■積和の公式. 和積の公式の練習問題 【解説】 積を和に直す公式 (以下において,積和の公式と略す) 三角関数の加法定理を2つ組み合わせることにより,次の公式が得られます. sin (α+β)= sin α· cos β+ cos α· sin β +) sin (α−β)= sin α· cos β− cos α· sin β 2 sin α· cos β= sin (α+β)+ sin (α−β) sin α· cos β= { sin (α+β)+ sin (α−β)}…(1) 同様にして sin (α+β) と sin (α−β) の差, cos (α+β) と cos (α−β) の和差を作ることにより,以下の公式が得られます. cos α· sin β= { sin (α+β)− sin (α−β)}…(2) cos α· cos β= { cos (α+β)+ cos (α−β)}…(3) sin α· sin β=− { cos (α+β)− cos (α−β)}…(4) ※(2)の公式は(1)の公式の α, β を入れ替えただけのものなので,覚えないという考え方もあります. 和を積に直す公式 (以下において,和積の公式と略す) 左の公式(1)において α+β=A, α−β=B とおくと, α=, β= となるので, 左辺と右辺を入れ替えると次の公式が得られます. 和 と 差 の 公式ブ. sin A+ sin B=2 sin cos …(5) 同様にして(2)(3)(4)から以下の公式が得られます. sin A− sin B=2 cos sin …(6) cos A+ cos B=2 cos cos …(7) cos A− cos B=−2 sin sin …(8)
という乗法公式の考え方でこの因数分解をすることができます。 \(8\) と \(-8\) の \(2\) つの積が \(-64\)、和が \(0\) なので、 スポンサーリンク 次のページ 置き換えを利用する因数分解 前のページ 因数分解・乗法公式
3つの数の和差算 「中」と「大」を「小」の長さに切りそろえている 「和差算って何?」という小学4年生や「解き方をマスターしたい」「応用発展問題を解きたい」という中学受験生の方、おまかせ下さい!東大卒講師歴20年の図解講師「そうちゃ」基本から応用・難問までを総まとめしました♪この記事を読めば和差算はもう大丈夫です。 プリント57枚全285問が無料で利用できます。目次の「プリントダウンロード」をクリックして下さい。 線分図の書き方(復習) 爽茶 そうちゃ こんにちは!「そうちゃ」 @ zky_tutor ( プロフィール)です。 和差算は線分図で習うことが多いので、あらかじめ線分図に慣れておくと良いですよ! 二つの数量の関係を表す線分図は「和」「差」「比」の三種類です(図1)。「和」と「差」を組み合わせると「和」 「差」 算ができます(図2) 図1:二量の関係 左から「和」「差」「比」の線分図 図2:和差算 「AとBの合計は○で AはBより○大きい」 類似分野の 「 分配算 」「年齢算」 も参考になると思います。 では、実際に線分図を使って和差算を解いてみましょう! 和と差に関する対数の性質について | 数学II | フリー教材開発コミュニティ FTEXT. 和差算の基本 和差算は、2つの数の「和」と「差」からそれぞれの大きさを求める問題です。 (参考: ウィキペディアによる解説) まず、基本の解き方をマスターしましょう! 和差算の基本解法 基本解法をまとめるとこうなります。 練習したい人はこちらをどうぞ。 2つの数A、Bの和が44でBがAより6小さい時、Bの大きさを求めよ。 ヒント ❶線分図を書く→❷「小」に切りそろえる(和-差)→❸(和-差)÷2で「小」を求める→❹「小」+差で「大」を求める の手順で 解答 [su_spoiler title="表示" style="fancy" icon="chevron-circle" class="std no-trn pale"] ❶問題文を読むとBの方が小さいと分かるので、Aを「大」Bを「小」として線分図を書きます。そして和44と差6を書き込みます。 線分図に和と差を書き込んだところ ❷ここで「はみ出た」部分をチョキン! と切り取ります 「和-差」が小2つ分だと分かります。 ❸すると、切り取った分6減って合計は38になり、これは「小」2つ分です。したがって、「小(B)」=38÷2=19 です。 ❹一方「大(A)」は「小」より6大きいので、19+6=25 と分かります。 B= 19 [/su_spoiler] 「もう少し詳しい説明が見たい」「もっと練習したい」人や、は関連記事 「ちがいに目をつけて」 を見て下さい。 慣れてきたら、公式一発で!
