この記事では、5つの正多面体(オイラー多面体)の点の数、面の数(と辺の数)を忘れない方法を説明する。これらの数を、 自力で詰め込んで覚える必要がないという ことがわかるであろう。 1. オイラー多面体の双対 すべて同じ面で構成された多面体は、「オイラー多面体」とよばれる。身近なもので言え、正四面体や正六面体(立方体)である。全部で以下の5種類存在している。 正四面体 正六面体(立方体) 正八面体 正十二面体 正二十面体 これらは互いに、点と面の関係を入れ替えた「双対」の関係にある(dual corresponds)。また、このような双対の関係にあるため、「双対多面体」とも呼ばれる。 とにかく、点と面の数を覚えたい方はページの2へスキップしてください。 1. なぜ「錐体」は3で割る？ 簡単な説明を「正多面体」から伝授します（横山 明日希） | ブルーバックス | 講談社（1/4）. 1 正六面体と正八面体 まず双対の関係にあるものとしてわかりやすい、正六面体と正八面体についてみる。正六面体の面は6つあるので、それに対応して正八面体の点の数は6つである。また、正八面体の面の数は8つなので正六面体の点の数は6つである。 図を見てほしい。点が面に対応しているということは、黄色で表された正八面体の6つの点を押しつぶしていくと赤色の立方体の面になることが確認できる。逆に赤色で表された正六面体の8つの点を押すと正八面体になる。非常に面白い関係である。 1. 2 正十二面体と正二十面体 同じように面の数が12と20のものを見てみよう。互いに面の数が点の数に対応し合うのであった。面の数が多いので想像はしにくいが、実際に点と面の数が対応することを確認できるであろう。 2つの上図の向きはそろっているので、なんとなく点が面に対応していることが想像できよう。このように、 正六面体 正八面体 の関係と同様に、 正十二面体 正二十面体 の対応が見て取れる。 では、残りの1つの正四面体の双対関係はどうなっているのであろうか。 1. 3 正四面体 正四面体の双対多面体は自分自身である。辺の数も面の数も4であり、自己双対と呼ばれる関係にある。図を見てみよう。 たしかに、点を押していくと面になる。結局、正四面体 正四面体 である。 2. 点と面の関係 ここまでの関係から以下のような点と面の数に関する表が作成できる。 点と面の対応 点と面の数は対応関係で覚える。 正 四 面体 正 四 面体 正 六 面体 正 八 面体 正 十二 面体 正 二十 面体 面の数 点の数 正四面体 4 4 正六面体 6 8 正八面体 8 6 正十二面体 12 20 正二十面体 20 12 この双対関係に注目してみると、オイラー多面体の点と面の数は忘れない。辺の数は、「オイラー多面体の定理」を使うと求められる。3次元の多面体に対しては以下の関係が成り立つ。 オイラー多面体の定理 (辺の数)=(面の数)+(点の数)ー2 この式を曖昧に覚えてしまうことがあるだろうが、正四面体を描いてみて辺の数、面の数、点の数を求めてみて代入してみれば良い。たしかに、6=4+4-2になっていることが確認できる。 2.
「5種類しかない理由」もあわせて紹介 目からウロコが落ちると文系にも大好評の 〈雑学数学〉 、今回のテーマは「立体図形」! 「正多面体」に「円錐」、聞いたことはあるけど何が面白いかちっともわからない…… そんな方でも大丈夫! 深くて面白い立体図形の世界をおなじみの「数学のお兄さん」が優しく紹介してくれます!
