(2019/11/27差し替え) (※注:「理系に進学したいが数学が苦手な知人の高校生に、数学の良さを教える」というミッションのための草稿を、あらかじめWebに掲載して、ダメなところを指摘してもらおう、という趣旨の記事です) *** 〇自然数と整数と有理数 ●集合ベースから数ベースへ ・集合と写像と演算と数のことは、高校数学では何もかもこれらを使って考えることになるので、忘れないようにして、ときどき読み返すようにしておいてください。 ・しかし、 ここから出て来る話の主役は、集合から、小学校算数でもお馴染みの、数にバトンタッチします。 ●数から線までのロードマップと重要な中間生成物 ・小学校算数では、数と図形を主に扱ったのでした。 この教材でも、今しばらくは数が主役になりますが、後で線が主役になる場面になります。 だいたい ! 自然数(等)→(自然数等の)数列→総和→極限→実数(等)→線 というロードマップだと思ってください。(それぞれのキーワードが何を意味しているかは、後で説明します。) ●数を扱うジャンル・数論 ・以前も書きましたが、 数を扱うジャンルを数論(すうろん)と言います。 もちろんこれで 数 を扱えます。数論は代数学の一部門として扱われることが多いですね。(もっと限定的な意味で使う人もいますが、この教材ではこの意味で使います。ご理解ください。) ●全ての基本の自然数 ・数のレベルは、どんどんでかくレベルアップすることができます。 高校数学では、数のレベルは5レベル覚えておけば便利です。 自然数(しぜんすう)、整数(せいすう)、有理数(ゆうりすう)、実数(じっすう)、複素数(ふくそすう) です。 羅列すると、 数レベル0. 順序数 数レベル1. 自然数 数レベル2. 整数 数レベル3. 有理数 数レベル4. 実数 数レベル5. 自然数、整数、有理数、無理数を簡単に教えて下さい。 - 自然... - Yahoo!知恵袋. 複素数 となります。 (順序数についてはI. 集合編の自然数の章でごく簡単に説明しましたが、高校数学では出て来ませんので、 この教材では順序数についての説明を飛ばします。 ) ・自然数についてはI. 集合編の自然数の章でごく簡単に説明しましたが、もう少し詳しい話をします。(具体的には、なぜ自然数よりレベルの高い数が必要かの話をします。) ・自然数の何が困るというと、 自然数は足し算と掛け算では悩むことがありませんが、引き算と割り算において部分的に問題を抱えています。 (本当はもっとたくさん問題を抱えているのですが、それらについてはまた実数や複素数の章で説明します。) 例えば、引き算の話をすると、自然数のレベルの中で"1-2=?
整数全体の集合は加法・減法・乗法について閉じています. しかし,除法については閉じていません. 有理数の特徴 有理数 とは,整数 $m, n (n \neq 0)$ を用いて,分数 $\frac{m}{n}$ の形で表される数のことです. 整数も当然有理数です($n$ が $m$ の約数のとき,$\frac{m}{n}$ は整数).有理数は $2$ つの数の比を表していると考えることができます. 数の分類 | 大学受験のための高校数学. 有理数はさらに整数と 有限小数 と 循環小数 にわけられます. 有理数の最も重要な特徴のひとつは, 稠密性 (ちゅうみつせい)が成り立つ ことです.これは,$2$ つの有理数の間には必ず別の有理数が存在するということです.実際に,$a, b$ を$2$ つの有理数とすると, $$a < \frac{a+b}{2} < b$$ が必ず成り立ちます.よって,どのような $2$ つの有理数の間にも別の有理数が存在します.稠密とは,『詰まっている,こみあっている』という意味です.ここでは,数直線上でいたるところに有理数が存在するという意味合いです. 有理数全体の集合は加法・減法・乗法・除法すべての演算について閉じています. 実数の特徴 実数 とは,整数と,有限小数または無限小数で表される数のことです.実数の最も重要な特徴のひとつは, 連続性が成り立つ ことですが,このことをきちんと説明するには厳密な数学の準備が必要ですので,ここでは深く立ち入らないことにします. 実数全体の集合は加法・減法・乗法・除法すべての演算について閉じています. 無理数の特徴 無理数 とは,有理数でない実数のことです.$\pi, \sqrt{2}$ や,自然対数の低 $e$ などが代表的な無理数です.さて,ここまで様々な数の集合に関して演算でどこまで閉じているかを紹介してきましたが, 無理数同士の演算はろくなことが言えません. その意味で無理数の集合は例外的です.たとえば,$\sqrt{2}+(-\sqrt{2})=0$ で,$0$ は無理数ではないので,無理数の集合は加法(減法)について閉じていません.また,$\sqrt{2} \times \sqrt{2}=2$ で,$2$ は無理数ではないので,乗法についても閉じていません.同様に除法についても閉じていません.さらに, $$(無理数)^{(無理数)}$$ すなわち無理数の無理数乗が無理数かどうか,という問題はどうでしょうか.これはたとえば, $$e^{log3}=3, e^{log\sqrt{3}}=\sqrt{3}$$ などを考えると,有理数にも無理数にもなりうる.ということになります.
