東大塾長の山田です。 このページでは、 無限級数 について説明しています。 無限(等比)級数について、収束条件やその解釈を詳しく説明し、練習問題を挟むことで盤石な理解を図っています。 ぜひ勉強の参考にしてください! 1. 無限級数について 1. 1 無限級数と収束条件 下式のように、 項の数が無限である級数のことを 「無限級数」 といいます。 たとえば \[1-1+1-1+1-1+\cdots\] のような式も、無限級数であると言えます。 また、 無限級数の第\(n\)項までの和のことを 「部分和」 といい、ここでは\(S_n\)と書くことにします。 このとき、 「数列\(\{S_n\}\)が収束すること」 を 「無限級数\(\displaystyle\sum_{n=1}^{∞}a_n\)が収束する」 ことと定義します。 収束は、和をもつと同じ意味と考えてくれれば結構です。(⇔発散する) 例えば上の無限級数に関していえば、 \[ \begin{cases} nが偶数のとき:S_n=0\\ nが奇数のとき:S_n=1 \end{cases} \] となり、\(\{S_n\}\)は発散する。 1. 等比級数の和 証明. 2 定理 次に、 無限級数を扱う際に用いる超重要定理 について説明します。 まずは以下のような無限級数について考えてみましょう。 \[1+2+3+4+5+6+\cdots\] この数列は無限に大きくなっていきます。このときもちろん 無限級数は 「発散」 していますね。 ということは、 無限級数が収束するためには\(a_{\infty}=0\)になっている必要がありそうですね。 そこで、今述べたことと同じことを言ってい る以下の定理を紹介します! 式をみればなんとなく意味をつかめる人が多いと思いますが、この定理を用いる際にはいくつか注意しなければいけない点があります。 まずは証明から確認しましょう。 証明 第\(n\)項までの部分和を\(S_n\)とすると、 \[S_n=a_1+a_2+\cdots +a_n\] ここで、\(\lim_{n \to \infty}S_n=\alpha\)とおくとします。(これは定義より無限級数が収束することと同義) \(n \to \infty\)だから\(n≧2\)としてよく、このとき \[a_n=S_n-S_{n-1}\] \(n \to \infty\)すると \[\lim_{n \to \infty}a_n→\alpha-\alpha=0\] よって \[\displaystyle\sum_{n=0}^{∞}a_nが収束⇒\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=0\] 注意点 ①この定理は以下のように対偶を取って考えた方がすんなり頭に入るかもしれません。 \[\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n≠0⇒\displaystyle\sum_{n=0}^{∞}a_nが発散\] 理解しやすい方で覚えると良いでしょう!
\(\Sigma\)だとわかるけど、並べると \( n-1\) 項までがはっきりしない? \( \displaystyle 8+8\cdot2+8\cdot2^2+\cdots+8\cdot2^{n-2}+8\cdot2^{n-1}\) が「第 \(n\) 項までの和」でしょう? ならば、1つ減っている \( \displaystyle 8+8\cdot2+8\cdot2^2+\cdots+8\cdot2^{n-2}\) は「第 \( n-1\) 項までの和」ですね。 それを\(\Sigma\)を使えばはっきりと上限に表せるということなのです。 少し\(\Sigma\)の便利さわかってもらえましたか?
人の計算見て、自分でやった気になってはダメですよ。 ちょっとした工夫で使える和の公式 練習11 「初項8、公比2の等比数列の第11項から第 \( n\) 項までの和を求めよ。」 これは初項からの和ではないので等比数列の和の公式もそのままでは使えませんが、 等差数列のときと同じように初項からの和を考えれば良いだけですね。 \(\Sigma\)を使って表せば \( \displaystyle S\displaystyle =\sum_{k=11}^n 8\cdot2^{k-1}\) 具体的に書き並べれば \( S=8\cdot2^{10}+8\cdot2^{11}+\cdots+8\cdot2^n\) ということです。 さて、どうやって変形しますか?
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まだ未発売の新作を公開♡ユニクロのワイドパンツ 今回のユニクロのジーンズ試着展示会で発見したのはこちらの『ハイライズスーパーワイドジーンズ』。 2020年2月下旬に発売予定の新作です。フレアシルエットが新鮮で、デニムというよりもスカートのような感覚ではくことができる1着です。 カジュアルな印象が強いデニムですが、これならフェミニンコーデにも使えそう◎ 素材は、やわらかく薄いジーンズ生地なので、とっても軽やか。風通しもよいので春先はもちろん、「肌に生地が張り付いてパンツなんかはきたくない」という真夏にもピッタリ! とにかく美脚効果がスゴイ!ユニクロの新作ワイドパンツ ※モデル身長:159cm ナチュラルな色合いが上品なベージュ系カラーをお試し! トレンド感のある色味なので、人気が出そう!こちらはオンライン限定の丈長めのタイプです。 「最近はストレートっぽいワイドパンツが人気だったから新鮮だな…」と思いつつモデルさんに試着してもらっていると…。 ユニクロの広報さんに「ウエストはぜひインしてみてください!」と強くオススメされたので早速インしてみることに。 すると、どうでしょう。トップスをアウトするのもリラックス感があって素敵だったのですが、インすると脚が1. 3倍くらい長く見える…! 商品名の通りハイウエストかつ、脚のラインを拾わないワイドシルエットだから脚長効果がとにかくスゴイ。 生地が薄くてもハリがあり、よけいな肉感を拾わないのですっきりして見えます。 脚周りのラインはすべて隠れてしまうので、下半身の肉感にお悩みの方もキレイにはきこなせますよ! ユニクロ新作ワイドパンツは低身長さんにもオススメ! ワイドパンツ コーディネート レディース関連商品の口コミ・評判 | ユニクロ. しかもうれしいのは脚長効果だけじゃないんです。 ユニクロ広報さんによれば、丈を10cm程度詰めたとしても、「カットしないではいた時」と同じシルエットで楽しめるようにデザインされているのだそう。 これなら低身長さんも、デザインのイメージを変えずに、自分の体型に合わせて楽しめますよね。これはうれしすぎます…♡ さらに真っ白のタイプはスケ防止加工が施されているので、インナーが透ける心配もなく安心。 こんなにうれしいポイントが揃ったパンツは売り切れの予感大…。詳しい情報解禁が楽しみですね! 記事協力: ユニクロ 「#ユニクロ」の記事をもっと見る 関連記事 GUプレスさんもオススメ♡新作トップスはオールシーズン着倒せるコスパ最強アイテムでした!