数学における「測度論(measure theory)・ルベーグ積分(Lebesgue integral)」の"お気持ち"の部分を,「名前は知ってるけど何なのかまでは知らない」という 非数学科 の方に向けて書いてみたいと思います. インターネット上にある測度論の記事は,厳密な理論に踏み込んでいるものが多いように思います.本記事は出来るだけ平易で直感的な解説を目指します。 厳密な定義を一切しませんので気をつけてください 1 . 適宜,注釈に詳しい解説を載せます. 測度論のメリットは主に 積分の概念が広がり,より簡単・統一的に物事を扱えること にあります.まずは高校でも習う「いつもの積分」を考え,それをもとに積分の概念を広げていきましょう. 高校で習う積分は「リーマン積分(Riemann integral)」といいます.簡単に復習していきます. 長方形による面積近似 リーマン積分は,縦に分割した長方形によって面積を近似するのが基本です(区分求積法)。下の図を見るのが一番手っ取り早いでしょう. 区間 $[0, 1]$ 2 を $n$ 等分し, $n$ 個の長方形の面積を求めることで,積分を近似しています。式で書くと,以下のようになります. $$\int_0^1 f(x) \, dx \; \approx \; \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f\left(\frac{k}{n}\right). ルベーグ積分と関数解析 朝倉書店. $$ 上の図では長方形の左端で近似しましたが,もちろん右端でも構いません. $$\int_0^1 f(x) \, dx \; \approx \; \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right). $$ もっと言えば,面積の近似は長方形の左端や右端でなくても構いません. ガタガタに見えますが,長方形の上の辺と $y=f(x)$ のグラフが交わっていればどこでも良いです.この近似を式にすると以下のようになります. $$\int_0^1 f(x) \, dx \; \approx \; \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(a_k\right) \quad \left(\text{但し,}a_k\text{は}\quad\frac{k-1}{n}\le a_k \le \frac{k}{n}\text{を満たす数}\right).
溝畑の「偏微分方程式論」(※3)の示し方と同じく, 超関数の意味での微分で示すこともできる. ) そして本書では有界閉集合上での関数の滑らかさの定義が書かれていない. ひとつの定義として, 各階数の導関数が境界まで連続的に拡張可能であることがある. 誤:線型代数で学んだように, 有限次元線型空間V上の線型作用素Tはその固有値を λ_1, …, λ_ℓ とする時, 固有値 λ_j に属する一般化固有空間 V_j の部分 T_j に V=V_1+…+V_ℓ, T=T_1+…+T_ℓ と直和分解される. この時 T_j−λ_j はべき零作用素で, 特に, Tが計量空間Vの自己共役(エルミート)作用素の時はT_j=λ_j となった. これをTのスペクトル分解と呼ぶ. 正:線型代数で学んだように, 有限次元線型空間V上の線型作用素Tはその固有値を λ_1, …, λ_ℓ とする時, Tを固有値 λ_j に属する固有空間 V_j に制限した T_j により V=V_1+…+V_ℓ, T=T_1+…+T_ℓ と直和分解される. この時 T_j−λ_j はべき零作用素で, 特に, Tが計量空間Vの自己共役(エルミート)作用素の時はT_j=λ_jP_j となった. ただし P_j は Vから V_j への射影子である. ルベーグ積分と関数解析. (「線型代数入門」(※4)を参考にした. ) 最後のユニタリ半群の定義では「U(0)=1」が抜けている. 前の強連続半群(C0-半群)の定義には「T(0)=1」がある. 再び, いいと思う点に話を戻す. 各章の前書きには, その章の内容や学ぶ意義が短くまとめられていて, 要点をつかみやすく自然と先々の見通しがついて, それだけで大まかな内容や話の流れは把握できる. 共役作用素を考察する前置きとして, 超関数の微分とフーリエ変換は共役作用素として定義されているという補足が最後に付け足されてある. 旧版でも, 冒頭で, 有限次元空間の間の線型作用素の共役作用素の表現行列は元の転置であることを(書かれてある本が少ないのを見越してか)説明して(無限次元の場合を含む)本論へつなげていて, 本論では, 共役作用素のグラフは(式や用語を合わせてx-y平面にある関数 T:I→R のグラフに例えて言うと)Tのグラフ G(x, T(x)) のx軸での反転 G(x, (−T)(x)) を平面上の逆向き対角線 {(x, y)∈R^2 | ∃!
