子どもの勉強から大人の学び直しまで ハイクオリティーな授業が見放題 この動画の要点まとめ ポイント 相加・相乗平均の大小関係の活用 これでわかる! ポイントの解説授業 相加平均 相乗平均 相加平均≧相乗平均 POINT 浅見 尚 先生 センター試験数学から難関大理系数学まで幅広い著書もあり、現在は私立高等学校でも 受験数学を指導しており、大学受験数学のスペシャリストです。 相加・相乗平均の大小関係の活用 友達にシェアしよう!
最新情報を受け取ろう! 受験のミカタから最新の受験情報を配信中! この記事の執筆者 ニックネーム:やっすん 早稲田大学商学部4年 得意科目:数学
!」 と覚えておきましょう。 さて、 が成立するのはどんなときでしょうか。 より、 √a-√b=0 ⇔√a=√b ⇔a=b(∵a≧0, b≧0) のときに、 となることがわかります。 この等号成立条件は、実際に問題で相加相乗平均を使うときに必須ですので、おまけだと思わずしっかり理解してください! 実は図形を使っても相加相乗平均は証明できる!? さて、数式を使って相加相乗平均の不等式を証明してきましたが、実は図形を使うことで証明することもできます。 上の図をみてください。 円の中心をO、直径と円周が交わる点をA、Bとおき、 直線ABと垂直に交わり、点Oを通る直線と、円周の交点をCとおきます。 また、円周上の好きなところにPをおき、Pから直線ABに引いた垂線の足をHとおきます。 そして、 AH=a BH=b とおきます。 ただし、a≧0かつb≧0です。辺の長さが負の数になることはありえませんから、当たり前ですね。 このとき、Pを円周上のどこにおこうと、 OC≧PH になることは明らかです。 [直径]=[AH+BH]=a+b より、 OC=[半径]=(a+b)/2 ですね。 ということは、PH=√ab が示せれば、相加相乗平均の不等式が証明できると思いませんか? 相加平均 相乗平均 調和平均 加重平均 2乗平均. やってみましょう。 PH=xとおきます。 三平方の定理より、 BP²=x²+b² AP²=a²+x² ですね。 また、線分ABは円の直径であり、Pは円周上の点であるので、 ∠APBは直角です。 そこで三角形APBに三平方の定理を用いると、 AB²=AP²+BP² ⇔(a+b)²=2x²+b²+a² ⇔2x²=a²+2ab+b²-(a²+b²) ⇔2x²=2ab ⇔x²=ab ⇔x=√ab(a≧0, b≧0) よって、PH=√abを示すことができ、 ゆえに、 を示すことができました! 等号成立条件は、OC=PH、つまり Hが線分ABの中点Oと重なるときですから、 a=b です!
マクローリンの不等式 相加平均と相乗平均の1つの拡張 – Y-SAPIX|東大・京大・医学部・難関大学現役突破塾 「マクローリンの不等式 相加平均と相乗平均の1つの拡張」に関する解説 相加平均と相乗平均の関係の不等式は一般にn変数で成立することはご存じの方が多いでしょう。また、そのことの証明は様々な誘導つきでこれまでに何度も大学入試で出題されています。実はn変数の相加平均と相乗平均の不等式は、さらにマクローリンの不等式という不等式に拡張できます。今回はそのマクローリンの不等式について解説します。 キーワード:対称式 相加平均と相乗平均の大小関係 マクローリンの不等式
問題での相加相乗平均の使い方 公式が証明できたところで、公式を使って問題を解いてみましょう。 等号が成立する条件をきちんと示そう まずはこの問題を解いてみてください。 【問題1】x>0のとき、 の最小値を求めなさい。 【解説2】 問題を眺めていて、相加相乗平均が使えそうだな…と思う箇所はありませんか? そう、 ここです! 相加相乗平均の不等式により、 と答えようとしたあなた、それを答案に書くと、大幅に減点されるでしょう。 x+1/x≧2 という式は、単に「2以上になる」と言っているだけで、「2が最小値である」とは一言も言っていません。つまり、最小値が3である可能性もあるわけです。 ですから、x+1/x=2、つまり等号成立条件を満たすxが存在することを証明しないと、(x+1/x)の最小値が2だから(x+1/x)+2の最小値が4〜なんてことは言えないのです。 