固有値問題を解く要領を掴むため、簡単な行列の固有値と固有ベクトルを実際に求めてみましょう。 ここでは、前回の記事でも登場した2次元の正方行列\(A\)を使用します。 $$A=\left( \begin{array}{cc} 5 & 3 \\ 4 & 9 \end{array} \right)$$ Step1. 固有方程式を解く まずは、固有方程式の左辺( 固有多項式 と呼びます)を整理しましょう。 \begin{eqnarray} |A-\lambda E| &=& \left|\left( \right)-\lambda \left( 1 & 0 \\ 0 & 1 \right)\right| \\ &=&\left| 5-\lambda & 3 \\ 4 & 9-\lambda \right| \\ &=&(5-\lambda)(9-\lambda)-3*4 \\ &=&(\lambda -3)(\lambda -11) \end{eqnarray} よって、固有方程式は次のような式となります。 $$(\lambda -3)(\lambda -11)=0$$ この解は\(\lambda=3, 11\)です。よって、 \(A\)の固有値は「3」と「11」です 。 Step2.
この記事では、「微分方程式」についてわかりやすく解説していきます。 一般解・特殊解の意味や解き方のパターン(変数分離など)を説明していくので、ぜひマスターしてくださいね。 微分方程式とは?
この記事 では行列をつかって単回帰分析を実施した。この手法でほぼそのまま重回帰分析も出来るようなので、ついでに計算してみよう。 データの準備 データは下記のものを使用する。 x(説明変数) 1 2 3 4 5 y(説明変数) 6 9 z(被説明変数) 7 過去に nearRegressionで回帰した結果 によると下記式が得られるはずだ。 データを行列にしてみる 説明変数が増えた分、説明変数の列と回帰係数の行が1つずつ増えているが、それほど難しくない。 残差平方和が最小になる解を求める 単回帰の際に正規方程式 を解くことで残差平方和が最小になる回帰係数を求めたが、そのまま重回帰分析でも使うことが出来る。 このようにして 、 、 が得られた。 python のコードも単回帰とほとんど変わらないので行列の汎用性が高くてびっくりした。 参考: python コード import numpy as np x_data = ([[ 1, 2, 3, 4, 5]]). T y_data = ([[ 2, 6, 6, 9, 6]]). T const = ([[ 1, 1, 1, 1, 1]]). T z_data = ([[ 1, 3, 4, 7, 9]]). T x_mat = ([x_data, y_data, const]) print ((x_mat. T @ x_mat). I @ (x_mat. T @ z_data)) [[ 2. 01732283] [- 0. 01574803] [- 1. 16062992]] 参考サイト 行列を使った回帰分析:統計学入門−第7章 Python, NumPyで行列の演算(逆行列、行列式、固有値など) | 正規方程式の導出と計算例 | 高校数学の美しい物語 ベクトルや行列による微分の公式 - yuki-koyama's blog
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