一連の作業は, "面積の重みをちゃんと考えることで,「変な関数」を「積分しやすい関数」に変形し,積分した" といえます.必ずしも「変な関数」を「積分しやすい関数」にできる訳ではないですが,それでも,次節で紹介する積分の構成を用いて,積分値を考えます. この拡張により,「積分できない関数は基本的にはなくなった」と考えてもらってもおおよそ構いません(無いとは言っていない 13). 測度論の導入により,積分できる関数が大きく広がった のです. 以下,$|f|$ の積分を考えることができる関数 $f$ を 可測関数 ,特に $\int |f| \, dx < \infty$ となる関数を 可積分関数 と呼ぶことにします. 発展 ルベーグ積分は"横に切る"とよくいわれる ※ この節は飛ばしても問題ありません(重要だけど) ルベーグ積分は,しばしば「横に切る」といわれることがあります.リーマン積分が縦に長方形分割するのに比較してのことでしょう. 確かに,ルベーグ積分は横に切る形で定義されるのですが,これは必ずしもルベーグ積分を上手く表しているとは思いません.例えば,初心者の方が以下のようなイメージを持たれることは,あまり意味がないと思います. ここでは,"横に切る",すなわちルベーグ積分の構成を,これまでの議論を踏まえて簡単に解説しておきます. 測度を用いたルベーグ積分の構成 以下のような関数 $f(x)$ を例に,ルベーグ積分の定義を考えていくことにします. ルベーグ積分入門 | すうがくぶんか. Step1 横に切る 図のように適当に横に切ります($n$ 個に切ったとします). Step2 切った各区間において,関数の逆像を考える 各区間 $[t_i, t_{i+1})$ において,$ \{ \, x \mid t_i \le f(x) < t_{i+1} \, \}$ となる $x$ の集合を考えます(この集合を $A_i$ と書くことにします). Step3 A_i の長さを測る これまで測度は「面積の重みづけ」だといってきましたが,これは簡単にイメージしやすくするための嘘です.ごめんなさい. ルベーグ測度の場合, 長さの重みづけ といった方が正しいです(脚注7, 8辺りも参照).$x$ 軸上の「長さ」に重みをつけます. $\mu$ をルベーグ測度とし,$\mu(A_i)$ で $A_i$ の(重み付き)長さを表すことにしましょう.
他にもいろいろいて総勢14組かな ナイツ見れたし10月の独演会どーしよっかな〜って思ってます。 どしたらいいっすか? エアコンの民さん gp 注射だけに痛いとこついてくるな、全く無敵じゃないですね(笑) エアコン最高ですね、おかげで今年は生涯一番くらい日に焼けてないかも。 温水坂41さん その情報はヤホーで調べたんですか。 長野で献血って発想が常人には理解できません。 お笑いライブのついでなら納得。 なかなかのキャストですね。 ナイツとロッチだと事務所が違うから合同企画か! どぶろっくの下ネタソングは24時間でも聴けるけどナイツの独演会って飽きないかな?分からんけど行けば! 【ロケバスラジオ#15】有吉さんとカラオケとイカ【有吉の壁】 - Videos | WACOCA JAPAN: People, Life, Style. Ducky やだ~ん 私も2回目(モデルナ)終わりましたよ。周囲では報道で知る感覚の数倍以上の人が発熱に苦しんでました。 用心して出勤したら入館体温検査で39度以上の高熱。でも普通、いや普段以上にギャグで仲間をドッカンドッカン笑わせてたのに… 帰れ!って言われて帰りました。 辛かったのは発熱ではなく筋肉痛で寝ることが苦しかったことと 自宅で隔離されて過ごしていたけど、普段と何も変わらない生活だったことに気づいたことです。 8月3日はれ Duckyさん 当方はファイザーでしたが発熱もなく2回とも筋肉痛のような痛みが翌日まで続いたくらいで全く普段通りの生活でした。 娘は我家で唯一モデルナを大規模接種で先週1回目を打ってきたとき微熱が少し出て腕が上げ辛くなったみたい。 ドッカンドッカン笑わすギャグってどんなの? 発熱より気になるわ~ コメントを閉じる▲
夏休みになったので、親戚のお兄ちゃんが絵を描いて遊んでくれました。 とても楽しかったです。 @timeseki タイムマシーン3号 関 太 11日前 今夜はスターだらけの予感。 ニュースターは現れませんが。。 夏の思い出に、是非! #有吉の壁 12日前 なんか俺たちの毎回出てきてないか? 返品されてんのか? @yamamoto_tm3 タイムマシーン3号 山本浩司 21時からFM-FUJI「タイムちゃん」 2週空きましたが、今回から戻ります。 家にこもっている間、髭伸ばしたのにこんなもん、、 Dr. クマひげにはなれませんでした。 生放送、お聞きください。 メールもください。… 「お願いランキング」 梶さんと、ひとりさんの間であくせくしている我々をご覧ください! テレビ朝日!!深夜1時15分から放送します! 今夜です。 僕にも朝ドラが来るかどうか、これにかかっています。 是非。 13日前 僕の同僚がベストネタライブの動画をアップしたらしいので、お時間あれば見てやってください。 程よく長いですので。 作業用、睡眠用、勉強用、移動用、食事用、平日用、休日用、お盆用、渋滞用、洗顔用、偵察用、などなどお楽しみください。 YouTubeにベストネタライブin角座をアップしました。 90分ほどありますので、夏休みにのんびりご覧下さい。 (前編) (後編) 14日前 有吉弘行のSUNDAY NIGHT DREAMER。 7月アシスタント、ありがとうございました。 まだ納得していない部分もありますが、時間をかけて飲み込みたいと思います。 #snd ピクトグラム。 とりあえず4種目。 15日前