ジョルダン標準形の求め方 対角行列になるものも含めて、ジョルダン標準形はどのような正方行列でも求めることができます。その方法について確認しましょう。 3. ジョルダン標準形を求める やり方は、行列の対角化とほとんど同じです。例として以下の2次正方行列の場合で見ていきましょう。 \[\begin{eqnarray} A= \left[\begin{array}{cc} 4 & 3 \\ -3 & -2 \\ \end{array} \right] \end{eqnarray}\] まずはこの行列の固有値と固有ベクトルを求めます。計算すると固有値は1、固有ベクトルは \(\left[\begin{array}{cc}1 \\-1 \end{array} \right]\) になります。(求め方は『 固有値と固有ベクトルとは何か?幾何学的意味と計算方法の解説 』で解説しています)。 この時点で、対角線が固有値、対角線の上が1になるという性質から、行列 \(A\) のジョルダン標準形は以下の形になることがわかります。 \[\begin{eqnarray} J= \left[\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right] \end{eqnarray}\] 3.
^ 斎藤 1966, 第6章 定理[2. 2]. ^ 斎藤 1966, p. 191. ^ Hogben 2007, 6-5. ^ つまり 1 ≤ d 1 ≤ d 2 ≤ … ≤ t i があって、 W i, k i −1 = ⟨ b i, 1, …, b i, d 1 ⟩, W i, k i −2 = ⟨ b i, 1, …, b i, d 2 ⟩, …, W i, 0 = ⟨ b i, 1, …, b i, t i ⟩ となるように基底をとる 参考文献 [ 編集] 斎藤, 正彦『 線型代数入門 』東京大学出版会、1966年、初版。 ISBN 978-4-13-062001-7 。 Hogben, Leslie, ed (2007). Handbook of Linear Algebra. Discrete mathematics and its applications. Chapman & Hall/CRC. ISBN 978-1-58488-510-8 関連項目 [ 編集] 対角化 スペクトル定理
【解き方③のまとめ】 となるベクトル を2つの列ベクトルとして,それらを束にして行列にしたもの は,元の行列 をジョルダン標準形に変換する正則な変換行列になる.すなわち が成り立つ. 実際に解いてみると・・・ 行列 の固有値を求めると (重解) そこで,次の方程式を解いて, を求める. (1)より したがって, を満たすベクトル(ただし,零ベクトルでないもの)は固有ベクトル. そこで, とする. 次に(2)により したがって, を満たすベクトル(ただし,零ベクトルでないもの)は解のベクトル. [解き方③の2]・・・別の解説 線形代数の教科書,参考書によっては,次のように解説される場合がある. はじめに,零ベクトルでない(かつ固有ベクトル と平行でない)「任意のベクトル 」を選ぶ.次に(2)式によって を求めたら,「 は必ず(1)を満たす」ので,これら の組を解とするのである. …(1') …(2') 前の解説と(1')(2')の式は同じであるが,「 は任意のベクトルでよい」「(2')で求めた「 は必ず(1')を満たす」という所が,前の解説と違うように聞こえるが・・・実際に任意のベクトル を代入してみると,次のようになる. とおくと はAの固有ベクトルになっており,(1)を満たす. この場合,任意のベクトルは固有ベクトル の倍率 を決めることだけに使われている. 例えば,任意のベクトルを とすると, となって が得られる. 初め慣れるまでは,考え方が難しいが,慣れたら単純作業で求められるようになる. 【例題2. 2】 次の行列のジョルダン標準形を求めて, を計算してください. のとき,固有ベクトルは よって,1つの固有ベクトルは (解き方①) このベクトル と1次独立なベクトル を適当に選び となれば,対角化はできなくても,それに準ずる上三角化ができる. ゆえに, ・・・(**) 例えば1つの解として とすると, ,正則行列 , ,ジョルダン標準形 に対して となるから …(答) 前述において,(解き方①)で示した答案は,(**)を満たす他のベクトルを使っても,同じ結果が得られる. (解き方②) となって,結果は等しくなる. (解き方③) 以下は(解き方①)(解き方②)と同様になる. (解き方③の2) 例えば とおくと, となり これを気長に計算すると,上記(解き方①)(解き方②)の結果と一致する.