和と差に関する対数の性質について 常用対数表 には,$10$を底とする対数の概算値がまとめてある. この表によれば \begin{align} &\log_{10}2\fallingdotseq0. 3010~, \\ &\log_{10}4\fallingdotseq0. 6021~, \\ &\log_{10}8\fallingdotseq0. 9031 \end{align} なので (\log_{10}8=)~\log_{10}(2\cdot4)=\log_{10}2+\log_{10}4 が成り立っているのがわかる. このような関係が成り立つのは偶然ではなく,一般的には次のようにまとめられる. 和と差に関する対数の性質 $a $は$a > 0,a\neq1$を満たし,$M > 0,N > 0$とするとき 1. $\log_a{MN}=\log_a{M}+\log_a{N} $ 1'. $\log_a\dfrac{M}{N}=\log_a{M}-\log_a{N}$ が成り立つ. たとえば,$\log_218 = \log_23 + \log_26$,$\log_3\dfrac{2}{5} = \log_32 − \log_35$などもいえる. 三角関数の和（差）を積に直す公式の証明とその応用. 吹き出し和と差に関する対数の性質について 似ているが,下の式は成立しないので気をつけよう. &(\times)\log_aM\log_aN=\log_aM+\log_aN~~, \\ &(\times)\dfrac{\log_aM}{\log_aN}=\log_aM-\log_aN 暗記和と差に関する対数の性質の証明 実数に拡張された指数法則 1. $a^xa^y=a^{x+y}$ 1'. $\dfrac{a^x}{a^y}=a^{x-y}$ に,$a$を底とする対数を考えることにより, 和と差に関する対数の性質 1. $\log_a{MN}=\log_a{M}+\log_a{N}$ 1'. $\log_a\dfrac{M}{N}=\log_a{M}-\log_a{N}$ を証明せよ. 1.
平方の公式 展開の公式があと \(2\) つありました。 それ対応する因数分解が当然 \(2\) つあります。 まずは平方の公式です。 \(x^2+2ax+a^2=(x+a)^2\) \(x^2-2ax+a^2=(x-a)^2\) 例題1 次の式を因数分解しなさい。 \(x^2+8x+16\) 解説 まずは前回習得した方法で因数分解をしてみましょう。 積が \(+16\) になる数を書き出します。 その中で、和が \(+8\) になるものを探します。 つまり、 \(x^2+8x+16=(x+4)(x+4)=(x+4)^2\) \(x^2+8x+16=(x+4)^2\) ということです。 うまく因数分解ができました。 平方の公式の利用 ところで、定数項が平方数であるとき、 この「平方の公式」 が使えるかも!?
和と差の積の展開公式 - YouTube
これは小学校の「計算のきまり」という単元で学ぶものですが、結構な人が「そう決まってるんだ、ふーん」で通り過ぎがちな部分でもあります。 このきまりは実は、四則計算を間違いなく遂行するにあたりとっても便利なもの!なのですが、これを「どの数でも成り立つことを、誰にでもわかるように」証明することは、少々難しい話になります…。 なので、今回はまず「どう考えたら自分が納得いく説明になるか」ということを私なりに考えてみました。(大切!) ここでは掛け算の場合を例にとります。 ■例題■ あなたはパン屋さんでメロンパン2個と、ロールパン(2個セット)を3袋買いました。 さて、合計でパンを何個買ったことになるでしょうか?
