= 0) continue;
T tmp = 0;
while (n% i == 0) {
tmp++;
n /= i;}
ret. push_back(make_pair(i, tmp));}
if (n! = 1) ret. 素因数分解のアルゴリズム | アルゴリズムロジック. push_back(make_pair(n, 1));
return ret;}
SPF を利用するアルゴリズム
構造体などにまとめると以下のようになります。
/* PrimeFact
init(N): 初期化。O(N log log N)
get(n): クエリ。素因数分解を求める。O(log n)
struct PrimeFact {
vector spf;
PrimeFact(T N) { init(N);}
void init(T N) { // 前処理。spf を求める
(N + 1, 0);
for (T i = 0; i <= N; i++) spf[i] = i;
for (T i = 2; i * i <= N; i++) {
if (spf[i] == i) {
for (T j = i * i; j <= N; j += i) {
if (spf[j] == j) {
spf[j] = i;}}}}}
map get(T n) { // nの素因数分解を求める
map m;
while (n! = 1) {
m[spf[n]]++;
n /= spf[n];}
return m;}};
Smallest Prime Factor(SPF) の気持ち
2つ目のアルゴリズムでは、Smallest Prime Factor(SPF) と呼ばれるものを利用します。これは、各数に対する最小の素因数(SPF) のことです。
SPF の前計算により \(O(1)\) で \(n\) の素因数 p を一つ取得することができます。
これを利用すると、例えば 48 の素因数分解は以下のように求めることができます。
48 の素因数の一つは 2 48/2 = 24 の素因数の一つは 2 24/2 = 12 の素因数の一つは 2 12/2 = 6 の素因数の一つは 2 6/2 = 3 の素因数の一つは 3 以上より、\(48 = 2^4 \times 3\)
練習問題
AOJ NTL_1_A Prime Factorize :1整数の素因数分解 codeforces #511(Div.
素因数分解 最大公約数なぜ
⇒素因数 5 の場合を考えてみると,「最小公倍数」を作るためには,「すべての素因数」を並べなければならないことがわかります. 「最小公倍数」⇒「すべての素因数に最大の指数」を付けます
【例題1】
a=75 と b=315 の最大公約数 G ,最小公倍数 L を求めてください. (解答)
はじめに, a, b を素因数分解します. a=3×5 2
b=3 2 ×5×7
最大公約数を求めるためには,「共通な素因数」 3, 5 に「最小の指数」 1, 1 を付けます. G=3 1 ×5 1 =15
最小公倍数を求めるためには,「すべての素因数」 3, 5, 7 に「最大の指数」 2, 2, 1 を付けます. L=3 2 ×5 2 ×7=1575
【例題2】
a=72 と b=294 の最大公約数 G ,最小公倍数 L を求めてください. a=2 3 ×3 2
b=2 1 ×3 1 ×7 2
最大公約数を求めるためには,「共通な素因数」 2, 3 に「最小の指数」 1, 1 を付けます. G=2 1 ×3 1 =6
最小公倍数を求めるためには,「すべての素因数」 2, 3, 7 に「最大の指数」 3, 2, 2 を付けます. L=2 3 ×3 2 ×7 2 =3528
【問題5】
2数 20, 98 の最大公約数 G と最小公倍数 L を求めてください. 1 G=2, L=490
2 G=2, L=980
3 G=4, L=49
4 G=4, L=70
5 G=4, L=490
HELP
はじめに,素因数分解します. 20=2 2 ×5
98=2 1 × 7 2
最大公約数を求めるためには,「共通な素因数」 2 に「最小の指数」 1 を付けます. G=2 1 =2
最小公倍数を求めるためには,「すべての素因数」 2, 5, 7 に「最大の指数」 2, 1, 2 を付けます. 素因数分解 最大公約数なぜ. L=2 2 ×5 1 ×7 2 =980 → 2
【問題6】
2数 a=2 2 ×3 3 ×5 2, b=2 2 ×3 2 ×7 の最大公約数 G と最小公倍数 L を求めてください. (指数表示のままで答えてください)
1 G=2 2 ×3 2, L=2 4 ×3 5
2 G=2 2 ×3 3, L=2 4 ×3 5
3 G=2 2 ×3 2, L=2 2 ×3 3 ×5 2 ×7
4 G=2 2 ×3 2 ×5 2 ×7, L=2 4 ×3 5 ×5 2 ×7
最大公約数を求めるためには,「共通な素因数」 2, 3 に「最小の指数」 2, 2 を付けます.
すだれ算(2)
さらに素数(3)で割って終了
出来上がった図の左に「 2 」「 3 」が縦に並んでいます。この2数は12と18が共通して持っていた約数で、その積 2 × 3 =6が最大公約数です。
すだれ算(3)
最大公約数 2 × 3 = 6
最小公倍数 2 × 3 × 2 × 3 = 36
また、また、下に並んだ「 2 」「 3 」も合わせた積 2 × 3 × 2 × 3 =36が最小公倍数です
最大公約数: 6, 最小公倍数: 36
まとめると、こうなりますね
左の積が最大公約数で、左と下の積が最小公倍数です。
以上が、すだれ算を使った最大公約数・最小公倍数の求め方になります。
分かりましたよね? では、さっそく練習してみましょう!
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