今回は数の世界の広がりを味わってもらいましたが、ちゃんと世界が広がっていく感覚を掴んでもらえたでしょうか。 数の世界それぞれの性質は、今後数学の問題を解いていく上で意外な落とし穴になりかねません。 せっかくこの記事を読んだのでしたら、今後数学の問題を解く際には 「これはどんな数の世界で言える話なんだろうか」 と少し考えてみてください。 以上、「数の世界とその特徴について」でした。
イラストは かわいいフリー素材集 いらすとや (みふねたかしさん)より。 ^ 2. 集合論や計算機科学等においては自然数に 0 を含める方が普通である。本稿ではそれに従うが、自然数から 0 を除く定義を採用しても特に問題は無い。
11なんかは有理数になります。(0. 11=11/100と分数にかくことができます。) もちろん、整数は5=5/1とかけるので、全て有理数になります。 また、0. 33333…=1/3も有理数になります。 上の具体例からもわかるかもしれませんが、有理数は 「有限桁の小数(整数)、または循環する小数であらわせるもので、それ以外は有理数ではない。」 ということができます。 ここまで広げると足し算、引き算、掛け算、割り算の四つの計算を自由に行うことができます。 この構造を体と呼び、有理数体と呼ばれることもあります。 無理数(irrational number): 実数のうち、有理数でないものを無理数と呼びます。 具体例を出したほうがわかりやすいと思います。例えば √2=1. 整数、自然数、有理数、無理数の定義を教えてください - 具体的な例も示して... - Yahoo!知恵袋. 414… √3=1. 732… π(円周率)=3. 141592… のようなものは全て無理数になります。 有理数でないものですから、 {(整数)/(整数)で表せないもの全体}ですとか {循環しない小数で表せるもの全体}のようにかくことができます。 無理数は記号一つでかかれることがあまりありません。 実数から有理数を"ひいた"集合というニュアンスで R-Qなどとかかれたりする程度です。 「0」については上であげたもののうち、自然数と無理数以外の集合には全て入っています。 しかし、自然数に「0」が入るか否かは微妙な問題です。 上では0を含めないで書きましたが、0まで含めて自然数と呼ぶ人もいるからです。 学年的に分けてしまえば、高校までのレベルでしたら確実に入りません。 大学以降の数学でしたら、入れることも入れないこともあり、完全に文脈によります。 このように「自然数」という言葉はややこしいので、誤解をさけるために 0を含めない自然数:正整数 0を含める自然数:非負整数 と呼ぶこともあります。
他人への誹謗中傷は禁止しているので安心 不愉快・いかがわしい表現掲載されません 匿名で楽しめるので、特定されません [詳しいルールを確認する] アクセス数ランキング その他も見る その他も見る
!自分でもびっくりな感じでした。 「秋の気配」「ワインの匂い」「めぐる季節」が好きです。息子は「僕のおくりもの」が好きと言っていました。 トピ内ID: 0097726624 つぐみ 2016年5月2日 15:06 小田さんのツアーが始まったのですね! ソロになってからはアルバム一枚しか手に入れてませんが、いつも注目してます。「クリスマスの約束」も録画して。 当方40代も半ばを過ぎましたが、中1の頃の友人達の影響もありすっかりハマりました。 GWで実家におりますが、当時お小遣いを貯めて購入したLPは大事にとってあります。 プレーヤーが古くて聴けないのが悲しい… 何枚か買い直したCDをよく今も聴きます。 ハマった頃の「we are」や「over」も大好きですがよく口ずさむのは、 ワインの匂い めぐる季節 冬が来る前に ロンド 潮の香り 哀しいくらい などなど、比較的初期の作品が多いですね。 4人になってからの作品も私の青春時代とともにあり、いろいろなアーティストの曲を聴くようになっても、原点はいつも小田さん・そしてオフコースです。 思わずレスしたくなったトピ、ありがとうございました! オフ コース 愛 のブロ. トピ内ID: 0971934056 2016年5月4日 07:52 傀儡課長 様 レスいただきましてありがとうございました。 初めてオフコース聴いたのは私も中学生の頃「ワインの匂い」か「眠れぬ夜」だったかと思います。歌詞の意味はよくわからなかったです。 <♪愛に縛られて動けなくなる・・愛のない毎日は自由な毎日・・> (なぜだ?) かなり時が経って歌詞の意味がわかる(ような気がする)とは おとなになると失う面がある一方いいこともありますね。 ひより 様 レスありがとうございました! 相当古い曲が多いのに、なぜか今心に水が落ちるようにしみこんでいくのを感じます。息子さん世代にもぜひ聴いてほしいです。 つぐみ 様 レスいただきましてありがとうございました。 「ワインの匂い」について前から思っていたことがあります。 この曲の中の女性は、私のイメージでは<深窓の令嬢>で少し病弱で美しい娘。一方私のワイン好きな女性のイメージはお酒の味がわかる<通>で曲の雰囲気とのギャップがおもしろいとずっと思ってました。 きっとこの曲のワインとは、甘口ポートワインのようなものかな、と勝手に納得しています。(笑) 2016年5月5日 00:44 東京から静岡のコンサート二日間参加しました。いろいろなブログにセットリストが出ているからもういいですね。コンサート前半はほとんどオフコース時代の歌で「眠れぬ夜」「秋の気配」「僕の贈り物」、小田さんにやられた!と感じたのは「さよなら」と「心はなれて」でした。心に響くとはこういうことなんだとわかりました。8000人の観客が小田さんだけを見つめていました。「I LOVE YOU」はなんて美しい楽曲なんだろうとうっとりしました。「時に愛は」も。秋までの全国ツアーで小田さん69才になりますが歌声は力強かったです。 あなたも書いてみませんか?
愛の唄~秋の気配~オフコース - Niconico Video