(この方法以外にも,帰納法でも証明できます.それは別の記事で紹介します.) 任意の実数\(t\)に対して,
f(t)=\sum_{k=1}^{n}(a_kt+b_k)^2\geqq 0
が成り立つ(実数の2乗は非負). 左辺を展開すると,
\left(\sum_{k=1}^{n}a_k^2\right)t^2+2\left(\sum_{k=1}^{n}a_kb_k\right)t+\left(\sum_{k=1}^{n}b_k^2\right)\geqq 0
これが任意の\(t\)について成り立つので,\(f(t)=0\)の判別式を\(D\)とすると\(D/4\leqq 0\)が成り立ち,
\left(\sum_{k=1}^{n}a_kb_k\right)^2-\left(\sum_{k=1}^{n}a_k^2\right)\left(\sum_{k=1}^{n}b_k^2\right)\leqq 0
よって,
\left(\sum_{k=1}^{n} a_k^2\right)\left(\sum_{k=1}^{n} b_k^2\right)\geqq\left(\sum_{k=1}^{n} a_kb_k\right)^2
その他の形のコーシー・シュワルツの不等式
コーシー・シュワルツの不等式というと上で紹介したものが有名ですが,実はほかに以下のようなものがあります. 1. (複素数)
\(\displaystyle \left(\sum_{k=1}^{n} |\alpha_k|^2\right)\left(\sum_{k=1}^{n}|\beta_k|^2\right)\geqq\left|\sum_{k=1}^{n}\alpha_k\beta_k\right|^2\)
\(\alpha_k, \beta_k\)は複素数で,複素数の絶対値は,\(\alpha=a+bi\)に対して\(|\alpha|^2=a^2+b^2\). 2. コーシー・シュワルツの不等式の等号成立条件について - MathWills. (定積分)
\(\displaystyle \int_a^b \sum_{k=1}^n \left\{f_k(x)\right\}^2dx\cdot\int_a^b\sum_{k=1}^n \left\{g_k(x)\right\}^2dx\geqq\left\{\int_a^b\sum_{k=1}^n f_k(x)g_k(x)dx\right\}^2\)
但し,閉区間[a, b]で\(f_k(x), g_k(x)\)は連続かつ非負,また,\(a 2016/4/12
2020/6/5
高校範囲を超える定理など, 定義・定理・公式など
この記事の所要時間: 約 4 分 57 秒
コーシー・シュワルツ(Cauchy-Schwartz)の不等式
・\((a^2+b^2)(x^2+y^2)\geqq (ax+by)^2\)
等号は\(a:x=b:y\)のときのみ. ・\((a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)\geqq(ax+by+cz)^2\)
等号は\(a:x=b:y=c:z\)のときのみ. ・\((a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2)(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)\geqq(a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n)^2\)
等号は\(a_1:x_1=a_2:x_2=\cdots=a_n:x_n\)のときのみ. 但し,\(a, b, c, x, y, z, a_1, \cdots, a_n, x_1, \cdots, x_n\)は実数. 和の記号を使って表すと,
\[ \left(\sum_{k=1}^{n} a_k^2\right)\left(\sum_{k=1}^{n} b_k^2\right)\geqq\left(\sum_{k=1}^{n} a_kb_k\right)^2\]
となります. 例題. 問. \(x^2+y^2=1\)を満たすように\(x, y\)を変化させるとき,\(2x+3y\)の取り得る最大値を求めよ. このタイプの問題は普通は\(2x+3y=k\)とおいて,この式を直線の方程式と見なすことで,円\(x^2+y^2=1\)と交点を持つ状態で動かし,直線の\(y\)切片の最大値を求める,ということをします. しかし, コーシー・シュワルツの不等式を使えば簡単に解けます. コーシー・シュワルツの不等式より,