における等号成立条件は、a=bでした。 つまり今回の等号成立条件は、 x=1/x ⇔x²=1かつx>0 ⇔x=1 となり、x+1/x=2を満たすxが存在することを示すことができました。 これを書いて初めて、最小値の話を持ち出すことができます。 この等号成立条件は書き忘れて大減点をくらいやすいところですので、くれぐれも注意してください。 【問題2】x>0のとき、 の最小値を求めなさい。 【解説2】x>0より、相加相乗平均の不等式を用いて、 等号成立条件は、 2/x=8x ⇔x²=¼ ⇔x=½ (∵x>0) よって、求める最小値は8である。 打ち消せるかたまりを探す! 【問題3】x>0, y>0のとき、 の最小値を求めなさい。 【解説3】 どこに相加相乗平均の不等式を使うかわかりますか? このままでは何をしても文字は打ち消されません。展開してみましょう。 x>0, y>0より、相加相乗平均の不等式を用いると、 等号成立条件は、 6xy=1/xy ⇔(xy)²=⅙ ⇔xy=1/√6(∵x>0かつy>0) よって、6xy+1/xyの最小値は2√6であるので、 (2x+1/y)(1/x+3y)=5+6xy+1/xyの最小値は、 2√6+5 打ち消せるかたまりがなかったら作る! 不等式の証明で相加平均と相乗平均の大小関係を使うコツ|数学|苦手解決Q&A|進研ゼミ高校講座. 【問題4】x>-3のとき、 の最小値を求めよ。 【解説4】 これは一見、打ち消せる文字がありません。 しかし、もしもないのであれば、作ってしまえばいいのです!
←確認必須 このとき最小値 $\displaystyle \boldsymbol{25}$ ※以下は誤答です. $x>0$,$\dfrac{4}{x}>0$,$\dfrac{9}{x}>0$,(相加平均) $\geqq$ (相乗平均)より $\displaystyle \geqq2\sqrt{x \cdot \dfrac{4}{x}}\cdot2\sqrt{x \cdot \dfrac{9}{x}}=24$ このとき最小値 $\displaystyle \boldsymbol{24}$ これは誤りです!左の等号は $x=2$ のとき,右の等号は $x=3$ のときなので,最小値 $24$ をとる $x$ が存在しません. だから等号成立確認が重要なのです. (相加平均) ≧ (相乗平均) (基本編) | おいしい数学. (5) $\dfrac{x^{2}+6}{\sqrt{3x^{2}+8}}$ $=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{3x^{2}+18}{\sqrt{3x^{2}+8}}$ $=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{3x^{2}+8+10}{\sqrt{3x^{2}+8}}$ $=\dfrac{1}{3}\left(\sqrt{3x^{2}+8}+\dfrac{10}{\sqrt{3x^{2}+8}}\right)$ $\sqrt{3x^{2}+8}>0$,$\dfrac{10}{\sqrt{3x^{2}+8}}>0$,(相加平均) $\geqq$ (相乗平均)より $\dfrac{x^{2}+6}{\sqrt{3x^{2}+8}}$ $\displaystyle \geqq\dfrac{1}{3}\cdot2\sqrt{\sqrt{3x^{2}+8} \cdot \dfrac{10}{\sqrt{3x^{2}+8}}}=\dfrac{2}{3}\sqrt{10}$ 等号成立は $\displaystyle \sqrt{3x^{2}+8}=\dfrac{10}{\sqrt{3x^{2}+8}} \Longleftrightarrow x=\dfrac{\sqrt{6}}{3}$ のとき. ←確認必須 このとき最小値 $\displaystyle \boldsymbol{\dfrac{2}{3}\sqrt{10}}$ 練習問題 練習 $x>0$,$y>0$ とする. (1) $x+\dfrac{2}{x}\geqq2\sqrt{2}$ を示せ.
