こんにちは。和からの数学講師の 岡本 です。以前、「感銘を受けた数学」シリーズとして、岡本が 狂おしいほど好きなオイラーの五角数定理 をマスログでご紹介しました。 感銘を受けた数学「オイラーの五角数定理」 今回も岡本が個人的に 心にグッと来た数学 をご紹介していこうと思います。みなさんは「 三平方の定理 」をご存知でしょうか?「 ピタゴラスの定理 」とも言われています。そうです、直角三角形の アレ です。 直角三角形の一番長い辺(斜辺といいます)の長さを、残りの辺の長さから割り出せる公式です。中学・高校と、何度もお世話になり、数学ではもはや「 おなじみ 」となっている三平方の定理。 しかし、みなさんは 「証明」できますか ?今日はこの三平方の定理の多様な証明方法を ひたすら ご紹介いたします。その実に 見事 で、 美しい 証明方法をご堪能ください。 1.三平方の定理の証明その1 まずは良く知られた、最もポピュラー(? )な証明方法をご紹介します。 まず、直角三角形ABCを準備します。長さが\(a\)と\(b\)(\(a>b\)とします)、斜辺を\(c\)としましょう。以降、この直角三角形をベースにお話していきます。 まずはこの三角形を4つ用意し、下の図のように並べます。すると、大きな正方形と内側にも正方形が出来上がります。このとき大きな内側の正方形の面積を2通りで表します。 まず赤の部分は一辺の長さが\(c\)の正方形なので、その面積は\(c^2\)。また、別の計算方法として、外側の大きな正方形(一辺の長さは\(a+b\))から直角三角形4つ分の面積を引くことで求められます。ここで三角形の面積は底辺×高さ÷2ということで、\(ab/2\)となります。これを4つ分引くわけです。 このとき計算は \begin{align*}(a+b)^2-4\cdot \frac{ab}{2}=a^2+2ab+b^2-2ab=a^2+b^2\end{align*} となり、これが内側の面積\(c^2\)と一致する、つまり \begin{align*}a^2+b^2=c^2\end{align*} が証明されました。シンプルかつ美しいですね!では次の証明に進みましょう! 2.三平方の定理の証明その2 次の証明は「 方べきの定理 」を使います。方べきの定理にはいくつかバリエーションがありますが、今回使う形のものだけ簡単にご紹介いたします。 この事実を使って三平方の定理を証明してみましょう。まずは直角三角形ABCを用意します。ここで頂点Aを中心として、半径\(b\)の円を描きます。すると当然ですが、円は頂点Cを通ります。 このとき直線ABと円の交点をそれぞれ図のようにD, Eとおきます。すると線分BD\(=c-b\), 線分BE\(=c+b\)となることから、方べきの定理により \begin{align*}(c-b)(c+b)=c^2-b^2=a^2\end{align*} となり、見事に三平方に定理が示されました。今回もお見事です!
3.三平方の定理の証明その3 次にご紹介する証明は レオナルド・ダ・ヴィンチ によるものと言われています。 アーティスティックな証明 をご覧ください。 まず直角三角形ABCの2つの辺の長さ\(a\)と\(b\)を一辺とする正方形(赤と青)を作り、図のように線でつないで「 線対称な六角形 」を作ります。 この六角形を対角線で二等分に分け、片方を裏返して、図のように貼り付けます。すると「 原点対称な六角形 」が出来上がります。この六角形の面積を図のように比べてみます。 すると、 直角三角形2個分(オレンジのエリア)は相殺され 、三平方の定理\(a^2+b^2=c^2\)が自動的に導けています。スタイリッシュですね。。。!お見事です!! 4.三平方の定理の証明その4 次は 言葉を使わない証明 をいくつかご紹介いたします。言葉を使わないというのは、 図で完結させる という、なんとも クール な証明方法です。以下、ほとんど説明はいたしません。ごゆっくりご堪能ください。 青の面積と赤の面積が同じ であることにより三平方の定理が示されます! パズルのように いじくることでいつの間にか三平方の定理が示せますね。。。 5.三平方の定理の証明その5 最後に 究極の証明法 をお見せしましょう。それがこちらです。 頂点Cから斜辺に向かって垂線を下ろしただけですが、 実はこれで証明が完了しています。 え!
1問目 直角三角形の1辺の長さを求めよ、という問題があったとき、三平方の定理を使えば簡単に求めることが出来ます。上の図形の?の辺の長さを求めていきましょう。 この直角三角形の場合、斜めの辺の長さが\(5\)、直角をなす1辺の長さが\(4\)と分かっているので、この値を三平方の定理に当てはめると、 \(4^{2}+b^{2}=5^{2}\) となります。\(b\)は直角をなすもう1辺の長さです。 これを\(b\)について解いていくと、 \(b^{2}=5^{2}-4^{2}\) \(b^{2}=25-16\) \(b^{2}=9\) \(b=±3\) となります。ここで、辺の長さは正の数ですから、 \(b=3\) となります。従って、もう1辺の長さは\(3\)です。 2問目 次は、直角をなす2つの辺が分かっており、その長さは\(2\)と\(3\)です。この直角三角形の?の辺の長さを求めていきましょう。 この問題も、残りの辺を三平方の定理によって求めることが出来ます! 直角をなす2辺は、定理で示した式の左辺に入るので、\(a=2\)、\(b=3\)として当てはめてみると、 \(2^{2}+3^{2}=13=c^{2}\) したがって、 \(c^{2}=4+9=13\) \(c=\sqrt{13}\) となります。上の直角三角形の分からなかった辺の長さは\(\sqrt{13}\)です! このように、定規などで実際に測るのは無理な値でも、計算によって一意に求めることが出来てしまいます。 三平方の定理より、直角三角形かどうか判断できる! さて、ここまでの話では、「三平方の定理により、直角三角形の3辺の関係が決まっている」ということを解説してきました。 これを逆に考えると、「3辺の長さが三平方の定理に一致する三角形は 直角を持つ 」ということが言えます。 言い換えれば、三角形の3辺の長さが分かれば、その図形の実際の形を見なくとも直角三角形かどうか判断することが出来るということです! 実際に一問考えてみましょう。 【例題】ある3辺をもつ三角形は直角三角形かどうか調べてみよう! 三平方の定理の証明方法 | ビーンズ倶楽部. 例. 辺の長さが、\(1\), \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{2}\)である三角形 この三角形が直角三角形かどうか考えるときに、まず頭に入れるべきことは、 「直角三角形では、斜めの辺が最も長い辺となる」 ということです。上に示された辺の中で一番長い辺は\(\sqrt{3}\)なので、これを三平方の定理でいう\(c\)の部分に、残り2辺を\(a\)と\(b\)に当てはめて、三平方の定理が成り立つかどうか調べればいいのです。 それ以外の組み合わせで考える必要はありません!
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