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これは、プラトンの立体が5個であることと関係があるに違いない」と彼は考えました。当時の天文学者は古代ギリシアのユークリッドの幾何学を学んでいました。そこには、プラトンの立体に内接する球と外接する球の半径に関する理論が載っていました。ケプラーは一番内側に水星軌道が載っている球があり、それに正八面体が外接し、それを金星軌道の球が外接するといった順で、地球、火星、木星、土星の球をそれぞれ二十面体、十二面体、四面体、六面体が支えていると考えたのです。 この軌道の計算は、当時の観測結果とほぼあっていました。ケプラーの業績の一つは、「惑星の軌道は円ではなく実際は楕円である」ということを発見したことで、これはいま述べた「宇宙=プラトンの立体説」に矛盾してしまします。しかし彼はいっこうにかまわず、終生この「宇宙=プラトンの立体説」を誇りにしていました。プラトンの立体は古代ギリシアの時代から近世にいたるまで、様々な科学者を魅了し続けてきたのです。 ▼ 図5、図7の展開図は以下からダウンロードできます ▼Twitter、Webマガジンサイトも更新中。よろしくお願いいたします。 Twitter: @mathematicasite Web:
(イチヨンロクイチゼロ プラス) 記事一覧 プロフィール Author:fennel14610 こんにちは♪ 最新記事 2017年 お正月 (01/03) 道端に立っていることでおなじみの「お地蔵さん」。仏の位でいう正しい名前は「地蔵何」でしょう? (14610+943) (05/09) 「旧約聖書」にある「創世記」で、神が天地創造を終えて休んだとされるのは何日目のことでしょう? (14610+943) (05/09) 一定のリズムや形式を伴う俳句や和歌などを「韻文」というのに対して、リズムや字数などに制限のない文章を何というでしょう? (14610+942) (05/08) シャルル・ペローのものが有名な童話「眠れる森の美女」で、美女が眠っていたのは何年間だったでしょう? (14610+941) (05/07) 最新コメント fennel14610:現在採用されているグレゴリオ暦では、うるう年は400年の間に何回あるものとされているでしょう? (14610+615) (07/15) 最新トラックバック 月別アーカイブ 2017/01 (1) 2016/05 (17) 2016/04 (24) 2016/03 (39) 2016/02 (17) 2016/01 (8) 2015/12 (48) 2015/11 (29) 2015/10 (10) 2015/09 (46) 2015/08 (34) 2015/07 (48) 2015/06 (39) 2015/05 (46) 2015/04 (44) 2015/03 (46) 2015/02 (40) 2015/01 (21) 2014/10 (1) 2014/07 (1) 2014/04 (1) 2014/03 (2) 2014/02 (8) 2014/01 (6) 2013/12 (7) 2013/11 (17) 2013/10 (16) カテゴリ ひとりごと (48) 食べたモノ・飲んだモノ (11) 今日のクイズタウン(CLUB Panasonic) (549) MUSE&Co. (ミューズコー) (7) モブログ(iPod touch 5) (0) このブログについて (1) 未分類 (0) カウンター ブロカン このページのトップへ 検索フォーム RSSリンクの表示 最近記事のRSS 最新コメントのRSS 最新トラックバックのRSS リンク 管理画面 このブログをリンクに追加する ブロとも申請フォーム この人とブロともになる QRコード Powered by FC2ブログ Copyright © 14610+ All Rights Reserved.
まなぶ君: まず立方体かな。それから、正四面体。正三角形4枚でつくられるものですよね。 教誓先生: そうです。いいですね。でも、それではサッカーボールになりません。立方体を蹴けっていたらサッカーになりませんよね。 まなぶ君: ん〜そうだ! 正八面体があった! 教誓先生: はい、また1つ思いつきましたね。でも、正八面体を蹴(け)るサッカーをイメージできますか? まなぶ君: う〜ん…。じゃあ正百面体! それならサッカーもできそうです! 教誓先生: まなぶ君…。果たして、そんな立体はつくれますかね…。では、勉強を始めていきましょう。 正多面体はたったの5種類しかない!? 正多面体は、次の2つの条件を満たす、へこみのない立体のことを言います。 条件①すべての面が等しい正多角形でできている 条件②すべての頂点に集まる面の数が等しい 上の2つの条件を満たす図形は、全部で5種類あります。 これまでに登場した正四面体、立方体、正八面体の3種類に加え、正十二面体、正二十面体の2種類です。 正四面体、正八面体、正二十面体は各面が正三角形で、立方体は正方形で、正十二面体は正五角形でできていますね。 正多面体が5種類しかないことは、意外かもしれませんね。でも、面の形で分類すると簡単に説明できるのです。 正三角形の枚数を6枚にしてみると… まずは、正三角形でできた正多面体を考えます。 正三角形を集めて立体の頂点をつくることを想像してください。正三角形を3枚集めると、とがった頂点をつくれますよね。そして、正三角形の枚数を4枚、5枚と増やしていくと、少しずつなだらかな頂点へと変化していきます。 では、正三角形を6枚にしたらどうでしょう?
