また, 「代数体」$K$ (前問を参照)に属する「代数的整数」全体 $O_K$ は $K$ の 「整数環」 (ring of integers)と呼ばれ, $O_K$ において逆数をもつ $O_K$ の要素全体は $K$ の 「単数群」 (unit group)と呼ばれる. 本問の「$2$ 次体」$K = \{ a_1+a_2\sqrt 5|a_1, a_2 \in \mathbb Q\}$ (前問を参照)について, 「整数環」$O_K$ は上記の $O$ に一致し(証明略), 関数 $N(\alpha)$ $(\alpha \in K)$ は 「ノルム写像」 (norm map), $\varepsilon _0$ は $K$ の 「基本単数」 (fundamental unit)と呼ばれる. 三個の平方数の和 - Wikipedia. (5) から, 正の整数 $\nu$ が「フィボナッチ数」であるためには $5\nu ^2+4$ または $5\nu ^2-4$ が平方数であることが必要十分であると証明される( こちら を参照). 問題《リュカ数を表す対称式の値》 $\alpha = \dfrac{1+\sqrt 5}{2}, $ $\beta = \dfrac{1-\sqrt 5}{2}$ について, \[\alpha +\beta, \quad \alpha\beta, \quad \alpha ^2+\beta ^2, \quad \alpha ^4+\beta ^4\] の値を求めよ.
(ややむずかしい) (1) 「 −, +, 」 2 4 8 Help ( −) 2 +( +) 2 =5+3−2 +5+3+2 =16 =4 2 (2) 「 3 −1, 3 +1, 2 +1, 6 「 −, 9 (3 −1) 2 +(3 +1) 2 =27+1−6 +27+1+6 =56 =(2) 2 =7+2−2 +7+2+2 =18 =(3) 2 (3) 「 2 +2, 2 +2, 5 +2, 3 (2 −) 2 +( +2) 2 =12+2−4 +3+8+4 =25 =5 2 ■ ピタゴラス数の問題 ○ 次の式の m, n に適当な正の整数(ただし m>n)を入れれば, 「三辺の長さが整数となる直角三角形」ができます. 三 平方 の 定理 整数. (正の整数で三平方の定理を満たすものは, ピタゴラス数 と呼ばれます.) (2mn) 2 +(m 2 -n 2) 2 =(m 2 +n 2) 2 左辺は 4m 2 n 2 +m 4 -2m 2 n 2 +n 4 右辺は m 4 +2m 2 n 2 +n 4 だから等しい 例 m=2, n=1 を代入すると 4 2 +3 2 =5 2 となります. (このとき, 3, 4, 5 の組がピタゴラス数) ■ 問題 左の式を利用して, 三辺の長さが整数となる直角三角形を1組見つけなさい. (上の問題にないもので答えなさい・・・ただし,このホームページでは, あまり大きな数字の計算はできないので, どの辺の長さも100以下で答えなさい.) 2 + 2 = 2 ピタゴラス数の例(小さい方から幾つか) (ただし, 朱色 で示した組は公約数があり,より小さな組の整数倍となっている)
n! ( m − n)! {}_{m}\mathrm{C}_{n}=\dfrac{m! }{n! (m-n)! } ですが,このページではさらに m < n m < n m C n = 0 {}_{m}\mathrm{C}_{n}=0 とします。 → Lucasの定理とその証明 カプレカ数(特に3桁の場合)について 3桁のカプレカ数は 495 495 のみである。 4桁のカプレカ数は 6174 6174 カプレカ数の意味,および関連する性質について解説します。 → カプレカ数(特に3桁の場合)について クンマーの定理とその証明 クンマーの定理(Kummer's theorem) m C n {}_m\mathrm{C}_n が素数 で割り切れる回数は m − n m-n を 進数表示して足し算をしたときの繰り上がりの回数と等しい。 整数の美しい定理です!