この記事では、映画「スター・ウォーズ」シリーズに登場する乗り物/ビークルをシリーズごとにわけて紹介しました。 「ミレニアム・ファルコン」や「Xウィング」のように人気のある宇宙船は、ビデオゲームに登場したり、模型になったりして、同シリーズの裏主役とも言えますね。 映画ばかりでなく、広範囲にわたるフランチャイズで宇宙船を作ったり操縦したりする気分に浸れるのも、「スター・ウォーズ」シリーズの大きな魅力の1つではないでしょうか。
プレデター・ファイター Image by Art from the Star Wars Roleplaying Game Legacy Era Campaign guide by Jeffrey Carlisle こちらもレガシー時代の拡張世界からのもの。TIEファイターのコックピットを引っこ抜いて、両脇に葉っぱを生やしたかのような形状をしています。銀河連合自由同盟のパイロットたちからは 「目玉」 と呼ばれていたこの機体ですが、多くの帝国パイロットからは嫌われていたようです。 可動式の 翼はもろかったため破損が多く 、コックピットは目視が難しい形となっていました。一直線にこちらへ向かって飛んできた場合は通常のTIEファイターよりもシルエットが大きいですし、戦闘機のデザインとしてダメなんじゃないかな、これ。 7. ジオノージアン・ソーラー・セーラー エピソード2で登場した、ドゥークー伯爵が乗った優雅な船ですが、 現実世界でも宇宙船の推進に 考えられている 太陽帆 を採用しています。 どう見ても戦闘には向かないこの船は、「 貧乏人どもよ、私の豪華なヨットを渇望のまなざしで見るがよい 」感にあふれていて、舌を打つような音でコミュニケーションをとるジオノージアンが作っているせいか、この船の正式名称もヘンテコな「プンウォーカ116級恒星間スループ」(Punworcca 116-class interstellar sloop)という名前です。 6. ワールド・デヴァステイター Image by World Devastators on Mon Calamari from Dark Empire #2. 「スター・ウォーズ」史上最も珍妙な宇宙船11選 | ギズモード・ジャパン. Art by Cam Kennedy. もともとは巨大な「造船工場」船、リヴァイアサンとして知られていた船だったものを、銀河帝国亡き後の自暴自棄気味の宇宙船デザイナーがそれを破壊目的にも使えるよう改造したもの。 宇宙船を作るための道具やら、 超巨大なトラクタービーム を腹部分に備えており、ゆっくりと惑星に降りて行って、トラクタービームで人でも建物でも天然資源でも なんでも吸い込んで 、それらを資源に変えて船を作ります。 なんだか町がそのまま飛んでいるかのような形は、映画「エイリアン」の ノストロモ号のけん引する鉱物精製施設部分 みたいな雰囲気。 なお、インペリアル級スター・デストロイヤーにも「デヴァステイター」という名前のものがありますが、それは「新たなる希望」の冒頭でレイア姫の乗るコレリアン・コルベット「タンティヴIV」を捉えていた機体で、ワールド・デヴァステイターとは全くの別物です。 5.
K-ウイング Image by The K-Wing as it appears in Fantasy Flight Games' X-Wing Miniatures Tabletop Strategy Game. また出たよ、アルファベット戦闘機……。この重装備の戦闘爆撃機は18ものさまざまな攻撃用装備が搭載できる、詰め込みすぎな宇宙船です。 たぶん 一番の問題は「K」に見えないこと でしょう。それとも反乱軍は、帝国軍パイロットが「 お、今度の反乱軍機は……これなんてアルファベットなんだろう? 」と考えている間に撃ち落とすといった作戦を思いついたのでしょうか? 4. TIEディフェンダー 1994年の名作フライトゲーム「Star Wars: TIE Fighter」に登場し、のちに レゴ化(8087)もされている TIEディフェンダー。紙の上ではTIEファイターの正当な進化版となっており、TIEファイターには搭載されていないハイパードライブやシールドが標準装備されているほか、武装も強化されています。 でも見た目は誰かが TIEインターセプターのプラモデルを間違えて組み立てて、1つ余分に羽を引っつけたみたい…… 3.