2017/12/16 2018/5/18 ライティング入門, 英検2級, 英検準1級, 英検準2級 こんにちは。 英検1次試験が迫ってきました。ライティング対策は始めていますか? 英検2級ライティングの理由２つがなかなか思いつかないのですがどの問- TOEFL・TOEIC・英語検定 | 教えて!goo. まだ申し込んでいない方はまず申し込みを。うちもやっと申し込みました(^^♪ 申し込み→英検ホームページ 申し込むと、スタディギアという学習アプリを無料で利用できるようになります。以前利用したところ、なかなかよかったのでおすすめです。 あと、いま英作文を募集中です。無料アドバイスします。こちらから。 2017年度第3回検定の締め切りが迫ってきました。 インターネット... また、ライティングの書き方がよくわからない方は、本ブログの「はじめてシリーズ」がおススメです。 はじめての英検3級ライティング はじめての英検準2級ライティング はじめての英検2級ライティング はじめての英検準1級ライティング さて、3級~1級までのライティング問題は、いずれもトピックについて、自分の意見を理由付きで英作文にまとめる形式になっています。 でも、トピックを見ても何も理由が思いつかないことはありませんか? こういう人は多いです。理由を考えるのはけっこう難しいですよね。興味のないトピックだと特に。(どーでもいいやってw) でも、安心してください。一見ぜんぜん違うように見えるトピックでも、同じような理由で書くことができるのです。 例えば、ここに2つのトピックがあります。 ・現代人は電気を使いすぎか? ・農薬を使わない農家は増えると思うか? 全く違うトピックに見えますが、実は同じような理由を使って書くことができます。例えば、「 現代人は便利さを求めすぎ」や「 (節電や無農薬によって)環境に優しくなるべき 」など。 つまり、自分の意見をいくつか英語であらかじめ作って覚えておいて、少しアレンジすればけっこういろんなトピックに対応できるということなんです。(ネタ帳みたいなもんですね) そこで。今回はいろいろなトピックで使いまわせる理由ベスト5をご紹介したいと思います。 健康系トピックとは、 ・ランニングやヨガなど、適度な運動について ・食生活について(伝統食は良いか?自炊すべきか?など) ・ストレス、長時間労働、睡眠不足、ダイエットについて ・スマホやネットと健康の関係について などなどです。では、これらのトピックで使える理由はこちら↓ 健康に良い/悪い XXX is good/bad for one's health.
環境に良いor悪い? 技術発展に貢献するorしない? 安楽死してもらう方がおトク? 例えば下のようなテーマがあったとしましょう。 Do the benefits of euthanasia outweigh the disadvantages (安楽死のメリットはデメリットを上回るか。) 普段なら考えもしないようなテーマですが、ムリヤリ金銭メリットに持っていけると書きやすくなります。 Euthanasia reduces a financial burden on patients, their family members. (安楽死は患者とその家族の経済的負担を軽減する。) Medical treatment for patients in a vegetative state requires a huge medical cost. (植物状態の患者には膨大な医療費が必要とされる。) However, euthanasia by disconnecting the life support system greatly decrease financial burden on their family members.
For example, I work for one of the biggest consulting firms in the United States and partners, those in the highest position at the firm, earn more than one million dollars annually. This seemingly too much salary is justified by their amazing communication skills, which allow them to establish rapport with clients and bring more jobs to the firm. Considering that childhood is critical to foster such skills, there is no doubt teachers' capability to relate well with students is more important than anything. 【日本語訳】 「第一に、教師が生徒と良好な関係を築く能力は学生のコミュニケーション能力を高め、それは彼らの将来の所得増加につながります。例えば、私はアメリカ大手のコンサルティング事務所に勤めていますが、会社において最高位のパートナーたちは年間100万ドル以上稼いでいます。この一見高すぎる給与は、彼らの素晴らしいコミュニケーション能力によって生まれる顧客との良好な関係と、それによって会社にもたらされる仕事によって正当化されます。こうしたスキルの育成には子供の時がとても重要であることから、教師の学生と関係を築く能力は何よりも重要なのは疑いの余地もありません。」 2. 時間、効率 次は 「時間、効率」 の観点から考えてみましょう。 時間・効率という観点で見たとき、「教師と生徒が良好な関係を構築すること」は時間の節約につながります。なぜそう言えるかというと、良好な関係を築くことで、お互いの理解が高まり、学生は先生の指示を受け入れるようになります。そのため、相手に理解を求めるために時間を無駄にする必要がなくなり、教育における効率が上がります。 いかがでしょうか。 良好な関係→生徒が授業をよく聞く→効率的な教育 英語だとこんな感じです。 Second, a healthy relationship between teachers and students acts as a precursor to efficient education.