレーナーのお腹の部分を持ち上げてグルッとやってそこに商品を巻き込んで帰るだろ 89 : :2021/03/21(日) 11:51:37. 93 エコバッグの方が環境に悪いっての気づいてないバカ達 90 : :2021/03/21(日) 11:53:49. 51 >>1 その程度で気持ち悪いとかは思わんだろ 意味がない事を続けてるなとは思うけど 気持ち悪いとか思うやつは精神的に幼いって気付けて良かったな 91 : :2021/03/21(日) 11:54:30. 22 お!久々にID被ったな 92 : :2021/03/21(日) 11:57:11. 05 小泉Jr. が効果なんぞ無い!って言ったのに未だに続けてるのはアホだなぁと思う 93 : :2021/03/21(日) 11:59:45. レジ袋の有料化はなぜ始まった？ 長く使えるエコバッグの選び方とは！ | 小学館HugKum. 21 セクシーってそういうこと 男でももっとセクシーになれ、という政府の方針に逆らうのか 94 : :2021/03/21(日) 12:00:15. 40 素手で持って帰えるのが正解 95 : :2021/03/21(日) 12:00:42. 46 冬はコートのポケットに小さいトートバッグ入れて買い物行く 大きい物を買うときはビニール袋買う ゴミ袋にできるから 96 : :2021/03/21(日) 12:03:27.
56 ID:kcsxppp60 半透明で買ったものが透けるレジ袋の店では買わない 81 ペンシクロビル (東京都) [US] 2021/03/21(日) 11:39:15. 68 ID:hjd0WJX10 >>1 禿同 チンコ捨ててこい 風呂敷が好きで使ってる 83 ソホスブビル (長崎県) [US] 2021/03/21(日) 11:40:04. 97 ID:ItznaQua0 エコバッグは百均に売ってるので十分だ。 84 コビシスタット (埼玉県) [KR] 2021/03/21(日) 11:40:57. 35 ID:ys9LNgUT0 通常は常備してるが手ぶらの時は買い物できんよな 85 ミルテホシン (コロン諸島) [JP] 2021/03/21(日) 11:41:08. 84 ID:hW6PmnZWO 手帳型のスマホケースつけてるやつも主婦みたいでキモい 86 ソリブジン (東京都) [US] 2021/03/21(日) 11:41:42. 52 ID:EfxTzTjB0 >>77 100回使い切る前に破れる可能性もあるし、定期的に洗わないと不衛生だしなぁ なんだかんだで毎回買った方が楽だと思った 4000円w これ取り返すの大変だぞ 毎日3円の袋を1年買っても1000円程度だ 普通にレジ袋を買おう!そっちには清潔だし 88 ザナミビル (光) [ニダ] 2021/03/21(日) 11:51:06. 86 ID:oZs2GclH0 まぁ確かにオカマくせえよな 普通はトレーナーのお腹の部分を持ち上げてグルッとやってそこに商品を巻き込んで帰るだろ エコバッグの方が環境に悪いっての気づいてないバカ達 >>1 その程度で気持ち悪いとかは思わんだろ 意味がない事を続けてるなとは思うけど 気持ち悪いとか思うやつは精神的に幼いって気付けて良かったな お!久々にID被ったな 小泉Jr. が効果なんぞ無い!って言ったのに未だに続けてるのはアホだなぁと思う セクシーってそういうこと 男でももっとセクシーになれ、という政府の方針に逆らうのか 素手で持って帰えるのが正解 95 アデホビル (東京都) [US] 2021/03/21(日) 12:00:42. 46 ID:i5uOb0C00 冬はコートのポケットに小さいトートバッグ入れて買い物行く 大きい物を買うときはビニール袋買う ゴミ袋にできるから 96 ビクテグラビルナトリウム (東京都) [JP] 2021/03/21(日) 12:03:27.