\begin{align}
(2^2+3^2)(x^2+y^2)\geqq (2x+3y)^2
\end{align}
ところで,\(x^2+y^2=1\)なので上の不等式の左辺は\(13\)となり,
13\geqq(2x+3y)^2
よって,
2x+3y \leqq \sqrt{13}
となり最大値は\(\sqrt{13}\)となります. コーシー・シュワルツの不等式の証明. この不等式にはきれいな証明方法があるので紹介します. /\overrightarrow{n} \) となります。
したがって\( a:b=x:y\) です。
コーシ―シュワルツの不等式は内積の不等式と実質同じです。
2次方程式の判別式による証明
ややテクニカルですが、すばらしい証明方法です。
私は感動しました! \( t\)を実数とすると,次の式が成り立ちます。この式は強引に作ります! (at-x)^2+(bt-y)^2≧0 \cdots ②
この式の左辺を展開して,\( t \) について整理すると
&(a^2+b^2)t^2-2(ax+by)t\\
& +(x^2+y^2) ≧0
左辺を\( t \) についての2次式と見ると,判別式\( D \) は\( D ≦ 0 \) でなければなりません。
したがって
&\frac{D}{4}=\\
&(ax+by)^2-(a^2+b^2)(x^2+y^2)≦0
これより
が成り立ちます。すごいですよね! 等号成立は②の左辺が0になるときなので
(at-x)^2=(bt-y)^2=0
x=at, \; y=bt
つまり,\( a:b=x:y\)で等号が成立します。
この方法は非常にすぐれていて,一般的なコーシー・シュワルツの不等式
{\displaystyle\left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right)}{\displaystyle\left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right)}\geq{\displaystyle\left(\sum_{i=1}^n a_ib_i\right)^2} \]
の証明にも威力を発揮します。ぜひ一度試してみてほしいと思います。
「数学ってすばらしい」と思える瞬間です! この記事では、2018年9月6日の得する人損する人で放送していた「 毎食スプーン1杯かけるだけで痩せるおからパウダーダイエット 」について効果ややり方をまとめました。
さっきスーパーに行ったら、Y子氏に会った。それで、おからパウダーがダイエットにいいってテレビでやってたって大騒ぎしてて😅、すごいいっぱいカゴに入れてたんで、はじめて買うのにそんなに買ってええの😂とか、またすぐ流行りに乗るんだからとか、総ツッコミしてきた。で、買ってしまった。
— 老犬マニア (@QHMIIod0P32HVck) 2018年9月6日
テレビで放送していた内容だと、このおからパウダーを毎回の食事に大さじ1杯かけただけで、 3週間で-7. 9kgのダイエットに成功 。
これを食べるだけです。(ちなみにどんなおからパウダーでも大丈夫です。)
そこで今日は おからパウダーを買える場所 と おからパウダーダイエットのやり方と効果 を紹介します。
おからパウダーで痩せる理由
おからパウダーはいつもの食事に混ぜるだけ で、ダイエット効果があります。
たったの大さじ2杯でレタス1個分の食物繊維が取れてしまう優れものです。レタス1個を毎日食べるのは無理だけどおからパウダー2杯ならできますよね。
原理としては、生のおからを脱水して粉末状にしたものです。
水分を加えると倍以上に膨らむので、満腹感も得やすく普段の食事量も減るという効果もあります。そのため、辛い空腹感に襲われることがなくなります。
このダイエットに厳しい食事制限や激しい運動は一切必要ありません。
ですから続けやすいダイエットだと言えます。
おからパウダーが売り切れ!どこで買えるの?スーパーやAmazonなど通販で! 1回にけっこう使うと思い、6個買ってきました。
スーパーにも置いてますし、Amazonなど通販でも売ってます。
調べたところスーパーマーケットだと、
・東急ストア
・イトーヨーカドー
・イオン
・アリオ
・成城石井
・カルディ
