この記事は最終更新日から1年以上が経過しています。内容が古くなっているのでご注意ください。 はじめに 二項定理はアルファベットや変な記号がたくさん出てきてよくわかんない! というあなた。 確かに二項定理はぱっと見だと寄り付きにくいですが、それは公式を文字だけで覚えようとしているから。「意味」を考えれば、当たり前の式として理解し、覚えることができます。 この記事では、二項定理を証明し、意味を説明してから、実際の問題を解いてみます。さらに応用編として、二項定理の有名な公式を証明したあとに、大学受験レベルの問題の解き方も解説します。 二項定理は一度慣れてしまえば、パズルのようで面白い単元です。ぜひマスターしてください!
二項定理の多項式の係数を求めるには? 二項定理の問題でよく出てくるのが、係数を求める問題。 ですが、上で説明した二項定理の意味がわかっていれば、すぐに答えが出せるはずです。 【問題1】(x+y)⁵の展開式における、次の項の係数を求めよ。 ①x³y² ②x⁴y 【解答1】 ①5つの(x+y)のうち3つでxを選択するので、5C3=10 よって、10 ②5つの(x+y)のうち4つでxを選択するので、5C4=5 よって、5 【問題2】(a-2b)⁶の展開式における、次の項の係数を求めよ。 ①a⁴b² ②ab⁵ 【解答2】 この問題で気をつけなければならないのが、bの係数が「-2」であること。 の式に当てはめて考えてみましょう。 ①x=a, y=-2b、n=6を☆に代入して考えると、 a⁴b²の項は、 6C4a⁴(-2b)² =15×4a⁴b² =60a⁴b² よって、求める係数は60。 ここで気をつけなければならないのは、単純に6C4ではないということです。 もともとの文字に係数がついている場合、その文字をかけるたびに係数もかけられるので、最終的に求める係数は [組み合わせの数]×[もともとの文字についていた係数を求められた回数だけ乗したもの] となります。 今回の場合は、 組み合わせの数=6C4 もともとの文字についていた係数= -2 求められた回数=2 なので、求める係数は 6C4×(-2)²=60 なのです! ② ①と同様に考えて、 6C1×(-2)⁵ = -192 よって、求める係数は-192 二項定理の分母が文字の分数を含む多項式で、定数項を求めるには? さて、少し応用問題です。 以下の多項式の、定数項を求めてください。 少し複雑ですが、「xと1/xで定数を作るには、xを何回選べばいいか」と考えればわかりやすいのではないでしょうか。 以上より、xと1/xは同じ数だけ掛け合わせると、お互いに打ち消し合い定数が生まれます。 つまり、6つの(x-1/x)からxと1/xのどちらを掛けるか選ぶとき、お互いに打ち消し合うには xを3回 1/xを3回 掛ければいいのです! 6つの中から3つ選ぶ方法は 6C3 = 20通り あります。 つまり、 が20個あるということ。よって、定数項は1×20 = 20です。 二項定理の有名な公式を解説! ここでは、大学受験で使える二項定理の有名な公式を3つ説明します。 「何かを選ぶということは、他を選ばなかったということ」 まずはこちらの公式。 文字のままだとわかりにくい方は、数字を入れてみてください。 6C4 = 6C2 5C3 = 5C2 8C7 = 8C1 などなど。イメージがつかめたでしょうか。 この公式は、「何かを選ぶということは、他を選ばなかったということ」を理解出来れば納得することができるでしょう。 「旅行に行く人を6人中から4人選ぶ」方法は「旅行に行かない2人を選ぶ」方法と同じだけあるし、 「5人中2人選んで委員にする」方法は「委員にならない3人を選ぶ」方法と同じだけありますよね。 つまり、 [n個の選択肢からk個を選ぶ] = [n個の選択肢からn-k個を選ぶ] よって、 なのです!