ピタゴラス数といいます。 (3, 4, 5)(5, 12, 13)(8, 15, 17)(7, 24, 25)(20, 21, 29) (12, 35, 37)(9, 40, 41)
この形の「体」を 「$2$ 次体」 (quadratic field)と呼ぶ. このように, 「体」$K$ の要素を係数とする多項式 $f(x)$ に対して, $K$ と方程式 $f(x) = 0$ の解を含む最小の体を $f(x)$ の $K$ 上の 「最小分解体」 (smallest splitting field)と呼ぶ. ある有理数係数多項式の $\mathbb Q$ 上の「最小分解体」を 「代数体」 (algebraic field)と呼ぶ. 問題《$2$ 次体のノルムと単数》 有理数 $a_1, $ $a_2$ を用いて \[\alpha = a_1+a_2\sqrt 5\] の形に表される実数 $\alpha$ 全体の集合を $K$ とおき, この $\alpha$ に対して \[\tilde\alpha = a_1-a_2\sqrt 5, \quad N(\alpha) = \alpha\tilde\alpha = a_1{}^2-5a_2{}^2\] と定める. 整数問題 | 高校数学の美しい物語. (1) $K$ の要素 $\alpha, $ $\beta$ に対して, \[ N(\alpha\beta) = N(\alpha)N(\beta)\] が成り立つことを示せ. また, 偶奇が等しい整数 $a_1, $ $a_2$ を用いて \[\alpha = \dfrac{a_1+a_2\sqrt 5}{2}\] の形に表される実数 $\alpha$ 全体の集合を $O$ とおく. (2) $O$ の要素 $\alpha, $ $\beta$ に対して, $\alpha\beta$ もまた $O$ の要素であることを示せ. (3) $O$ の要素 $\alpha$ に対して, $N(\alpha)$ は整数であることを示せ. (4) $O$ の要素 $\varepsilon$ に対して, \[\varepsilon ^{-1} \in O \iff N(\varepsilon) = \pm 1\] (5) $O$ に属する, $\varepsilon _0{}^{-1} \in O, $ $\varepsilon _0 > 1$ を満たす最小の正の数は $\varepsilon _0 = \dfrac{1+\sqrt 5}{2}$ であることが知られている. $\varepsilon ^{-1} \in O$ を満たす $O$ の要素 $\varepsilon$ は, この $\varepsilon _0$ を用いて $\varepsilon = \pm\varepsilon _0{}^n$ ($n$: 整数)の形に表されることを示せ.
+\! (2p_2\! +\! 1)(2q_1\! +\! 1) \\ &=\! 4(p_1q_2\! +\! p_2q_1) \\ &\qquad +\! 2(p_1\! +\! p_2\! +\! q_1\! +\! q_2\! +\! 1) を $4$ で割った余りはいずれも $2(p_1\! +\! p_2\! +\! q_1\! +\! q_2\! +\! 1)$ を $4$ で割った余りに等しい. (i)~(iv) から, $\dfrac{a_1b_1+5a_2b_2}{2}, $ $\dfrac{a_1b_2+a_2b_1}{2}$ は偶奇の等しい整数であるので, $\alpha\beta$ もまた $O$ の要素である. (3) \[ N(\alpha) = \frac{a_1+a_2\sqrt 5}{2}\cdot\frac{a_1-a_2\sqrt 5}{2} = \frac{a_1{}^2-5a_2{}^2}{4}\] (i) $a_1, $ $a_2$ が偶数のとき. $4$ の倍数の差 $a_1{}^2-5a_2{}^2$ は $4$ の倍数である. (ii) $a_1, $ $a_2$ が奇数のとき. a_1{}^2-5a_2{}^2 &= (4p_1{}^2+4p_1+1)-5(4p_2{}^2+4p_2+1) \\ &= 4(p_1{}^2+p_1-5p_2{}^2-5p_2-1) となるから, $a_1{}^2-5a_2{}^2$ は $4$ の倍数である. (i), (ii) から, $N(\alpha)$ は整数である. (4) $\varepsilon = \dfrac{e_1+e_2\sqrt 5}{2}$ ($e_1, $ $e_2$: 偶奇の等しい整数)とおく. $\varepsilon ^{-1} \in O$ であるとすると, \[ N(\varepsilon)N(\varepsilon ^{-1}) = N(\varepsilon\varepsilon ^{-1}) = N(1) = 1\] が成り立ち, $N(\varepsilon), $ $N(\varepsilon ^{-1})$ は整数であるから, $N(\varepsilon) = \pm 1$ となる. $N(\varepsilon) = \pm 1$ であるとすると, $\varepsilon\tilde\varepsilon = \pm 1$ であり, $\pm e_1, $ $\mp e_2$ は偶奇が等しいから, \[\varepsilon ^{-1} = \pm\tilde\varepsilon = \pm\frac{e_1-e_2\sqrt 5}{2} = \frac{\pm e_1\mp e_2\sqrt 5}{2} \in O\] となる.
