3 点を通る平面の方程式 | 滋賀県草津市矢橋町

Thu, 29 Aug 2024 08:43:49 +0000

5mm}\mathbf{x}_{0})}{(\mathbf{n}, \hspace{0. 5mm}\mathbf{m})} \mathbf{m} ここで、$\mathbf{n}$ と $h$ は、それぞれ平面の法線ベクトルと符号付き距離であり、 $\mathbf{x}_{0}$ と $\mathbf{m}$ は、それぞれ直線上の一点と方向ベクトルである。また、$t$ は直線のパラメータである。点と平面の距離法線ベクトルが $\mathbf{n}$ の平面と、点 $\mathbf{x}$ との間の距離 $d$ は、 d = \left| (\mathbf{n}, \mathbf{x}) - h \right| 平面上への投影点 3次元空間内の座標 $\mathbf{u}$ の平面上への投影点(垂線の足)の位置 $\mathbf{u}_{P}$ は、 $\mathbf{n}$ は、平面の法線ベクトルであり、規格化されている($\| \mathbf{n} \| = 1$)。 $h$ は、符号付き距離である。

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別解2の方法を公式として次の形にまとめることができる. 同一直線上にない3点 , , を通る平面は, 点を通り,2つのベクトル , で張られる平面に等しい. 3つのベクトル , , が同一平面上にある条件=1次従属である条件から【3点を通る平面の方程式】同一直線上にない3点,, を通る平面の方程式は同じことであるが,この公式は次のように見ることもできる. 2つのベクトル , で張られる平面の法線ベクトルは,これら2つのベクトルの外積で求められるから, 平面の方程式はと書ける.すなわちベクトルのスカラー三重積については,次の公式がある.,, のスカラー三重積はに等しい. そこでが成り立つ. 3点を通る平面の方程式線形代数. (別解3) 3点,, を通る平面の方程式はすなわち 4点,,, が平面上にあるとき …(0) …(1) …(2) …(3) が成り立つ. を未知数とする連立方程式と見たとき,この連立方程式がという自明解以外の解を持つためには …(A) この行列式に対して,各行から第2行を引く行基本変形を行うとこの行列式を第4列に沿って余因子展開すると …(B) したがって,(A)と(B)は同値である. これは,次の形で書いてもよい. …(B)

点と平面の距離とその証明点と平面の距離 $(x_{1}, y_{1}, z_{1})$ と平面 $ax+by+cz+d=0$ の距離 $L$ は $\boldsymbol{L=\dfrac{|ax_{1}+by_{1}+cz_{1}+d|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$ 教科書範囲外ですが,難関大受験生は知っていると便利です. 公式も証明も点と直線の距離と似ています. 証明は下に格納します. 証明例題と練習問題例題 (1) ${\rm A}(1, 1, -1)$,${\rm B}(0, 2, 3)$,${\rm C}(-1, 0, 4)$ を通る平面の方程式を求めよ. (2) ${\rm A}(2, -2, 3)$,${\rm B}(0, -3, 1)$,${\rm C}(-4, -5, 2)$ を通る平面の方程式を求めよ. (3) ${\rm A}(1, 0, 0)$,${\rm B}(0, -2, 0)$,${\rm C}(0, 0, 3)$ を通る平面の方程式を求めよ. (4) ${\rm A}(1, -4, 2)$ を通り,法線ベクトルが $\overrightarrow{\mathstrut n}=\begin{pmatrix}2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}$ である平面の方程式を求めよ.また,この平面と $(1, 1, 1)$ との距離 $L$ を求めよ. (5) 空間の4点を,${\rm O}(0, 0, 0)$,${\rm A}(1, 0, 0)$,${\rm B}(0, 2, 0)$,${\rm C}(1, 1, 1)$ とする.点 ${\rm O}$ から3点 ${\rm A}$,${\rm B}$,${\rm C}$ を含む平面に下ろした垂線を ${\rm OH}$ とすると,$\rm H$ の座標を求めよ. (2018 帝京大医学部) 講義どのタイプの型を使うかは問題に応じて対応します. 平面の方程式とその３通りの求め方 | 高校数学の美しい物語. 解答 (1) $z=ax+by+c$ に3点代入すると $\begin{cases}-1=a+b+c \\ 3=2a+3b+c \\ 4=-a+c \end{cases}$ 解くと $a=-3,b=1,c=1$ $\boldsymbol{z=-3x+y+1}$ (2) $z=ax+by+c$ に3点代入するとうまくいかないです.

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