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2次関数の接線を、微分を使わずに簡単に求める方法を紹介します。このページでは、放物線上の点からの接線の式を求める方法について説明します。 微分を使って普通に解くと、次のようになります。 最後の方で、1次関数の ヒクタス法 を使いました。この問題を微分を使わずに解くには、次の公式を用います。 少し長いけど簡単に覚えられますよね。これを使って上の問題を解いてみると、 普通の解き方と比べて書いた量はあまり変わりませんが、1行目の式を書いたらあとはただ計算しているだけですので楽です。そしてこの解法は応用問題で威力を発揮します。 ※ 2次関数の接線公式 は びっくり のオリジナル用語です。テストの記述では使わないで下さい。 About Author bikkuri
■例題 (1) y = x 2 上の点 (1, 1) における接線の方程式 y'= 2x だから x = 1 のとき y'= 2 y−1 = 2(x−1) y = 2x−1 ・・・答 y = x 2 上の点 (1, 1) における法線の方程式 法線の傾きは m'=− y−1 =− (x−1) y =− x+ ・・・答 (2) y = x 2 −2x における傾き −4 の接線の方程式 考え方 : f'(a) → a → f(a) の順に求めます。 y'= 2x−2 =−4 を解いて x =−1 このとき, y = 3 y−3 =−4 (x+1) y =−4x −1 ・・・答 (3) 点 (0, −2) から 曲線 y = x 3 へ引いた接線の方程式 【 考え方 】 (A)×× 与えられた点 (0, −2) を通る直線の方程式を立てて,それが曲線に接する条件を求める方法 → 判別式の問題となり2次関数の場合しか解けない (よくない) 実演 :点 (0, −2) を通る直線の方程式は, y+2 = m(x−0) → y = mx−2 この直線が,曲線 y = x 3 と接するための傾き m の条件を求める。 → x 3 = mx−2 が重解をもつ条件?? 2次関数でないので判別式は使えない?? 後の計算が大変 −−−−−−−− (B)◎◎ まず接線の方程式を立て,その中で与えられた点 (0, −2) を通るような接点を求める方法 → (よい) 実演 :接点の座標を (p, p 3) とおくと,接線の方程式は y−p 3 = 3p 2 (x−p) この直線が点 (0, −2) を通るには -2−p 3 = 3p 2 (-p) p 3 = 1 p = 1 (実数) このとき,接線の方程式は y−1 = 3(x−1) y = 3x−2 ・・・ 答
タイプ: 入試の標準 レベル: ★★★ 2つの曲線の共通接線の求め方について解説します. 本質的に同じなので数Ⅱ,数Ⅲともにこのページで扱います. 数Ⅱは基本的に多項式関数を,数Ⅲはすべての曲線の接線を扱います. 数Ⅱの微分を勉強中の人は,2章までです. 接線の公式 が既知である前提です. 共通接線の求め方(数Ⅱ,数Ⅲ共通) 共通接線と言うと, 接点を共有しているかしていないかで2パターンあります. ポイント 共通接線の方程式の求め方(接点共有タイプ) 共有している接点の $x$ 座標を文字(例えば $t$ など)でおき Ⅰ 接線の傾き一致 Ⅱ 接点の $\boldsymbol{y}$ 座標一致 を材料として連立方程式を解きます. 上の式がそのまま2曲線が接する条件になります. 続いて,接点を共有していないタイプです. 共通接線の方程式の求め方(接点を共有しないタイプ) 以下の方法があります. Ⅰ それぞれの接点の $\boldsymbol{x}$ 座標を文字(例えば $\boldsymbol{s}$ と $\boldsymbol{t}$ など)でおき,それぞれ立てた接線が等しい,つまり係数比較で連立方程式を解く. Ⅱ 片方の接点の $x$ 座標を文字(例えば $t$ など)でおき接線を立て,もう片方が主に2次関数ならば,連立をして判別式 $D=0$ を解く. Ⅲ 片方の接点の $x$ 座標を文字(例えば $t$ など)でおき接線を立て,もう片方が円ならば, 点と直線の距離 で解く. Ⅰがほぼどの関数でも使える方法なのでオススメです. あまり見かけませんが,片方が円ならば,Ⅲで点と直線の距離を使うのがメインの方法になります. 例題と練習問題(数Ⅱ) 例題 $y=x^{2}-4$,$y=-(x-3)^{2}$ の共通接線の方程式を求めよ. 講義 例題では接点を共有しないタイプを扱います.それぞれの接点を $s$,$t$ とおいて,接線を出してみます. 1次関数の交点の座標とグラフから直線の方程式を求める方法. 解答 $y=x^{2}-4$ の接点の $x$ 座標を $s$ とおくと接線は $y'=2x$ より $y$ $=2s(x-s)+s^{2}-4$ $=2sx-s^{2}-4$ $\cdots$ ① $y=-(x-3)^{2}$ の接点の $x$ 座標を $t$ でおくと接線は $y'=-2(x-3)$ より $=-2(t-3)(x-t)-(t-3)^{2}$ $=-2(t-3)x+(t+3)(t-3)$ $\cdots$ ② ①,②が等しいので $\begin{cases}2s=-2(t-3) \ \Longleftrightarrow \ s=3-t\\ -s^{2}-4=t^{2}-9\end{cases}$ $s$ 消すと $-(3-t)^{2}-4=t^{2}-9$ $\Longleftrightarrow \ 0=2t^{2}-6t+4$ $\Longleftrightarrow \ 0=t^{2}-3t+2$ $\therefore \ t=1, 2$ $t=1$ のとき $\boldsymbol{y=4x-4}$ $t=2$ のとき $\boldsymbol{y=2x-5}$ ※ 図からだとわかりにくいですが,共通接線は2本あることがわかりました.
織田信長、豊臣秀吉、徳川家康といえば、いわずと知れた戦国武将の三英傑ですが、残されたエピソードを調べてみると、彼らの食事の好みにもその人柄が表れていることが分かります。それぞれ、どんな料理が好みだったのでしょうか。 織田信長は上品な貴族料理が苦手だった 贅沢をつくした天下人、豊臣秀吉が本当に好きだったものは?
二ツ星 2021. 05. 01 2020. 03. 22 いつもありがとうございます!
私の好きな番組の中に「開運!なんでも鑑定団」という番組があるのですが、その中によく登場する鑑定品が織部焼という焼き物です。 織部焼は本物だと〇〇千万とという値段がつくものばかり。 お金でその品物の芸術的価値の全てを表すことができませんが、それでも織部焼が高い評価を受けているのは間違いありません。 織部焼きが作られ始めたのは戦国時代後半から江戸初期。 創始者はその名前のもとにもなっている古田織部助重然、通称古田織部と言われる人物です。 歴史漫画「へうげもの」の主人公としてよく知ってる方も多いのではないでしょうか? 古田織部の肖像画 戦国時代の茶器といえば千利休の広めたわびとさびを重んじる流行からどちらかといえばおとなしめな、少し地味なデザインのものが多い時代でした。 そかし、それに反して織部焼はなかなか時代に先駆けたデザインが多いのが特徴です。 織部のつくる茶器は幾何学模様を取り入れたユニークなデザイン。 当時、南蛮貿易によってもたらされた焼き方の技術を用いた緑色の陶器などを取り入れた非常にファッショナブルなデザインでした。 その一方で織部は千利休の弟子でもあり、利休の7人の高弟、後に利休七哲と呼ばれることになる高弟の一人でもありました。 ではわびさびの専門家利休の弟子である織部が何故織部焼きを生み出したのか?