他にも,つぎのように組合せ的に理解することもできます. 二項定理の応用 二項定理は非常に汎用性が高く実に様々な分野で応用されます.数学の別の定理を証明するために使われたり,数学の問題を解くために利用することもできます. 剰余 累乗数のあまりを求める問題に応用できる場合があります. 例題 $31^{30}$ を $900$ で割ったあまりを求めよ. $$31^{30}=(30+1)^{30}={}_{30} \mathrm{C} _0 30^0+\underline{{}_{30} \mathrm{C} _{1} 30^1+ {}_{30} \mathrm{C} _{2} 30^2+\cdots +{}_{30} \mathrm{C} _{30} 30^{30}}$$ 下線部の各項はすべて $900$ の倍数です.したがって,$31^{30}$ を $900$ で割ったあまりは,${}_{30} \mathrm{C} _0 30^0=1$ となります. 不等式 不等式の証明に利用できる場合があります. 例題 $n$ を自然数とするとき,$3^n >n^2$ を示せ. $n=1$ のとき,$3>1$ なので,成り立ちます. $n\ge 2$ とします.このとき, $$3^n=(1+2)^n=\sum_{k=0}^n {}_n \mathrm{C} _k 2^k > {}_n \mathrm{C} _2 2^2=2(n^2-n) \ge n^2$$ よって,自然数 $n$ に対して,$3^n >n^2$ が成り立ちます. 示すべき不等式の左辺と右辺は $n$ の指数関数と $n$ の多項式で,比較しにくい形になっています.そこで,二項定理を用いて,$n$ の指数関数を $n$ の多項式で表すことによって,多項式同士の評価に持ち込んでいるのです. その他 サイト内でもよく二項定理を用いているので,ぜひ参考にしてみてください. ・ →フェルマーの小定理の証明 ・ →包除原理の意味と証明 ・ →整数係数多項式の一般論
数学的帰納法による証明: (i) $n=1$ のとき,明らかに等式は成り立つ. (ii) $(x+y)^n=\sum_{k=0}^n {}_n \mathrm{C} _k\ x^{n-k}y^{k}$ が成り立つと仮定して, $$(x+y)^{n+1}=\sum_{k=0}^{n+1} {}_{n+1} \mathrm{C} _k\ x^{n+1-k}y^{k}$$ が成り立つことを示す.
二項定理は非常に汎用性が高く,いろいろなところで登場します. ⇨予備知識 二項定理とは $(x+y)^2$ を展開すると,$(x+y)^{2}=x^2+2xy+y^2$ となります. また,$(x+y)^3$ を展開すると,$(x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3$ となります.このあたりは多くの人が公式として覚えているはずです.では,指数をさらに大きくして,$(x+y)^4, (x+y)^5,... $ の展開は一般にどうなるでしょうか. 一般の自然数 $n$ について,$(x+y)^n$ の展開の結果を表すのが 二項定理 です. 二項定理: $$\large (x+y)^n=\sum_{k=0}^n {}_n \mathrm{C} _k\ x^{n-k}y^{k}$$ ここで,$n$ は自然数で,$x, y$ はどのような数でもよいです.定数でも変数でも構いません. たとえば,$n=4$ のときは, $$(x+y)^4= \sum_{k=0}^4 {}_4 \mathrm{C} _k x^{4-k}y^{k}={}_4 \mathrm{C} _0 x^4+{}_4 \mathrm{C} _1 x^3y+{}_4 \mathrm{C} _2 x^2y^2+{}_4 \mathrm{C} _3 xy^3+{}_4 \mathrm{C} _4 y^4$$ ここで,二項係数の公式 ${}_n \mathrm{C} _k=\frac{n! }{k! (n-k)! }$ を用いると, $$=x^4+4x^3y+6x^2y^2+4xy^3+y^4$$ と求められます. 注意 ・二項係数について,${}_n \mathrm{C} _k={}_n \mathrm{C} _{n-k}$ が成り立つので,$(x+y)^n=\sum_{k=0}^n {}_n \mathrm{C} _k\ x^{k}y^{n-k}$ と書いても同じことです.これはつまり,$x$ と $y$ について対称性があるということですが,左辺の $(x+y)^n$ は対称式なので,右辺も対称式になることは明らかです. ・和は $0$ から $n$ までとっていることに気をつけて下さい. ($1$ からではない!) したがって,右辺は $n+1$ 項の和という形になっています. 二項定理の証明 二項定理は数学的帰納法を用いて証明することができます.
}{4! 2! 1! }=105 \) (イ)は\( \displaystyle \frac{7! }{2! 5! 0!
