\(AB=AC\) と \(AM=AN\) は仮定 \(\angle A\) は共通 より、\(2\) 辺とその間の角がそれぞれ等しいことから合同がいえますね。 こちらから証明しても立派な別解です。 次のページ 二等辺三角形であることの証明 前のページ 三角形の合同の証明の利用・その2
下の図で、直線 $AD$ が $∠A$ の二等分線かつ $AD // EC$ であるとき、$△ACE$ が二等辺三角形であることを示せ。 「二等辺三角形であることを示す」ということは、 $AC=AE$ を導くのかな…?
こんにちは、ウチダショウマです。 今日は、中学2年生で詳しく学ぶ 「二等辺三角形」 について、まずは定義から入り、次に 角度に関する重要な性質 を証明し、最後にその性質を使った証明問題にチャレンジしていきます。 目次 二等辺三角形の定義とは 二等辺三角形とは、読んで字のごとく 「 $2$ つの辺の長さが等しい三角形 」 のことを指します。 たとえば以下のような三角形です。 ②のように、一つの角が直角である二等辺三角形を "直角二等辺三角形" 、③のように、すべての辺の長さおよび角が等しい三角形を "正三角形" といい、どれも二等辺三角形の仲間です。 ①は一般的な二等辺三角形です。 さて、②③で見たように、どうやら角度に対しても考えていく必要があるようです。 次の章で、 二等辺三角形の角度に関して成り立つ重要な性質 を見ていきます。 二等辺三角形の性質【重要】 【二等辺三角形の性質1】 二等辺三角形であれば、二つの底角は等しい。 ここで登場した 「 底角(ていかく) 」 とは、以下の角のことを指します。 底辺の両端にできる角度だから底角、それに対して、もう一つの角度は"頂点"からとって「頂角(ちょうかく)」と呼びます。 さて、この性質から、たとえば以下のような問題を解くことができます。 問題. $AB=AC, ∠A=40°$ である $△ABC$ において、$∠B$ の大きさを求めよ。 【解答】 三角形の内角の和は $180°$ より、 \begin{align}∠B+∠C&=180°-∠A\\&=180°-40°\\&=140°\end{align} ここで、$AB=AC$ より、$△ABC$ は二等辺三角形であるから、$$∠B=∠C$$ したがって、$$2×∠B=140°$$ より、$$∠B=70°$$ (解答終了) 簡単に求めることができましたね! ちなみに、「 なぜ三角形の内角の和が $180°$ になるか 」はこちらの記事で詳しく解説しております。 関連記事 三角形の内角の和は180度って証明できるの?【三角形の外角の定理(公式)や問題アリ】 では、この性質を証明するにはどうすればよいか、考えていきましょう。 スポンサーリンク 「辺の長さ⇒角度」の証明 まず、$∠A$ の 角の二等分線 を書いてみましょう。 ここで、$∠A$ の二等分線と辺 $BC$ の交点を $D$ と置きます。 すると、$△ABD$ と $△ACD$ において、 $$AD は共通 ……①$$ 仮定より、$$AB=AC ……②$$ 角の二等分線より、$$∠BAD=∠CAD ……③$$ ①~③より、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、$$△ABD≡△ACD$$が示せました。 この合同が示されたことがとても大きい事実です。 つまり、 合同な図形の対応する角は等しい ため、$$∠ABD=∠ACD$$ と、性質1「 $2$ つの底角が等しい」が簡単に証明できる、というわけです。 また、これ以外にも、たとえば$$BD=CD$$がわかったり、$∠ADB=∠ADC$ かつ $∠ADB+∠ADC=180°$ より、$$∠ADB=∠ADC=90°$$がわかったりします。 以上、判明した事実を図にまとめておきます。 ↓↓↓ $2.
三角形を構成する要素として 辺 角 この $2$ つに関する知識はぜひ深めておきたいですね。 また、辺と角に対して勉強すると、自ずと "面積" もわかるようになってきます。 ぜひ、いろいろな知識を結びつけながら学習を進めていただければと思います。 「三角形の面積」に関する詳しい解説はこちらから!! 関連記事 三角形の面積の求め方とは?sinやベクトルを用いる公式も解説!【小学生から高校生まで】 あわせて読みたい 三角形の面積の求め方とは?sinやベクトルを用いる公式も解説!【小学生から高校生まで】 こんにちは、ウチダショウマです。 今日は、小学生から高校生まで通して学ぶ 「三角形の面積の求め方」 について、まずは基本から入り、徐々に高校数学の内容に進化させ... 以上、ウチダショウマでした。 それでは皆さん、よい数学Lifeを! !
1. 【中2数学】「二等辺三角形の証明」(例題編) | 映像授業のTry IT (トライイット). 二等辺三角形とは? 二等辺三角形 は、 2辺の長さが等しい三角形 と定義されます。 等しい長さの2辺にはさまれた角のことを 頂角 と呼び,それ以外の2つの角を 底角 と呼びます。 2. ポイント ただし,「二等辺三角形=2辺が等しい」と覚えるだけでは,中学数学の問題は解けません。二等辺三角形については,他に3つの重要ポイントがあります。3つのポイントを順番に紹介していきましょう。 ココが大事!① 二等辺三角形の性質1 2つの底角が等しい 1つ目のポイントは,二等辺三角形は 2つの底角が等しい という性質です。この性質を利用することで, 二等辺三角形における内角の角度を求める ことができるようになります。 ココが大事!② 二等辺三角形の性質2 頂角の二等分線は,底辺を垂直に二等分する 2つ目のポイントは,二等辺三角形は 頂角の二等分線は,底辺を垂直に二等分する という性質です。この性質は,特に 高校入試の問題で頻出の知識 になります。 見落としがちになる性質 なので,しっかりおさえましょう。 ココが大事!③ 二等辺三角形になるための条件 ①「2つの辺が等しい」 ②「2つの角が等しい」 ③「頂角の二等分線が,底辺の垂直二等分線と一致する」 3つ目のポイントは, 二等辺三角形になるための条件 です。ある三角形が二等辺三角形であることを示すには,3つのルートがあります。①「2つの辺が等しい」ことを示す,②「2つの角が等しい」ことを示す,③「頂角の二等分線が,底辺の垂直二等分線と一致する」ことを示す,です。特に,②を利用することが多いので覚えておきましょう。 3. 二等辺三角形の性質を利用する問題① 問題1 図でAB=ACのとき,∠xの大きさをそれぞれ求めなさい。 問題の見方 問題文の「AB=AC」という条件にピンと来てください。(1)~(4)の三角形はすべて 二等辺三角形 です。 二等辺三角形の底角は等しい という性質に加え, 三角形の内角・外角の性質 (「三角形の内角の和は180°になる」「三角形の外角は,隣り合わない2つの内角の和に等しい」)を利用すると,∠xの大きさがわかります。 解答 (1) $$∠x=180^\circ-70^\circ×2=\underline{40^\circ}……(答え)$$ (2) $$∠x=(180^\circ-84^\circ)÷2=\underline{48^\circ}……(答え)$$ (3) $$∠x=100^\circ÷2=\underline{50^\circ}……(答え)$$ (4) $$∠x=(180^\circ-36^\circ)÷2=\underline{72^\circ}……(答え)$$ 映像授業による解説 動画はこちら 4.
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