2次関数の接線を、微分を使わずに簡単に求める方法を紹介します。このページでは、放物線上の点からの接線の式を求める方法について説明します。 微分を使って普通に解くと、次のようになります。 最後の方で、1次関数の ヒクタス法 を使いました。この問題を微分を使わずに解くには、次の公式を用います。 少し長いけど簡単に覚えられますよね。これを使って上の問題を解いてみると、 普通の解き方と比べて書いた量はあまり変わりませんが、1行目の式を書いたらあとはただ計算しているだけですので楽です。そしてこの解法は応用問題で威力を発揮します。 ※ 2次関数の接線公式 は びっくり のオリジナル用語です。テストの記述では使わないで下さい。 About Author bikkuri
一緒に解いてみよう これでわかる! 練習の解説授業 2次関数のグラフにおける接線ℓの傾きを求める問題です。微分係数f'(a)を使って求めてみましょう。 POINT 曲線C:y=f(x)上の点A(a, f(a))における接線の傾きは f'(a) になるのでした。 点A(2, 2)における接線の傾きは、 f'(2)を求めれば出る ということが分かりますね。では、このポイントを押さえたうえで問題を解きましょう。 まずは導関数f'(x)を求めます。 f'(x)=3x 2 -3 x=2を代入すると、 f'(2)=9 となりますね。 すなわち、 点Aにおける接線の傾きは9 とわかります。 答え
※ ①と $y=-(x-3)^{2}$ を,または②と $y=x^{2}-4$ を連立して判別式 $D=0$ を解いても構いませんが,解答の解き方を数Ⅲでもよく使うのでオススメです. 練習問題 練習1 2つの放物線 $y=x^{2}+1$,$y=-2x^{2}+4x-3$ の共通接線の方程式を求めよ. 練習2 2曲線 $y=x^{3}-2x^{2}+12$,$y=-x^{2}+ax$ が接するとき,$a$ の値を求め,その接点における共通接線の方程式を求めよ. 練習の解答 例題と練習問題(数Ⅲ) $f(x)=e^{\frac{x}{3}}$ と $g(x)=a\sqrt{2x-2}+b$ が $x=3$ で接するとき,定数 $a$,$b$ の値を求めよ. こちらでは接点を共有する(接する)タイプを扱います.方針は数Ⅱの場合とまったく同じです. 【高校数学Ⅲ】「第2次導関数と極値」 | 映像授業のTry IT (トライイット). $f'(x)=\dfrac{1}{3}e^{\frac{x}{3}}$,$g'(x)=\dfrac{a}{\sqrt{2x-2}}$ 接線の傾きが一致するので $f'(3)=g'(3)$ $\Longleftrightarrow \ \dfrac{1}{3}e=\dfrac{a}{2}$ $\therefore \ \boldsymbol{a=\dfrac{2}{3}e}$ 接点の $y$ 座標が一致するので $f(3)=g(3)$ $\Longleftrightarrow \ e=2a+b$ $\therefore \ \boldsymbol{b=-\dfrac{1}{3}e}$ 練習3 $y=e^{x-1}-1$,$y=\log x$ の共通接線の方程式を求めよ. 練習3の解答
8zh] 最後, \ 検算のために知識\maru2を満たしているかを確認するとよい. 一般化すると, \ 裏技公式が導かれる. \\[1zh] \centerline{$\bm{\textcolor{blue}{2次関数\ y=\textcolor{red}{a}x^2+\cdots\ と2本の接線の間の面積}}$ y=ax^2+bx+c上の点x=\alpha, \ \beta\ (\alpha<\beta)における接線をy=m_1x+n_1, \ y=m_2x+n_2\, とする. 二次関数の接線の求め方. 2zh] (ax^2+bx+c)-(m_1x+n_1)=a(x-\alpha)^2, (ax^2+bx+c)-(m_2x+n_2)=a(x-\beta)^2 \\[. 2zh] 2本の接線の交点のx座標は, \ m_1x+n_1=m_2x+n_2\, の解である. 2zh] 関数の上下関係や\, \alpha\, と\, \beta\, の大小関係が不明な場合も想定し, \ 絶対値をつけて計算すると以下となる. 8zh] 最初に述べた知識\maru1, \ \maru2が成立していることを確認してほしい. \\[1zh] 面積を求めるだけならば, \ 積分計算は勿論, \ 接線の方程式や接線の交点の座標を求める必要もない. 2zh] 記述試験で無断使用してはならないが, \ 穴埋め式試験や検算には有効である.
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