・マルエツ
・マルプチ
・西友
などで販売されていました。
通販は、
・Amazon
・楽天
・Yahoo!ショッピング
なら すぐに買うことが可能 です♪
ただ、衝撃のテレビ放送だったので、もう売ってないかもですね。
私は放送中に買いに行きましたが、他にも買っている人がいて一人で沢山買っていましたからね。
私が買えた最後の一人でした。
おからパウダー売り切れ…
ついさっきテレビでダイエットにいいと紹介されてたみたい。
ほんの1時間やそこらで売り切れるなんて、テレビの威力はすごいなあ
— にゃも◆肩こり無縁~公務員への伝道師~ (@Koumuin_Nyamo) 2018年9月6日
Amazonでも売り切れてしまっているかもしれません。早めに買ってストックしておきましょう。
スーパーでの価格は200~300円くらいです。
私が買ったおからパウダーは170円台で買えました。今なら1000円でも欲しい人は多いでしょうね。
おからパウダーはスーパーのどの売り場(コーナー)で売っている? もう頑張ろ!! !🔥🔥🔥
— み う な (@a_miuna0828) 2018年9月6日
たった今テレビでやってた「おからパウダーダイエット」に触発された旦那が私を連れて家を飛び出しおからパウダーを求めてスーパーを3軒回った結果、無事おからパウダー類似品を2個ゲットし、1軒目で買った私のジャイアントコーンは溶けて柔らかくなりました。
— 木崎アオコ (@aokororism) 2018年9月6日
おからパウダーダイエットを試した結果
お笑い芸人がテレビで試していました。
その結果は、
【マービンJr(男)の3週間の結果】
体重:145. 1kg⇒133. 3kgの減量
ウエスト:148cm⇒135cm
【松丸ほるもん(女)の3週間の結果】
体重:87kg⇒79. 1kgの減量
ウエスト:113cm⇒99. 8cm
おからパウダーダイエットを試した効果の感想・口コミとは
今回紹介したおからパウダーダイエットは、普段の食事にかけるだけ。過去に無いくらい簡単なダイエット方法だと思います。
テレビ放送後からおからパウダーの売り切れが続出していますので気をつけましょう。
すぐにおからパウダーが売り切れてしまう ので、早めに買いましょう。
テレビで、おからパウダーがダイエットに効果があると流れたら、わたくしも痩せたい‼︎と強く思い、速攻スーパーへ。完売ですよ。皆さんどんだけ早いのですか…ってamazonで買えばいいじゃない。はい注文終了٩(^‿^)۶
— pee9 @鬱期 (@pee9) 2018年9月6日
どのメーカーのおからパウダーでも大丈夫ですので、試してみてください。
同じく、得する人損する人で紹介された 揚げ物だけ食べてミルミル痩せるダイエット も参考にしてみてください。
2017. 08. 16 ※2019年3月19日追記。
この記事では、ダイエット中は脂っこいものや糖分が高いものは控えろ!という常識を覆す「揚げ物だけを食べて痩せられるダイエット法」について、テレビでの特集をまとめ、考察しました。
今現在自分の中で、体重が重く、そろそろ本気... !、、、と今更思う)
ε-(´∀`;)
とにかく十分美味しく、満足でありました。
ユウテックや味源のものでも十分ソフトでしっとり出来るので特に不満はないのですが、カルディに行ったら買ってしまうかな。
この蒸しパンに限って言えば、 一回10g使うので、 190g入りのこのおからパウダーなら 19回分作れるます 。
そう考えるとこのおからパウダーの 一袋351円 も高くないですね。
一回分 約18円です(粉だけの金額ですが)。
子供にも安心して出せますね。
コスト的にも栄養的にも市販のデザートを買うよりいいかな。
あとは便秘にも効きますが、 おからは「不溶性食物繊維」 ですから一緒に 水分を多めに摂るか、「水溶性植物繊維」も摂るようにしないと 逆に便が堅くなることもあるので気を付けましょう!! 以上は私個人の感想ですが、正直私、おからパウダーを蒸しパン以外にあまり使ったとこがありませぬ。ぬぬぬ。
なので色々な物におからパウダーを愛用の方なら私よりもこの 「小麦粉みたいなおからパウダー」 の違いがお分かりになるのかなーと思います。
見つけたら是非試していただいて、感想が聞かせて下さい! ではでは今日はこの辺で! 今日も最後までお読み頂き有難うございました☆
(*´▽`*) なんか強そう!コーシー・シュワルツの不等式の等号成立条件について - Mathwills