こんにちは。 東京 新宿・中野の石けん教室 しゅわしゅわしゃぼんの会 一社)ハンドメイド石けん協会 シニアソーパー 講師 YUKI です ♥︎ いつもブログをご覧いただき、ありがとうございます 最近、教室でしか石けんを作っていなかった生徒さんが続々と、 苛性ソーダが手に入りました! お家で作りました!と、ご報告を下さっています。 私が対面レッスンが出来てないのが申し訳ないのですが また石けんが作りたい!と思って下さったことが、とても嬉しいです 私の目標は、教室立ち上げ当初から、 「 お家で石けんを作る人を増やす 」こと もちろん、教室で作って下さるのはとても嬉しく、 ご事情によりお家では作れないという方もいらっしゃると思いますが、 可能であれば、お家でも石けんを作れたら、 さらに手作り石けんを楽しめるかもしれません。 (安全にはしっかりと留意して) これまで対面でレッスンを受けられていて、 私も家で作りたいけど、どうしたらいいの?という生徒様、 ぜひお気軽にご連絡下さいね~! お問い合わせ 先日、こんなご質問を頂きました。 生徒様:「私がレシピを計算したら鹸化率が●%になりました。先生の使っている 鹼化価 を教えて下さい 」 とても良いご質問です✨ ご自身で計算されているところも素晴らしいです。 その前にちょっとご説明。 鹸化価(けんかか)とは・・・ 「オイル1gを石けんに変えるのに必要な、苛性カリのmg数」 のこと。 例えば、私の持っている本には オリーブオイルの鹸化価は「191」と載っています。 「オリーブオイル1 g 」をすべて石けんに変えるのに、 「苛性カリ0. 191 g 」が必要だということです。 ただ、固形石鹸を作るのに使うのは苛性カリではなく、苛性ソーダなので、 苛性カリの数値から苛性ソーダの数値に直して、計算していきます。 この計算は、石けん作りの本や教室で、石けん作りの基礎を学ぶことで 自分で計算することが出来ますし、計算してくれるサイトもあります。 長くなるので、ここでは割愛させて頂きますね。 ではここから、ちょっと実験です。 例えば オリーブ400gココナツ300g、パーム200g 鹸化率92% の石けんを作る場合について。 (※鹸化率:簡単に言うと今回使ったオイルの何パーセントを石けんにしますよーという割合のこと。例えば鹸化率92%なら使ったオイルのだいたい92%が石けんになっているというイメージ。) 様々なアルカリ計算サイトやアプリで、 必要な苛性ソーダの量を計算してみました。 その結果・・・(サイト名は伏せています) サイト 苛性ソーダ量 A 126g B 127.
6 菜種油|レイプシードオイル 190. 3 ナツメグバター|ニクズク油 164. 1 229. 7 ニームオイル 192 ニガウリ油 137. 2 192. 1 バオバブオイル 138. 9 194. 4 パッションフルーツシードオイル ハトムギ油|ヨクイニン油 パパイアシードオイル ババスオイル 173. 6 243. 1 パーム油|パームオイル 141. 8 198. 6 パーム核油|パームカーネルオイル 171. 6 240. 3 パンプキンシードオイル ピーチカーネルオイル 136. 6 191. 2 ピーナッツオイル|落花生油 135. 7 190 ピスタチオオイル 138. 2 ひまし油|カスターオイル 129. 9 181. 8 ひまわり油(高オレイン型)|サンフラワーオイル 136 ひまわり油(高リノール型)|サンフラワーオイル ブラジルナッツオイル ブラックカラントオイル|カシスオイル ブラッククミンシードオイル プルーンシードオイル|プラムカーネルオイル ヘーゼルナッツオイル 136. 5 191. 1 ペカンナッツオイル 紅花油(高オレイン型)|サフラワーオイル 紅花油(高リノール型)|サフラワーオイル ヘンプシードオイル ホホバオイル 65. 2 91. 3 ボラージオイル 190. 4 マカダミアナッツオイル 139. 3 195 松の実油|パインシードオイル マスタードオイル 124. 8 174. 7 マルラオイル マンゴーバター ミルクシスルオイル ムルムルバター 167. 6 234. 6 メドウフォームオイル 121. 4 170 綿実油|コットンシードオイル 139. 5 195. 3 モリンガオイル 133. 3 186. 6 柚子油|ゆずオイル 138. 4 193. 8 ライムシードオイル 140 196 ラズベリーシードオイル りんご油|アップルシードオイル レモンオイル 139. 1 194. 