悩み多きビジネスパーソン。それぞれの悩みに効くビジネス書を、作家・書評家の印南敦史さんに選書していただきます。今回は、自分より年上の職場の人が何度も同じことを聞いてくるので、上手く注意できないかと悩んでいる人のためのビジネス書です。 ■今回のお悩み 「何度も同じことを聞いてくる年上の人。上手く注意するにはどうしたらいいか」(39歳男性/事務・企画・経営関) 年上の人への上手な注意の方法は? 僕も会社勤めをしているとき、何度も同じことを聞いてくる人に悩まされたことがあります。いや、その彼は年下で、基本的にはいいやつでもあったので、悩まされたというほどではなかったかな。「同じことばっかり聞くなよなー」と、楽にツッコミを入れることができましたし。 いずれにしてもそんな経験があるからこそ、今回のご相談には多少なりとも共感できるのです。相手が年上だということなので、いろいろ厄介でしょうしね。そういう人への対処法もいろいろあるでしょうが、答える側には多少なりとも「割り切り」が必要なのではないだろうかと個人的には考えています。 嫌な気持ちにならないように、ある程度「こういう人だから」と割り切ることで、気持ちをガードしてしまうわけです。妥協と言われればそのとおりかもしれませんけれど、少なくともそうすれば、ストレスは軽減できますから。 また、(実際には同僚もしくは部下だったとしても)「自分が相手にとってのリーダーなのだ」というような意識を持っておくことも無駄ではない気がします。 マウントを取れという意味ではなく、あくまで相手には気づかれないように、こちらが教える立場なのだという意識を持っておくということ。そうすれば、ある程度は割り切りやすくなるのではないでしょうか。 「叱る方法」の4つのポイントは? そう考えると、本来は上司やリーダーのための本である『働く人を育て、組織力を最大にする 短くても伝わる対話「すぐできる」技法』(森下裕道 著、大和書房)も、意外と役立ちそうな気がします 著者は接客、営業、人材育成、人間関係のコミュニケーション問題などを専門とするコンサルタント。そうしたキャリアを軸として、本書では職場の人間関係にまつわるトラブルの解消法を明かしているわけです。 年上の人にうまく注意をするためにはどうしたらいいかという今回の問題に関しては、第5章「自己成長を引き出す『叱る技法』」内の「『叱る』はどこまですればOKなのか」が参考になりそうです。 (1)冷静に、力まず、叱る (2)今の事実のみを具体的に叱る (3)小言は重く、大事は軽く (4)「その場で」叱る (212~214ページより抜粋) 『働く人を育て、組織力を最大にする 短くても伝わる対話「すぐできる」技法』(森下裕道 著、大和書房) まず(1)は鉄則中の鉄則ですが、ひとつ重要なポイントがあるようです。感情的になるのではなく、冷静に大きな声を出すことが重要だというのです。なぜならそうすれば、相手は「これは聞かなければならない!
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同じ事を何度も何度も聞かれ、 飽き飽きしていませんか? あまりにも同じ事を聞かれるので、 イライラする事もあり、 子どもは納得していないまま、 会話を強制終了する事も… 発達障害の子は、何度も同じ事を 繰り返し聞く事があります なぜ、そのような事が起こるのか?を 今回は書いていきたいと思います なぜ、同じ事を何度も聞くの? 「さっきも言ったのに、なんで同じ事聞くの? ?」 と、こんな場面ありませんか? その行動、理由があります!!
●何度も同じことを聞く人が嫌いの心理 おはようございます UMIでカウンセリング勉強中の 鍼灸あん摩マッサージ指圧師 しまもとゆか です♡ 先日、同期の たかちゃん と カウンセリングの練習をしてました。 コーチングもされてるたかちゃんは 流れが本当にスムーズで勉強になりました! 今日は話すことないなぁ。なんて言ってたのに 悩みじゃなくても、もやっとしたことを 探してみようと考えたらありました。 あるんですよー、これが! 笑 モヤっとした出来事 その時思い出したのは、先週の父とまた同じことで 喧嘩した!と母に聞いてもやっとしたことでした。 何が気になるの?と、聞かれ 喧嘩の原因が、いつもと同じだったから。 と、答えました。 母に、いつも父との喧嘩の相談をされ アドバイスが欲しいというから アドバイスしてるのに、毎度同じことで喧嘩! アスペルガー積極奇異型【しつこい！同じ事を聞く夫。理由は安心したい】 |. 先週聞いた喧嘩もそうでした。 繰り返しになりますが、大事なのは出来事ではなく 自分が、それをどう思って、どう感じたかです。 私はそれを見て、前にも言ったのに 全然聞いてないじゃん!! 何度言っても無駄じゃん! と思ったのですが、ここまで話して とあることに気付きました・・・ 繰り返されてた思い そうだ、私 何度も同じこと聞いてくる人が 嫌いなんだった!