行の余因子展開 $A$ の行列式を これを (第 $i$ 行についての) 余因子展開 という。 列の余因子展開 を用いて証明する。 行列 $A$ の 転置行列 $A^{T}$ の行列式を第 $i$ 列について余因子展開する。 ここで $a^{T}_{ij}$ は行列 $A^{T}$ の $i$ 行 $j$ 列成分であり、 $\tilde{M}_{ji}$ $(j=1, 2, \cdots, n)$ は 行列 $A^{T}$ から $j$ 行と $i$ 列を取り除いた小行列式である。 転置行列の定義 より $a_{ij}^T = a_{ji}$ であることから、 一般に 転置行列の行列式はもとの行列の行列式に等しい ので、 ここで $M_{ij}$ は、 行列 $A$ の第 $i$ 行と第 $j$ 列を取り除いた小行列である。 この関係を $(*)$ に代入すると、 左辺は $ |A^{T}| = |A| である ( 転置行列の行列式) ので、 これを行列式 $|A|$ の ($i$ 行についての) 余因子展開という.
このデータで結果を確かめるには,Excelに数値を転記する必要はなく,Web画面上で範囲をドラッグ&コピーしてから,Excel上で単純にペーストする(貼り付ける)とよい. (以下の問題も同様)
余因子展開というのは、\(4×4\)行列を\(3×3\)行列にしたり、\(5×5\)行列を\(4×4\)行列にしたりと、行列式を計算するために行列を小さくすることができるワザである。 もちろん、\(3×3\)行列を\(2×2\)行列にすることもできる。 例えば、\(4×4\)行列を、縦1列目で余因子展開したとする。 このとき、\(a_{11}\)を行列式の外に出してしまって、残りの縦1列成分と、横1行成分は全て消滅させてしまう。すると、\(3×3\)行列だけが残るのである。 私はこの操作に、某、爆弾ゲームのようなイメージが沸いた。 以降、\(a_{21}\)、\(a_{31}\)、\(a_{41}\)成分も本体の行列から出してしまって、残りを小さい行列式に崩してやる。 符号だけ注意が必要だ。 取り外した行列成分の行番号と列番号の和が偶数なら+、奇数なら- になる。
余因子展開 まぁ余因子展開の定義をダラダラ説明してもしょうがないんで、まずは簡単な例を見てみましょう。 簡単な例 これが 余因子展開 です。 どうやって画像のような計算を行ったかというと、 こんな計算を行っているのです。 こうやって、「 行列式を余因子の和に展開して計算する 」のが余因子展開です。 くるる 意外と簡単っすねぇ~~♪ 余因子展開は 1通りだけではありません。 例えば、 としてもいいですし、 としても結果は同じです。 つまり、 どの列を軸にしても余因子展開の結果は全て同じ になるというわけです。 なぜこんなことが言えるのか? そもそも行列式には以下のような性質があります。 さらに、こんな性質もあります。 なぜ2つ目の行列の符号が「-」になるのか疑問に思う方もいるかもしれませんが、「 計算の都合を合わせようとするとそうなった 」だけです。つまりそういうもんなのです。 このような性質から、成り立つのが余因子展開なのです。 余因子展開のメリット 余因子展開最大のメリットは「 三次以上の行列式が解ける 」ことです。 例えば、 \begin{vmatrix} 2 & 1 & 5 & 3\\ 3 & 0 & 1 & 6\\ 1 & 4 & 3 & 3\\ 8 & 2 & 0 & 1 \end{vmatrix} という四次行列式を考えましょう。 四次行列式には公式的なものはなく、定義に従ってやれば無理やり展開できなくもないですが、かなり面倒です。 こんなときに余因子展開が役に立ちます 先生 2列目で余因子展開してしまいましょう。すると、、、 となり、なんと 四次行列式を三次行列式を計算することで求める ことが出来てしまいました(^^♪ こんな調子で五次行列式も六次行列式も求めることが出来るのです。 これかなり便利ですよね? 行列式 余因子展開 4行 4列. 最後に 今回は少し短めですが、キリがいいのでここで終わります。 今回の余因子展開は行列式の計算において 頻繁に 出てくるので、何度も計算練習をして、速く計算できるようにしておくのがいいでしょう! 最後まで見て頂きありがとうございました! 先生
まとめ 今回の記事では行列式の重要な性質を解説しました。 $n$行$n$列の正方行列$A$に対して $k$行と$l$行が等しいければ行列式$|A|$は0である。 $k$列と$l$列が等しいければ行列式$|A|$は0である。 行列式を簡単にするための重要な性質なので必ずマスターしておきましょう(^^)/ 参考にする参考書はこれ 当ブログでは、以下の2つの参考書を読みながらよく使う内容をかいつまんで、一通り勉強すればついていけるような内容を目指していこうと思います。 大事なところをかいつまんで、「これはよく使うよな。これを理解するためには補足で説明をする」という調子で進めていきます(^^)/
1. 記事の目的 以下の記事で、 行列式 の定義とその性質について述べた。本記事では 行列式 の展開方法である余因子展開について述べ、連立一次方程式の解法への応用について述べる。 2.