固有値が相異なり重複解を持たないとき,すなわち のとき,固有ベクトル と は互いに1次独立に選ぶことができ,固有ベクトルを束にして作った変換行列 は正則行列(逆行列が存在する行列)になる. そこで, を対角行列として の形で対角化できることになり,対角行列は累乗を容易に計算できるので により が求められる. 【例1. 1】 (1) を対角化してください. (解答) 固有方程式を解く 固有ベクトルを求める ア) のとき より 1つの固有ベクトルとして, が得られる. イ) のとき ア)イ)より まとめて書くと …(答) 【例1. 2】 (2) を対角化してください. より1つの固有ベクトルとして, が得られる. 同様にして イ) のとき1つの固有ベクトルとして, が得られる. ウ) のとき1つの固有ベクトルとして, が得られる. 以上の結果をまとめると 1. 3 固有値が虚数の場合 正方行列に異なる固有値のみがあって,固有値に重複がない場合には,対角化できる. 元の行列が実係数の行列であるとき,実数の固有値であっても虚数の固有値であっても重複がなければ対角化できる. 元の行列が実係数の行列であって,虚数の固有値が登場する場合でも行列のn乗の成分は実数になる---虚数の固有値と言っても共役複素数の対から成り,それらの和や積で表される行列のn乗は,実数で書ける. 【例題1. 1】 次の行列 が対角化可能かどうかを調べ, を求めてください. ゆえに,行列 は対角化可能…(答) は正の整数として,次の早見表を作っておくと後が楽 n 4k 1 1 1 4k+1 −1 1 −1 4k+2 −1 −1 −1 4k+3 1 −1 1 この表を使ってまとめると 1)n=4kのとき 2)n=4k+1のとき 3)n=4k+2のとき 4)n=4k+3のとき 原点の回りに角 θ だけ回転する1次変換 に当てはめると, となるから で左の計算と一致する 【例題1. 2】 ここで複素数の極表示を考えると ここで, だから 結局 以下 (nは正の整数,kは上記の1~8乗) このように,元の行列の成分が実数であれば,その固有値や固有ベクトルが虚数であっても,(予想通りに)n乗は実数になることが示せる. (別解) 原点の回りに角 θ だけ回転して,次に原点からの距離を r 倍することを表す1次変換の行列は であり,与えられた行列は と書けるから ※回転を表す行列になるものばかりではないから,前述のように虚数の固有値,固有ベクトルで実演してみる意義はある.
両辺を列ベクトルに分けると …(3) …(3') そこで,任意の(ただし,後で求まるベクトル とは1次独立でなければならない)ベクトル を選び,(3)で定まる を求めると固有ベクトルになって(2)を満たしているので,これと独立にもう1つ固有ベクトル を定めるとよい. 例えば, とおくと, となる. (1')は次の形に書ける と1次独立となるように を選ぶと, このとき, について, だから は正則になる. 変換行列は解き方①と同じではないが,n乗の計算を同様に行うと,結果は同じになる 【例題2. 2】 次の行列のジョルダン標準形を求めください. (略解:解き方③) 固有方程式は三重解 をもつ これに対応する固有ベクトルを求める これを満たすベクトルは独立に2つ選べる これらと独立にもう1つベクトル を定めるために となるベクトル を求める. 正則な変換行列 として 【例題2. 3】 次の行列のジョルダン標準形を求めて,n乗を計算してくださいください. (三重解) 次の形でジョルダン標準形を求める 正則な変換行列は3つの1次独立なベクトルを束にしたものとする 次の順に決める:任意の(ただし,後で求まるベクトル とは1次独立でなければならない)ベクトル を選び,(3')で定まる を求める.さらに(2')で を定める:(1')は成り立つ. 例えば となる. 以上がジョルダン標準形である n乗は次の公式を使って求める 【例題2. 4】 変換行列を求める. 任意のベクトル (ただし,後で求まるベクトル とは1次独立でなければならない)を選び となる を求めて,この作業を繰り返す. 例えば,次のように定まる. …(#1) により さらに …(#2) なお …(#3) (#1)は …(#1') を表している. (#2)は …(#2') (#3)は …(#3') (#1')(#2')(#3')より変換行列を によって作ると (右辺のジョルダン標準形において,1列目の は単独,2列目,3列目の の上には1が付く) に対して,変換行列 ○===高卒~大学数学基礎メニューに戻る... (PC版)メニューに戻る
