熱力学不等式と呼ばれています。 まとめ 多変数関数の極値を判定するためには、ヘッセ行列が有効です 具体的に多変数関数の極値を求める手順は、 極値をなる候補を一階微分から求める ヘッセ行列の固有値を求めて極値判定 まとめてみると意外と簡単ですね 皆さんも、手を動かして練習問題をたくさん時ヘッセ行列を使えるようになりましょう。 ABOUT ME
1 極値と変曲点の有無を調べる \(f'(x) = 0\) および \(f''(x) = 0\) となる \(x\) の値を求め、極値および変曲点をもつかを調べます。 \(y' = 6x^2 − 6x = 6x(x − 1)\) \(y' = 0\) のとき、\(x = 0, 1\) (極値の \(x\) 座標) \(y'' = 12x − 6 = 6(2x − 1)\) \(y'' = 0\) のとき、\(\displaystyle x = \frac{1}{2}\)(変曲点の \(x\) 座標) 極値、変曲点における \(x\), \(y\) 座標は求めておきましょう。 \(\displaystyle x = \frac{1}{2}\) のとき \(\displaystyle y = \frac{1}{4} − \frac{3}{4} + 1 = \frac{1}{2}\) 極値の \(x\), \(y'\), \(y\) 、および 変曲点の \(x\), \(y''\), \(y\) は埋めておきましょう。 STEP.
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極大値や極小値などの極値は関数によっては必ず存在するわけではありません。 極値を持つ条件と極値を持たない条件が良く聞かれるので説明しておきます。 極値とはどういうものか、そこから簡単な言葉で説明します。 数学らしい難しい言葉は後からで良いですよ。先ずは感覚的にとらえましょう。 極値を持つか見分けるグラフの概形 中学の数学から思い出して欲しいのですが、直線、つまり1次関数はコブがありません。 コブというのは数学らしい表現とはいえませんが、2次関数はコブが1つあります。 2次関数でいう「上に凸」とか「下に凸」などの凸のところです。 3次関数にはコブが2つあります。 わかりますか?コブ。 4次関数はコブが3つ、5次関数はコブが4つと増えていきます。 3次関数は一般的にはコブが2つあります。 しかし、コブがない単調増加するものも中にはあるのです。 このコブがない3次関数には極値は存在しません。 グラフでコブがないとき極値は存在しない、では余りにも雑なので数学の条件で表していきます。 極値(極大値や極小値)とは? そもそも極値とは、定義で説明すると難しいので簡単にいうと、 コブがあるかどうかなのですが、もう少し数学的にいうと 「増えて減っている」または「減って増えている」 点の値のことです。 もう少しいいでしょうか?