3. 2 漸化式と極限
漸化式において平均値の定理を用いるのは、その漸化式が解けない\(x_{n+1}=f(x_n)\)で与えられていて、その数列\(x_n\)の極限を求める場合です。その場合、取る手順は以下のようになっています。
これが主な手順です。これを用いて以下の問題を解いてみましょう。(出典:東大理類)
東大の問題といえども、定石通り解けてしまいます。
それでは解答です!
数学 平均値の定理 一般化
平均値の定理(基礎編)
何となくよくわからないままにスルーしがちな「数学Ⅲ:【微分法の応用】での平均値の定理」。
実は「 もっとも役に立つ定理 」という異名があるほど、身につけると入試はもちろんそれ以降でも大活躍する理系必須の定理なんです! 今回はその基礎編として、"初めて習う人でも"最短で理解出来るように解説し、過去問を解いて知識を固めていきます。
平均値の定理とは?
以下では平均値の定理を使って解く問題を扱います. 例題と練習問題
例題
$ 0 < a < b $ のとき
$\displaystyle a\left(\log b-\log a\right)+a-b < 0$
を示せ. 講義
2変数の不等式の証明問題 に平均値の定理が有効なことがあります(例題のみリンク先と共通です). $\boldsymbol{f(a)-f(b)}$ の形が見えたら平均値の定理 による解法が楽で有効な手立てとなることが多いです. ロルの定理，平均値の定理 | おいしい数学. 解答
$f(x)=\log x$ とおくと,平均値の定理より
$\displaystyle \begin{cases}\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}=\dfrac{1}{c} \\ a < c < b \end{cases}$
を満たす実数 $c$ が存在.これより
$\dfrac{\log b-\log a}{b-a}=\dfrac{1}{c}< \dfrac{1}{a}$
$a(b-a)$ 倍すると
$\displaystyle a(\log b-\log a) < b-a$
$\displaystyle \therefore \ a(\log b-\log a)+a-b < 0$
練習問題
練習1
$e\leqq a< b$ のとき
$b(\log_{}b)^{2}-a(\log_{}a)^{2}\geqq 3(b-a)$
練習2 (微分既習者向け)
関数 $f(x)$ を
$f(x)=\dfrac{1}{2}x\left\{1+e^{-2(x-1)}\right\}$
とする.ただし,$e$ は自然対数の底である. (1) $x>\dfrac{1}{2}$ ならば $0\leqq f'(x)<\dfrac{1}{2}$ であることを示せ. (2) $x_{0}$ を正の数とするとき,数列 $\{x_{n}\}$ $(n=0, 1, \cdots)$ を $x_{n+1}=f(x_{n})$ によって定める.$x_{0}>\dfrac{1}{2}$ であれば
$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_{n}=1$
であることを示せ. 練習の解答
数学 平均値の定理は何のため
以下順を追って解説していきます。
解説
・とにかく左辺のカッコの内側に\(\log{a}-\log{b}\)、\(右辺にa-b\)があるので、 平均値の定理のサインであると気付きます 、
\(a(\log{a}-\log{b}) \)
実際の問題文は上の様にaがかかっていますが、
大体の場合自然と処理する事ができるので、大きなサインを優先します!
