コーシー=シュワルツの不等式 定理《コーシー=シュワルツの不等式》 正の整数 $n, $ 実数 $a_1, $ $\cdots, $ $a_n, $ $b_1, $ $\cdots, $ $b_n$ に対して, \[ (a_1b_1\! +\! \cdots\! +\! a_nb_n)^2 \leqq (a_1{}^2\! +\! \cdots\! +\! a_n{}^2)(b_1{}^2\! +\! 画期的！コーシー・シュワルツの不等式の証明［今週の定理・公式No.18］ - YouTube. \cdots\! +\! b_n{}^2)\] が成り立つ. 等号成立は $a_1:\cdots:a_n = b_1:\cdots:b_n$ である場合に限る. 証明 数学 I: $2$ 次関数 問題《$n$ 変数のコーシー=シュワルツの不等式》 $n$ を $2$ 以上の整数, $a_1, $ $\cdots, $ $a_n, $ $b_1, $ $\cdots, $ $b_n$ を実数とする. すべての実数 $x$ に対して $x$ の $2$ 次不等式 \[ (a_1x-b_1)^2+\cdots +(a_nx-b_n)^2 \geqq 0\] が成り立つことから, 不等式 が成り立つことを示せ. また, 等号成立条件を求めよ. 解答例 数学 III: 積分法 問題《定積分に関するシュワルツの不等式》 $a \leqq x \leqq b$ で定義された連続関数 $f(x), $ $g(x)$ について, $\{tf(x)+g(x)\} ^2$ ($t$: 任意の実数)の定積分を考えることにより, \[\left\{\int_a^bf(x)g(x)dx\right\} ^2 \leqq \int_a^bf(x)^2dx\int_a^bg(x)^2dx\] 解答例
1.2乗の和\(x^2+y^2\)と一次式\( ax+by\) が与えられたとき 2.一次式\( ax+by\) と、\( \displaystyle{\frac{c}{x}+\frac{d}{y}}\) が与えられたとき 3.\( \sqrt{ax+by}\) と、\( \sqrt{cx}+\sqrt{dy} \)の形が与えられたとき こんな複雑なポイントは覚えられない!という人は,次のことだけ覚えておきましょう。 最大最小問題が出たら、コーシーシュワルツの不等式が使えないか試してみる! コーシ―シュワルツの不等式の活用は慣れないとやや使いにくいですが、うまく適用できれば驚くほど簡単に問題を解くことができます。 たくさん練習して、実際に使えるように頑張ってみましょう! 次の本には、コーシーシュワルツの不等式の使い方が詳しく説明されています。ややマニアックですがおすすめです。 同じシリーズに三角関数も出版されています。マニアにはたまらない本です。 コーシーシュワルツの覚え方・証明の仕方については、以下の記事も参考にしてみてください。 最後までお読みいただきありがとうございました。
コーシーシュワルツの不等式使い方【頭の中】 まず、問題で与えられた不等式の左辺と右辺を反対にしてみます。 \[ k\sqrt{2x+y}≧\sqrt{x}+\sqrt{y}\] この不等式の両辺は正なので2乗すると \[ k^2(2x+y)≧(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2\] この式をコーシ―シュワルツの不等式と見比べます。 ここでちょっと試行錯誤をしてみましょう。 例えば、右辺のカッコ内の式を\( 1\cdot \sqrt{x}+1\cdot \sqrt{y}\)とみて、コーシ―シュワルツの不等式を適用すると (1^2+1^2) \{ (\sqrt{x})^2+(\sqrt{y})^2 \} \\ ≧( 1\cdot \sqrt{x}+1\cdot \sqrt{y})^2 \[ 2\underline{(x+y)}≧(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2 \] 上手くいきません。実際にはアンダーラインの部分を\( 2x+y \) にしたいので、少し強引ですが次のように調整します。 \left\{ \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{\! \! 2}+1^2 \right\} \left\{ (\sqrt{2x})^2+(\sqrt{y})^2\right\} \\ ≧\left( \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \! \sqrt{2x}+1\cdot \! \sqrt{y}\right)^2 これより \frac{3}{2} (2x+y)≧(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2 両辺を2分の1乗して \sqrt{\frac{3}{2}} \sqrt{2x+y}≧\sqrt{x}+\sqrt{y} \frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{2x+y}}≦ \frac{\sqrt{6}}{2} ここで、問題文で与えられた式を変形してみると \frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{2x+y}}≦ k ですので、最小値の候補は\( \displaystyle{\frac{\sqrt{6}}{2}} \) となります。 次に等号について調べます。 \frac{\sqrt{2x}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}=\frac{\sqrt{y}}{1} より\( y=4x \) つまり\( x:y=1:4\)のとき等号が成り立ちます。 これより\( k\) の最小値は\( \displaystyle{\frac{\sqrt{6}}{2}} \)で確定です。 コーシーシュワルツの不等式の使い方 まとめ 今回は\( n=2 \) の場合について、コーシ―シュワルツの不等式の使い方をご紹介しました。 コーシ―シュワルツの不等式が使えるのは主に次の場合です。 こんな場合に使える!
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社会人でも地元のクラブチームの監督している人って結構いると思います。 ちなみに自分が小学生の時のクラブチームの監督は電力会社と自衛隊のひとでした。 回答日 2009/11/01 共感した 0
Jリーグクラブのお仕事 2020. 05. 19 2019. 07.