東大塾長の山田です。 このページでは、 無限級数 について説明しています。 無限(等比)級数について、収束条件やその解釈を詳しく説明し、練習問題を挟むことで盤石な理解を図っています。 ぜひ勉強の参考にしてください! 1. 無限級数について 1. 1 無限級数と収束条件 下式のように、 項の数が無限である級数のことを 「無限級数」 といいます。 たとえば \[1-1+1-1+1-1+\cdots\] のような式も、無限級数であると言えます。 また、 無限級数の第\(n\)項までの和のことを 「部分和」 といい、ここでは\(S_n\)と書くことにします。 このとき、 「数列\(\{S_n\}\)が収束すること」 を 「無限級数\(\displaystyle\sum_{n=1}^{∞}a_n\)が収束する」 ことと定義します。 収束は、和をもつと同じ意味と考えてくれれば結構です。(⇔発散する) 例えば上の無限級数に関していえば、 \[ \begin{cases} nが偶数のとき:S_n=0\\ nが奇数のとき:S_n=1 \end{cases} \] となり、\(\{S_n\}\)は発散する。 1. 2 定理 次に、 無限級数を扱う際に用いる超重要定理 について説明します。 まずは以下のような無限級数について考えてみましょう。 \[1+2+3+4+5+6+\cdots\] この数列は無限に大きくなっていきます。このときもちろん 無限級数は 「発散」 していますね。 ということは、 無限級数が収束するためには\(a_{\infty}=0\)になっている必要がありそうですね。 そこで、今述べたことと同じことを言ってい る以下の定理を紹介します! 等 比 級数 和 の 公式. 式をみればなんとなく意味をつかめる人が多いと思いますが、この定理を用いる際にはいくつか注意しなければいけない点があります。 まずは証明から確認しましょう。 証明 第\(n\)項までの部分和を\(S_n\)とすると、 \[S_n=a_1+a_2+\cdots +a_n\] ここで、\(\lim_{n \to \infty}S_n=\alpha\)とおくとします。(これは定義より無限級数が収束することと同義) \(n \to \infty\)だから\(n≧2\)としてよく、このとき \[a_n=S_n-S_{n-1}\] \(n \to \infty\)すると \[\lim_{n \to \infty}a_n→\alpha-\alpha=0\] よって \[\displaystyle\sum_{n=0}^{∞}a_nが収束⇒\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=0\] 注意点 ①この定理は以下のように対偶を取って考えた方がすんなり頭に入るかもしれません。 \[\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n≠0⇒\displaystyle\sum_{n=0}^{∞}a_nが発散\] 理解しやすい方で覚えると良いでしょう!
この記事では,$x^n-y^n$の因数分解など3次以上の多項式の展開,因数分解の公式をまとめています. $r$が1より大きいか小さいかで対応する 公比が$r\neq1$の場合の和は ですが,分母と分子に$-1$をかけて とも書けます.これらは $r>1$の場合には$\dfrac{a(r^n-1)}{r-1}$を使い, $r<1$の場合には$\dfrac{a(1-r^n-1)}{1-r}$を使うと, $a$以外は正の数になり,計算が楽になることが多いです. 等比級数の和 証明. このように,公比が1より大きいか小さいかで公式の形を使い分ければ,計算が少し見やすくなります. 等比数列の和の公式は因数分解$x^n-y^n=(x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}y+\dots+y^{n-1})$から簡単に導ける.また,公比$r$によって$\dfrac{a(r^n-1)}{r-1}$の形と$\dfrac{a(1-r^n-1)}{1-r}$の形を使い分けるとよい. 数列の和を便利に表すものとしてシグマ記号$\sum$があります. 次の記事では,具体例を使って,シグマ記号の考え方と公式を説明します.
比較判定法 2つの正項級数 の各項の間に が成り立つとき (1) が収束するならば, も収束する. (2) が正の無限大に発散するならば, も正の無限大に発散する. 以上の内容は, ( は定数)の場合にも成り立つ. 比較によく用いられる正項級数 (A) 無限等比級数 は ならば収束し,和は ならば発散する 無限等比級数の収束・発散については,高校数学Ⅲで習う.ここでは,証明略 (B) ζ (ゼータ)関数 ならば正の無限大に発散する ならば収束する s=1のとき(調和級数のとき)発散することの証明は,前述の例6で行っている. s>0, ≠1の他の値の場合も,同様にして定積分との比較によって示せる. ここで は, のとき,無限大に発散, のとき収束するから のとき, により,無限級数も発散する. のとき, は上に有界となるから,収束する.したがって, も収束する.
通信教材を続けるコツは?