■行列式 → 印刷用PDF版は別頁 【はじめに】 ○ 行列は,その要素の個数だけの独立した要素 から成りたっており,次のように [] や()で囲んで表します. ○ 行列式は1つの数 で,正方行列に対してだけ定義され,正方行列でないときは行列式を考えません. ○ 行列式の値 は,次のように | |や det() で囲んで表します. (英語で行列式を表す用語:determinantの略) ○ 【行列式の求め方 】 ・・・ 余因子展開 による計算 (1) 1次正方行列(1×1行列)の行列式はその数とする. 例 det(3)=3 ※ 1次正方行列については |3| の記号を使うと絶対値記号と区別がつかないので注意 (2) 2次正方行列 の行列式は, ad−bc とする. ※2次の行列式の値は,高校でも習い,覚えておくのが普通です =ad−bc 例 det =2·4−1·3=5 (3) 3次正方行列 の行列式は,次のように2次正方行列の行列式で定義できる. =a −d +g 例 =3(−20+12)−2(−16+6)+(−8+5)=−24+20−3=−7 ※3次正方行列だけに適用できるサリュの方法もあるが,サリュの方法は他の行列には適用できないので,ここではふれない. (4) 以下同様にしてn次正方行列の行列式は(n-1)次正方行列の行列式に展開したものによって帰納的に定義する.・・・(前のものによって次のものを定義する.) ※ 各成分 a ij に対して (−1) i+j a ij ×(その行と列を取り除いた行列の行列式) を 余因子 という. ※ 1つの列または1つの行についてすべての余因子を加えたものを 余因子展開 という. 余因子展開は,計算し易い行または列に関して行えばよく,どの行・どの列について余因子展開しても結果は変わらないということが知られている. たとえば,次の計算は,3次の行列式を第1列に関して余因子展開したものです. 同じ行列式で,第1行に関して余因子展開すると次のようになります. =3(−20+12)−4(−8+2)−(12−5)=−24+24−7=−7 【Excelで行列式を計算する方法】 正方行列の各成分が整数や分数の数値である場合は,Excelの関数MDETERM()を使って,行列式の値を計算することができます. 行列式 余因子展開 例題. =MDETERM(範囲) 例 例えば,次のように4×4行列の成分がA1:D4の範囲に書きこまれているとき A B C D E 1 1 2 3 -1 2 0 1 -2 5 3 2 3 0 2 4 -2 2 4 1 5 この行列式の値をセルE5に書きこみたければ,E5に =MDETERM(A1:D4) と書き込めばよい.結果は50になります.
船を利用したほうが移動費が節約できるような気がしますが、高速船トッピー&ロケットは 片道でも 大人1人11, 000円 程度します。さらに鹿児島空港からの リムジンバスも片道で1, 300円 です。 なので、 高速船 を利用した場合の交通費は片道11, 000円+1300円= 12, 300円程度です。 一方、 鹿児島から屋久島の 飛行機 はチケットの取得時期に応じて 5, 000円〜16, 000円ほど。 結論としては 早めの予約は飛行機のほうが割安 直前の予約は高速船が割安 しかし、交通運賃は変動するもの。飛行機も高速船も両方とも調べるのが確実です。 高速船トッピー&ロケットのツアーはH. I. 鹿児島本港〔高速船ターミナル〕桜島桟橋シャトル[鹿児島交通] [鹿児島中央駅方面] 時刻表 - NAVITIME. Sにあり H. S屋久島ツアー を見るとや船を使ったツアーが豊富に揃っています。さらにトレッキング付きのツアーもあるので、縄文杉等にも行きたいという方にはおすすめです。 船利用は時間がかかるので、できれば4日間プランがいいかもしれません。 ⇨H.
南埠頭シャトルバス 車窓 高速船ターミナル→鹿児島中央駅/ 鹿児島交通 高速船ターミナル1722発 - YouTube
「今から」。でしたらと14番乗り場から24分発を案内。まだ来てないと思いますが急いで。向こうに横断歩道があります。 16時26分 総合案内板前で男性「指宿へ、バスの最終は?」。17時17分です。あそこの16番乗り場から。「空港からのがありますよね」。はい。でもここは通りません。 横断歩道を走って渡った先の高校生、今一歩でバスに間に合わなかった。 鹿児島中央ターミナルビル1階の一角。テナント(旅行代理店)が抜けたままで、何だかさびしい。このビルは地下のテナント(飲食店)2軒も抜けたままだ。近くではLiーKa19・20が華やかにオープンしたというのに。
どうしても行きたかった屋久島。2017年の8月、念願かなってようやく行ってくることができました。 しかし、いざ行くとなるとわからないことだらけ 笑 ・そもそもどうやって島に行くのか(アクセス) ・屋久島の見どころは? (縄文杉しか知らない…) ・とりあえず縄文杉はどうやったら行けるのか ・時間はどれくらいかかるの? ・お金はどれくらいかかるの?
「わかりにくい」と定評がある鹿児島中央駅東口バスターミナル。なかでも混雑する5・6番乗り場を紹介します。 キャンセビルから見た鹿児島中央駅東口バスターミナル。ここに1番から19番までの乗り場(到着専用も)が配置されている。 アミュプラザ側から見たバスターミナルの略図。 5番乗り場。左の6番と共用になっていて、5・6番乗り場は1日当たりのバス乗り入れ本数が同ターミナルの中で一番多い。内訳は鹿児島駅前行きが240本、市役所前行きが159本、金生町行きが59本、港方面(桜島桟橋、北埠頭、南埠頭、高速船ターミナル、鹿児島新港)行きが81本の合計539本となっている。鹿児島交通、市営、南国交通、JR九州の4社4色のバスが入り混じって出入りする。 5番乗り場の時刻表。いろいろあってわかりにくい。 同。 6番乗り場。 この乗り場で特に戸惑っているのは港方面行きの客です。魅力的な島々への玄関口であるため、国外、県外からの客も多く、次々到着する539本のバスの中から、港方面行きを見つけるのに苦労しています。 ランキングに参加中。クリックして応援お願いします! 最新の画像 もっと見る 最近の「日記」カテゴリー もっと見る 最近の記事 カテゴリー バックナンバー 人気記事
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