7 ローズヒップオイル けん化をゼロから理解する:油脂ごとに調べる方法 けん化価は、肌に使う石鹸をつくるにはとても大切な数値ですが、実際商品やロットによって常に変動する数値です。 けん化 価は、オイルに含まれる脂肪酸の種類と量が関係していて、それらは同じオイルでも少しづづ違うからです。一般的に言われている けん化 価というのはありますが、ばらつきがあり、実際自分の手元にあるオイルの正確な けん化 価を示しているわけではありません。ここでは細かく けん化 価を調べたい人や、化学が苦手でもゼロから理解したい人のために細かく説明しています。あるアーモンドオイルの けん化 価を例に挙げています。 ※用語注意※ 苛性ソーダ=水酸化ナトリウム=NaOH 苛性カリ=水酸化カリウム=KOH グリセロール(グリセリン)と脂肪酸がエステル結合している「油脂」のけん化価を調べる方法です。石鹸に使用するほとんどがこの油脂に当てはまりますが、ホホバオイルやみつろうのような「ワックス」に分類されるものは計算方法が異なります!
5 g C 126. 2 g D 128g E 127. 7 g F 122. 4g 必要な苛性ソーダの量は、 最大128g、最少122. 4g 約 5. 6gの差 が出ました。 皆さまも使っているアルカリ計算機があったら 比べてみて下さいね(*^-^*) ということで、、 お分かりいただけたかと思いますが、 アプリやサイトによって、出てくる苛性ソーダの量は違います。 投入したオイルの種類や量は全く同じですので、 苛性ソーダの量を出すための、鹸化価の数値が違う 、ということになります。 だからご質問者様も、自分で計算してみて あれ?私のと違う?と 疑問に思って、ご質問下さったのですね。 それでは何故、それぞれのサイトで鹸化価が違うのでしょうか?
尚且つ、同じオリーブオイルだったとしてもメーカーにより違いがありますし、通常お店などで売られているオイルには鹸化価の数値は記載されていません。 ですので手作り石鹸においてそういった鹸化価の数値が書かれていないオイルの場合は、本などを参考にして同じオイルの鹸化価を目安にしてせっけんを作っていきます。 ですので100%石鹸にしないでディスカウントして作成していきます。 (ティスカウントについては次の項目で!) よく、石鹸の材料や道具を売っているお店の通販サイトにはけん化価の数字が記載されていますのでその数値をもとにして必要なアルカリの量を計算していきますが、この数値は苛性カリ(水酸化カリウム)での数値で表すことが一般的とのことです。 ですので苛性ソーダ(水酸化ナトリウム)の使用の際に は数値を換算していきますが、すでに科学者の方々による決まった数値が導かれてます。 苛性ソーダを使用する場合には、調べた鹸化価の数値に下記の数値をかけます。 0.173(40.4/56.1)です。 例えば鹸化価《258》のオイルだった場合 258×(0.173)=183.954と求められます。 苛性ソーダ使用の石鹸時は183.954を使用してアルカリの量を求めていきます。 苛性ソーダの計算式と鹸化率《けん化価とアルカリの計算方法①》:手作り石鹸の必要な苛性ソーダ計算方法とは? さて、上記で鹸化価の数値の出し方をご説明しましたのでいよいよ苛性ソーダ(アルカリ)の使用量の計算方法をみていきましょう! 計算結果は同じになるのですが、アルカリ(苛性ソーダ)の計算方法はいくつかやり方があります。 まずは上記で求めた鹸化価の数値を使用するやり方を今回は見ていきます。 苛性ソーダ計算方法 基本式は 《オイルの分量》×《鹸化価》×《0. 713》÷1000=苛性ソーダの分量(g) マルセイユ石鹸を例にとってみていきましょう。 250gバッチのマルセイユ石鹸の使用オイルは オリーブオイル(72%)180g ココナッツオイル(18%)45g パームオイル(10%)25g オイルはそれぞれ一つずつ計算をして出していきます。【小数点第一を四捨五入します】 【オリーブオイル】180×(190. 6×0.713)÷1000=24.461604と出てきますが小数点第一位までをまずは記載します。ので【24.4】となります。 【ココナッツオイル】45× (258×0.713)÷1000=【 8.2】 【パームオイル】25×(203×0.713)÷1000=【 3.6】 次に 【小数点第一を四捨五入します】 オリーブオイル【24】 ココナッツオイル【8】 パームオイル【4】 となります。 この数値をすべて足していきます。 24+8+4=36 となりますがこの分量をすべて加えるわけではありません!