結婚式の髪型を編み込みでつくるアップヘア Ⅱ 上で紹介した髪型では後ろの作業を簡単に済ませる為に三つ編みを使っているが、こちらの動画では編み込みしている。 難易度は少し高まるが、こちらの方が好みであれば実践してみよう。 4-1. Uピンの使い方 Uピンの使い方は、『 Uピン 使い方|上手に留めるコツ教えます。 』で詳しく解説している。 編み込みした毛束をお団子にまとめてUピンで留める際は、上の画像のような使い方をする。 Uピンを挿す際は、表面と裏面の両方の髪がUピンの中に入るように通し、「画像1」の角度から入れ、「画像3」の角度に反回転させてから根本に挿すとゆるむことなく留まる。 4-2. Uピンが上手くとまらない原因 動画の中でも解説しているが、Uピンの形を整えてから留めるようにしよう。上の画像のように左の状態と右の状態では、同じように挿しても安定感が全然違う。 画像左のようにUピンの形をまっすぐに整えておくと、適切な毛量を留められるので安定する。 反対に、画像の右側のようにUピンの形が開いていると、留める際に余計な髪を挟んでしまうので、留めたあと不安定になりやすい。 それだけではなく、先端が開いていることによって、留めた髪が抜けやすくなってしまうことから、一時的には留められてもスグに崩れてしまうことへ繋がる。 経験を積めばUピンの形を見るだけで判断できるが、はじめのうちは分からないと思うので、留める前に確認をする癖をつけよう。 5. 結婚式の着物にも似合う髪型 結婚式へ着物で出席する際に、自分で髪型をやる人は比較的少ないと思うが、一応紹介しておこう。 くるりんぱを重ねてアップアレンジを作っていくので、作業的には難しくはない。 上段・下段の髪をくるりんぱした後に、残った毛先の髪を三つ編みしてまとめる髪型になるので、シニヨン風の落ち着いた雰囲気に仕上げたい際にオススメできる結婚式の髪型だ。 6. 結婚式の髪型でショートの自分でできる髪型は？旬なヘアアレンジをご紹介！ | Mizuki's STYLE. 三つ編みとくるりんぱで簡単につくる結婚式の髪型 上から襟足までくるりんぱをつくり、毛先を三つ編みしてつくる髪型を紹介。 後ろで三つ編みするのが難しい際は、『 三つ編みのやり方とコツ|ヘアアレンジが上達する4つの動画 』を参考にしてみてほしい。 7. シニヨンで結婚式の髪型を簡単につくる方法 この髪型は、まとめ髪をする際に "ねじり" をしているので、『コテなし』『ストレートヘアのまま』でもつくることができる。 ねじる作業を入れないと、ただ髪をまとめただけの印象になってしまうが、ねじる作業を加え、まとめることで立体感を演出していくことが可能になる。 結婚式の髪型を自分でつくる際のポイントは、花嫁より目立つことなく、周りの人と同じ髪型にならないようにすること。それから自分でも簡単にできることだ。 ストレートヘアのままアレンジする術を覚えておくと、急なイベントにも対応することができるので重宝する。一度、実践してみよう。 8.
お呼ばれ結婚式は、髪型も1つの楽しみです! そんな髪型のセットを自分でやりたいという方も多いと思います! ショートなら、意外と簡単にセットができちゃうんです! 今回は、そのセット方法をご紹介します! ハーフアップ編 ハーフアップスタイルをご紹介します! 編み込み風ハーフアップ 引用元: 髪を足しながら、ねじっていくアレンジ です! 短くても編み込み風のハーフアップを、簡単に作ることができます! レイヤーが入っていると、ねじっても髪がはみ出てしまいます。 それを防ぐために、高めの位置で髪を取ります。 ハチまわりがすっきりする分、前髪が印象を左右するアレンジです! カーラーの巻き方を変えて、前髪で印象を自分好みに作りましょう♡ まず、アレンジをする髪の上半分にのみ、ソフトワックスをつけます。 ワックスは、よく手になじませてからつけるようにしたください。 前髪を残して、こめかみのあたりからバックに向かって髪を2回転ねじります。 そして、一度ピンで留めます。 ピンを留めたところのすぐ下の髪を足して、一緒にねじっていきます。 後ろの中央まで行ったら、そこでピンで固定します。 逆サイドも同様にねじり、髪を足しながらさらにねじって留めます。 最後に、 前髪をマジックカーラーで巻きます 。 かわいく見せたいときは一番小さいカーラーを2つ使ってください♡。 大人っぽく仕上げたいときは大きめのカーラーひとつがおすすめです! 鉄板ハーフアップ サイドを編みこんで、後ろで留めます。 残った髪の毛は、カールさせただけ! とても簡単なアレンジになります。 後ろで留めた編みこみは、バレッタで補強するため、崩れにくいのがポイントです! 長時間のパーティでも、お直しせずにスタイルをキープできます♡ サイドをざっくり取り分け、耳上あたりから編みこみを作ります。 毛の先は、ゴムで留めます。 反対側も同様に行います。 残りの毛は、アイロンですべて外ハネにします。 サイドがすっきりしている分、弾むようなカールをつくります。 外ハネで、華やかさを演出します♡ サイドの編みこみを後ろに持って行き、毛先を土台と一緒にバレッタで留めます。 カールさせた部分は、ワックスをもみこみます。 そして、くしゅっとした質感を出してください! アップ編 ショートでもできるアップスタイルをご紹介します! 万能アレンジ 髪が短くても華やかで、崩れにくいアップスタイルになります。 左右を編みこむことで、頭のラインにほどよい立体感をだすことができます 。 バックの毛は編みこまず、左右の編みこみと別にしてまとめます。 そのため、えりあしの毛が、落ちてくる心配もありません!
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