価値観は多極化を続ける? 世界が収束へ向かうもうひとつの可能性 著者プロフィール リチャード・E・ニスベット(Richard E. Nisbett) エール大学助教授、ミシガン大学准教授を経て、現在ミシガン大学心理学教授(セオドア・M・ニューカム冠教授)。アメリカ心理学会科学功労賞、アメリカ心理学協会ウィリアム・ジェームズ賞、グッゲンハイム・フェローシップ受賞。2002年、同世代の心理学者として初めて全米科学アカデミー会員に選ばれる。『Culture of Honor(名誉の文化)』(共著)をはじめ、著書、論文多数。ミシガン州アナーバー在住。
参考資料 (Reference materials) おかべたかし 文, 山出高士 写真, 岡部, 敬史, 山出, 高士, 1970-. くらべる世界. 東京書籍, 2018., ISBN 9784487811298 須藤健一 監修, 須藤, 健一, 1946-. それ日本と逆!? 文化のちがい習慣のちがい 1 (モグモグ食事のマナー). 学研教育出版, 2012., ISBN 9784055008488 須藤健一 監修, 須藤, 健一, 1946-. 文化のちがい習慣のちがい: それ日本と逆!? 第2期-1. 学研プラス, 2017., ISBN 9784055012218 吹浦忠正 監修, 吹浦, 忠正, 1941-. くらべて見る地図帳 第4巻 (世界がわかるくらべる地図). 学研教育出版, 2012., ISBN 9784055009195 藤田千枝 編, 坂口美佳子 著, 藤田, 千枝, 1931-, 坂口, 美佳子. 文化の世界地図. 大月書店, 2005. (くらべてわかる世界地図; v. 5), ISBN 427240525X T. モリスン, W. A. コナウェイ, G. ボーデン 著, 幾島幸子 訳, Morrison, Terri, Conaway, Wayne A, Borden, George A, 幾島, 幸子, 1951-. 世界比較文化事典: 60カ国. マクミランランゲージハウス, 1999., ISBN 4895858294 オフィス・ポストイット 編著, オフィスポストイット. 世界がわかる! 仮想恋人図鑑 = IMAGINARY BOYFRIENDS OF THE WORLD. 永岡書店, 2017., ISBN 9784522434833 早坂隆 著, 早坂, 隆, 1973-. 新・世界の日本人ジョーク集. 中央公論新社, 2017. (中公新書ラクレ; 605), ISBN 9784121506054 阿門禮 著, 阿門, 禮. 世界のタブー. 集英社, 2017. (集英社新書; 0902), ISBN 9784087210026 稲葉, 茂勝, こどもくらぶ, 多田, 孝志, 稲葉, 茂勝, こどもくらぶ, 多田, 孝志. 日本. あすなろ書房, 2012. 木を見る西洋人森を見る東洋人〜思考の違いはいかにして生まれるか〜. (さがし絵で発見! 世界の国ぐに), ISBN 9784751526712 クリストファー・デル 著, 蔵持不三也 監訳, 松平俊久 訳, Dell, Christopher, 蔵持, 不三也, 1946-, 松平, 俊久, 1974-.
2年半くらい前に「東洋人と西洋人の違い」という記事を書いたことがあります。 その記事は2つの質問をして、その人が東洋人的なモノの見方をするのか、それとも西洋人的なモノの見方をするのかチェックするのか見分ける記事でした。 それからだいぶ経って似たようなものをもう2つ見つけたので、今回は前回の2つ+今回新たに見つけたチェック4つで更に掘り下げた「西洋人タイプ・東洋人タイプ」チェックをしてみたいと思います。 チェックをする前に このチェックで言う「西洋人」「東洋人」というのは「西洋人」は主にアメリカやカナダ、イギリス、ニュージーランドなどを指し、「東洋人」というのは日本はもちろん中国や韓国のことを指しています。 なので、例えばエジプトの人は?インドの人は?チリの人は?とかは無しでお願いします。 それぞれの質問と選択肢だけ先に書いてあとで、それぞれが「東洋人の答え」なのか「西洋人の答え」なのか書いていきますので、忘れっぽい人はメモとペンを用意してくださいね。 ではスタートです! スポンサーリンク 東洋人と西洋人の違いがわかる4つの質問 まずはこの2つです。 「Q. 1」は物の捉え方です。 それを見たら気球が浮かんでいました。すると見ていた気球がフワッと右上に上がっていきました。なぜ上がっていったでしょう。 突風が吹いたから 気球の火力を急に上げたから 「Q. 東洋と西洋の違い 見方. 2」は仲間分けです。 えーっと、絵が下手!とか突っ込みは無しにしてあげてくださいね。これでも頑張りました。 見ての通り「ライオン」「ニンジン」「肉」があります。このなかで「肉」を主体に考えたとき仲間外れはどっちですか? では次の2問です。 [Q. 3」も仲間分けです。 黄色い四角柱は、Aの白い四角柱とBの黄色い円柱のどちらの仲間ですか? [Q. 4]は物の捉え方です。 宇宙船から光の柱が出て、その中に人がいます。この人は上がっていくところですか?それとも下がっていくところですか? 皆さんの答えを教えてください お時間ある方は下記のフォームに答えを入力して、皆さんがどんな答えだったか教えてください。 それぞれ「東洋人タイプ」なのか「西洋人タイプ」なのかは、このフォームの後に根拠と共に紹介して行きたいと思います。 下のフォームがちゃんと表示されていない方は こちら をご利用ください。新しいウィンドウが開きます。 それぞれの答えとその根拠 さてさて、それぞれどちらが西洋人タイプでどっちが東洋人タイプなのか紹介してます。 Q.
の失敗なら笑って済ませられますが、 育った文化背景をよく知らない人たちとのコミュニケーションや交流が必要な状況で、適切な低コンテクスト文化が形成されないと、 私たちは不安になります。それが見知らぬ相手に対する恐怖や敵意に変わると、 無縁社会や「ひきこもり」などの社会的孤立を生み出す原因 となるのかもしれません。実際、 「ひきこもり」が多いのは、日本や韓国、台湾ですが、いずれも産業化がすすんだ高コンテクスト文化の国 です。高コンテクスト文化の国ほど、このような産業化に対して、社会的な問題が生ずると考えられます。