Tag: 東大入試数学の良問と背景知識まとめ
数学 平均 値 の 定理 覚え方
$ $f'(x)={(log x)'}{log x}={1}{xlog x}$ 平均値の定理より ${log(log q)-log(log p)}{q-p}={1}{clog c(p
2 平均値の定理の証明
ついに 平均値の定理の証明 です。ロルの定理を用いたいので、関数\(f(x)\)に、「端点の値が等しい」というロルの定理の条件を満たすような\(g(x)\)を考えてみましょう。
それでは証明です。
関数:\(g(x)=f(x)+\alpha x\)を考えてみましょう。このとき
\[g(a)=g(b)\]
なる\(\alpha\)を探します。それぞれ代入すると
\[\quad f(a)+\alpha a=f(b)+\alpha b\]
\[∴\alpha =-\displaystyle\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\]
となり、
\[g(x)=f(x)-\displaystyle\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\]
という関数が、\(g(a)=g(b)\)を満たすことが分かりました。
よってロルの定理より
\[g'(c)=0 \quad (a1\)で連続∧微分可能な関数です。
\[f^{\prime}(x)=\frac{(\log x)^{\prime}}{\log x}=\frac{1}{x \log x}\]
ここで、 平均値の定理 より
\[\frac{\log (\log q)-\log (\log p)}{q-p}=\frac{1}{c \log c}(p
学園ドラマの金字塔、「3年B組金八先生」。1979年から2011年まで、なんと32年間にわたり放送されました。全8シリーズに加えて12回のスペシャルを合わせて、全185話あり、現在、動画配信サービス「Paravi(パラビ)」で全話を順次配信しています。今回は、上戸彩が性同一性障害の生徒を演じた第6シリーズ。実は見応えのあるエピソードが満載の第6シリーズを上戸彩以外で振り返ります。
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学園ドラマの金字塔、「3年B組金八先生」。1979年から2011年まで、なんと32年間にわたり放送されました。全8シリーズに加えて12回のスペシャルを合わせて、全185話あり、現在、動画配信サービス「Paravi(パラビ)」で全話を順次配信しています。生徒が薬物に手を出したり、飛び降り自殺を図ったり、衝撃展開の連続の第7シリーズ。金八先生の生みの親・脚本家の小山内美江子が途中降板して変わったこととは。
記事末尾でコメント欄オープン中です! 前回はこちら: 「3年B組金八先生」上戸彩の輝き。性同一性障害問題を知らしめた金字塔 第6シリーズ#2
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12話:2005年1月14日 一命は取り留めた崇史(鮎川太陽)だが、意識は戻らず予断を許さない容体だ。金八(武田鉄矢)は病院から学校へ戻る前にしゅう(八乙女光)の家に立ち寄る。 今すぐこのドラマを無料レンタル! 13話:2005年1月21日 空席が目立つ教室で、金八(武田鉄矢)は崇史(鮎川太陽)の容体には変化が見られないことを伝え、いつものように出席を取り始める。 今すぐこのドラマを無料レンタル! 14話:2005年1月28日 推薦入試の試験を控えている"車掌"(=博明/府金重哉)。しかし車掌にはどうしても試験の前に済ませておきたいことがあった。クラスのある女子への恋の告白である。 今すぐこのドラマを無料レンタル! 15話:2005年2月4日 3Bでも早くも数人の生徒は推薦入試で合格。金八(武田鉄矢)とクラスメートたちの祝福を受ける。学級委員の健一郎(筒井万央)も合格を決めたが、その表情はなぜか暗い。 今すぐこのドラマを無料レンタル! 16話:2005年2月11日 しゅう(八乙女光)は、高校進学はせずに中学卒業後は働くと言い張っていた。金八(武田鉄矢)はしゅうの母・光代(萩尾みどり)としゅうの進路について話し合う。 今すぐこのドラマを無料レンタル! 17話:2005年1月18日 3Bの姫野麻子(加藤みづき)は受験会場へ向かうためにバスを待っていた。すると麻子の目の前で、お年寄りが胸を押さえて苦しみ出した。試験の開始時刻は迫っていたが…。 今すぐこのドラマを無料レンタル! 18話:2005年2月25日 しゅう(八乙女光)は母・光代(萩尾みどり)の努力もむなしく、未だに覚せい剤の禁断症状から脱せない様子。舞子(黒川智花)だけが彼の薬物常用を確信していたが…。 今すぐこのドラマを無料レンタル! 19話:2005年3月4日 金八(武田鉄矢)は3Bの生徒たちを教室に集め、「これがしゅう(八乙女光)との最後の授業です」とドラッグの害に関する授業を始める。 今すぐこのドラマを無料レンタル! 20話:2005年3月11日 しゅう(八乙女光)の覚せい剤使用発覚を受けて、その夜、桜中学では父母や地域住民への説明会が開催された。父兄からは金八の対応を非難する声が次々とあがる。 今すぐこのドラマを無料レンタル! ドラマ｜３年Ｂ組金八先生第７シリーズの動画を全話無料視聴できる公式動画配信サービス | VODリッチ. 21話:2005年3月18日 退職願を提出した金八(武田鉄矢)に板橋新校長(木野花)は驚き、その理由を尋ねる。職員室の教師たちは金八が受けた精神的打撃の大きさを感じ取り心配する。 今すぐこのドラマを無料レンタル!
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