5位の弱酸性なので、それに近いほど刺激が少ないものになります。あまり低すぎても、今度は洗浄力が弱まってしまいます。JIS規格では石鹸のpH値は9~11です。そのため、実際に売られている商品はよりさっぱりしていて、手作りの石鹸はよりしっとり刺激が少ないものになります。 次はこれを要チェック
1. 使用したい油脂の含有脂肪酸を調べる 油脂はいくつもの脂肪酸で成り立っています。その脂肪酸の種類と含有量でその油脂の特徴が変わってきます。脂肪酸がどのような割合で含まれているかは、同じ種類の油脂でも商品やロット、季節によって変動があります。まず、手元にある油脂の脂肪酸組成をチェックしてみてください。※脂肪酸の基本を知りたい場合は「 脂肪酸とは? 」のページへ。 例をこの四角の中で説明していきます。あるアーモンドオイルの脂肪酸の割合は・・・ オレイン酸80%、リノール酸14% パルミチン酸6% 2. 各脂肪酸の分子式を調べる 含まれる脂肪酸が分かったら、その脂肪酸の分子式を調べます。※脂肪酸のリストと分子式・分子量は「 脂肪酸とは? 」のページでチェックできます。 オレイン酸 C 18 H 34 O 2 リノール酸 C 18 H 32 O 2 パルミチン酸 C 16 H 32 O 2 3. 各脂肪酸の分子量を求める 次に、脂肪酸の分子式から分子量を求めます。(分子量は自分で求めなくても調べられますが、ここでは細かく説明しています。) ※同じく、脂肪酸のリストと分子式・分子量は「 脂肪酸とは? 」のページでチェックできます。 原子量の決まり: C=12, H=1, O=16, Na=23, K=39 オレイン酸 C 18 H 34 O 2 = 12×18+34+16×2 = 216+34+32 = 282 リノール酸 C 18 H 32 O 2 = 12×18+32+16×2 = 216+32+32 = 280 パルミチン酸 C 16 H 32 O 2 = 12×16+32+16×2 = 192+32+32 = 256 →オレイン酸の分子量=282、リノール酸の分子量=280、パルミチン酸の分子量=256 4. その油脂に含まれる、脂肪酸平均分子量を求める 次に、調べたい油脂に含まれる脂肪酸の平均分子量を求めます。 公式① 脂肪酸の平均分子量=各脂肪酸の分子量x含有%を全て足したもの ここで選んだアーモンドオイルの場合、1より、オレイン酸80%、リノール酸14% パルミチン酸6%だったので・・・ 282×0. 8+280×0. 14+256×0. 06 = 225. 6+39. 2+15. 36 = 280. 16 → このアーモンドオイルに含まれる脂肪酸の平均分子量は約280 5.