スマイルゼミとチャレンジタッチは、小学生ならどっちがいいの? スマイルゼミとチャレンジタッチの具体的な違いやデメリットは何があるの? 結局、うちの子にとって、どっちの通信教育を選ぶべきなの? 進研ゼミ中学講座とスマイルゼミ中学生コースを比較しました - 気になったGP!スタディ. こういった疑問に答えます。 もし、お子さんに不向きな通信教育を選んでしまうと、お金のムダになるだけではなく、勉強が大嫌いになってしまうかもしれません。 教材選びはお子さんの将来に直結するため、しっかりとメリット・デメリットを把握した上で選ぶことが大切です。 この記事を読むことで、 あなたのお子さんにとって、「スマイルゼミ」と「チャレンジタッチ」のどっちが向いているのかがハッキリと分かります。 【結論】「スマイルゼミ」と「チャレンジタッチ」、どっちがいいの? 「スマイルゼミ」と「チャレンジタッチ(進研ゼミ)」で、優劣はありません。 大切なことは、 あなたのお子さんの「学力」「目的」「やる気」「性格」をピッタリの通信教育を選ぶ ことです。 50名以上の口コミをもとに、次のとおり結論を出しました。 「チャレンジタッチ」がおすすめな子 「学校のテスト」で点数アップしたい子 「教科書」の内容をすべて理解したい子 ていねいな添削指導(赤ペン先生)を受けたい子 付録やゲームを活用して、「やる気UP」をしてほしい親にピッタリです。 チャレンジタッチとは、進研ゼミの小学生向けタブレット学習コースです。赤ペン先生がていねいな添削・個別指導をしてくれることで有名ですよね。 「スマイルゼミ」がおすすめな小学生 「勉強嫌い」を克服したい子 「教科書」の内容を復習したい子 「授業の遅れ」を今すぐ取り戻したい子 「もくもくと勉強してほしい!」という親にピッタリです。 スマイルゼミとは、上場企業の株式会社ジャストスマイルが運営する 顧客満足度No. 1のタブレット教材 です。 参考: 子ども教材の顧客満足度調査 参考: 学校指導要領|文部科学省 「スマイルゼミ」と「チャレンジタッチ」の比較表 「スマイルゼミ」と「チャレンジタッチ(進研ゼミ)」を徹底比較しました。 チャレンジタッチ (進研ゼミ) スマイルゼミ 入会金 0円 0円 タブレット 無料 9, 880円 月額:小1 2, 980円 3, 278円 月額:小2 2, 980円 3, 520円 月額:小3 3, 740円 4, 180円 月額:小4 4, 430円 4, 840円 月額:小5 5, 320円 5, 720円 月額:小6 5, 730円 6, 270円 教科書準拠 ○ ○ 添削課題 ◯ × お試し期間 × ◯ 返金保証 × ◯ 実力診断テスト 年3回 年に3回+入会時 教材 ・専用タブレット ・テキスト ・専用タブレット 教科 ・国語 ・算数 ・理科 ・社会 ・英語 ・プログミング ・国語 ・算数 ・理科 ・社会 ・英語 ・プログミング 「スマイルゼミ」と「チャレンジタッチ」の、5つの違いとは?
この記事では「進研ゼミVSスマイルゼミどっちが良いの徹底比較」についてお伝えしました。ここでもう一度、記事の内容を振り返っておきましょう。 まとめ 副教材や付録があるのは、進研ゼミ タブレット本体が安い方は、進研ゼミ 中学校別の定期テスト対策ができるのは、進研ゼミ 受講料が安いのは、進研ゼミ 受講開始2週間の全額返金保証があるのは、スマイルゼミ 我が家の偏差値70になった娘は、進研ゼミの紙教材を受講していました。息子は、進研セミのタブレット(ハイブリットコース)です。 中学校は、個人のタブレットの持ち込みを禁止している学校が多く、紙教材が充実している進研ゼミの方が使いやすかった!というのが我が家の感想です。 なので紙教材や副教材を、中学校に持っていきたい人は進研セミ。通信教材は中学校に持って行かない人はスマイルゼミでも大丈夫です。 - 中学生教育・通信教材
スマイルゼミ・進研ゼミ・Z会、どれがオススメ? 具体的な通信教育の選び方はあるの? うちの子の「学力」「やる気」に合う通信教育ってどれかな? こういった疑問に答えます。 お子さんの通信教育を選ぶ中で、大手の「スマイルゼミ」「進研ゼミ」「Z会」に絞り込んだものの、なかなか1社に絞れないママさんもいらっしゃるのではないでしょうか? たしかに、ネットの口コミを見ると、3社ともの評判も特徴もそっくりですよね。 そこで、小学生・中学生のお子さんを持つ親御さん向けに、3社をどこよりも具体的に徹底比較しました。 この記事を読むことで、 あなたのお子さんにピッタリの通信教育が見つかる ことを保証します。 あなたのお子さんが、 「志望校に合格」「定期テストの点数アップ」「学習習慣の定着」につながるだけではなく、家計にもやさしい教材 を、今すぐ見つけましょう!
進研ゼミとスマイルゼミは、どっちがいいの? 進研ゼミとスマイルゼミは、どちらも人気の高い通信講座なので、どちらがお子さんに合うのか 、お悩みの方も多いのではないでしょうか?