→ 携帯版は別頁 《解説》 ■次のような直角三角形の三辺の長さについては, a 2 +b 2 =c 2 が成り立ちます.(これを三平方の定理といいます.) ■逆に,三辺の長さについて, が成り立つとき,その三角形は直角三角形です. (これを三平方の定理の逆といいます.) 一番長い辺が斜辺です. ※ 直角三角形であるかどうかを調べるには, a 2 +b 2 と c 2 を比較してみれば分かります. 例 三辺の長さが 3, 4, 5 の三角形が直角三角形であるかどうか調べるには, 5 が一番長い辺だから, 4 2 +5 2 =? =3 2 5 2 +3 2 =? =4 2 が成り立つ可能性はないから,調べる必要はない. 3 2 +4 2 =? お願いします。三平方の定理が成り立つ３つの整数の組を教えて下さい。(相似な三... - Yahoo!知恵袋. = 5 2 が成り立つかどうか調べればよい. 3 2 +4 2 =9+16=25, 5 2 =25 だから, 3 2 +4 2 =5 2 ゆえに,直角三角形である. 例 三辺の長さが 4, 5, 6 の三角形が直角三角形であるかどうか調べるには, 4 2 +5 2 ≠ 6 2 により,直角三角形ではないといえる. 【要点】 小さい方の2辺を直角な2辺とし て,2乗の和 a 2 +b 2 を作り, 一番長い辺を斜辺とし て c 2 を作る. これらが等しいとき ⇒ 直角三角形(他の組合せで, a 2 +b 2 =c 2 となることはない.) これらが等しくないとき ⇒ 直角三角形ではない ■ 問題 次のように三角形の三辺の長さが与えられているとき,これらのうちで直角三角形となっているものを選びなさい. (4組のうち1組が直角三角形です.) (1) 「 3, 3, 4 」 「 3, 4, 4 」 「 3, 4, 5 」 「 3, 4, 6 」 (2) 「 1, 2, 2 」 「 1, 2, 」 「 1, 2, 」 「 1, 2, 」 (3) 「 1,, 」 「 1,, 」 「 1,, 2 」 「 1,, 3 」 (4) 「 5, 11, 12 」 「 5, 12, 13 」 「 6, 11, 13 」 「 6, 12, 13 」 (5) 「 8, 39, 41 」 「 8, 40, 41 」 「 9, 39, 41 」 「 9, 40, 41 」 ■ 問題 次のように三角形の三辺の長さが与えられているとき,これらのうちで直角三角形となっているものを選びなさい.
ピタゴラス数といいます。 (3, 4, 5)(5, 12, 13)(8, 15, 17)(7, 24, 25)(20, 21, 29) (12, 35, 37)(9, 40, 41)
の第1章に掲載されている。
この形の「体」を 「$2$ 次体」 (quadratic field)と呼ぶ. このように, 「体」$K$ の要素を係数とする多項式 $f(x)$ に対して, $K$ と方程式 $f(x) = 0$ の解を含む最小の体を $f(x)$ の $K$ 上の 「最小分解体」 (smallest splitting field)と呼ぶ. ある有理数係数多項式の $\mathbb Q$ 上の「最小分解体」を 「代数体」 (algebraic field)と呼ぶ. 問題《$2$ 次体のノルムと単数》 有理数 $a_1, $ $a_2$ を用いて \[\alpha = a_1+a_2\sqrt 5\] の形に表される実数 $\alpha$ 全体の集合を $K$ とおき, この $\alpha$ に対して \[\tilde\alpha = a_1-a_2\sqrt 5, \quad N(\alpha) = \alpha\tilde\alpha = a_1{}^2-5a_2{}^2\] と定める. (1) $K$ の要素 $\alpha, $ $\beta$ に対して, \[ N(\alpha\beta) = N(\alpha)N(\beta)\] が成り立つことを示せ. 三 平方 の 定理 整数. また, 偶奇が等しい整数 $a_1, $ $a_2$ を用いて \[\alpha = \dfrac{a_1+a_2\sqrt 5}{2}\] の形に表される実数 $\alpha$ 全体の集合を $O$ とおく. (2) $O$ の要素 $\alpha, $ $\beta$ に対して, $\alpha\beta$ もまた $O$ の要素であることを示せ. (3) $O$ の要素 $\alpha$ に対して, $N(\alpha)$ は整数であることを示せ. (4) $O$ の要素 $\varepsilon$ に対して, \[\varepsilon ^{-1} \in O \iff N(\varepsilon) = \pm 1\] (5) $O$ に属する, $\varepsilon _0{}^{-1} \in O, $ $\varepsilon _0 > 1$ を満たす最小の正の数は $\varepsilon _0 = \dfrac{1+\sqrt 5}{2}$ であることが知られている. $\varepsilon ^{-1} \in O$ を満たす $O$ の要素 $\varepsilon$ は, この $\varepsilon _0$ を用いて $\varepsilon = \pm\varepsilon _0{}^n$ ($n$: 整数)の形に表されることを示せ.
両辺の素因数分解において, 各素数 $p$ に対し, 右辺の $p$ の指数は偶数であるから, 左辺の $p$ の指数も偶数であり, よって $d$ の部分の $p$ の指数も偶数である. よって, $d$ は平方数である. ゆえに, 対偶は真であるから, 示すべき命題も真である. (2) $a_1+a_2\sqrt d = b_1+b_2\sqrt d$ のとき, $(a_2-b_2)\sqrt d = b_1-a_1$ となるが, $\sqrt d$ は無理数であるから $a_2-b_2 = 0$ とならなければならず, $b_1-a_1 = 0$ となり, $(a_1, a_2) = (b_1, b_2)$ となる. (3) 各非負整数 $k$ に対して $(\sqrt d)^{2k} = d^k, $ $(\sqrt d)^{2k+1} = d^k\sqrt d$ であるから, 有理数 $a_1, $ $a_2, $ $b_1, $ $b_2$ のある組に対して $f(\sqrt d) = a_1+a_2\sqrt d, $ $g(\sqrt d) = b_1+b_2\sqrt d$ となる. このとき, \[\begin{aligned} \frac{f(\sqrt d)}{g(\sqrt d)} &= \frac{a_1+a_2\sqrt d}{b_1+b_2\sqrt d} \\ &= \frac{(a_1+a_2\sqrt d)(b_1-b_2\sqrt d)}{(b_1+b_2\sqrt d)(b_1-b_2\sqrt d)} \\ &= \frac{a_1b_1-a_2b_2d}{b_1{}^2-b_2{}^2d}+\frac{-a_1b_2+a_2b_1}{b_1{}^2-b_2{}^2d}\sqrt d \end{aligned}\] となり, (2) からこの表示は一意的である. 背景 四則演算が定義され, 交換法則と結合法則, 分配法則を満たす数の集合を 「体」 (field)と呼ぶ. 例えば, 有理数全体 $\mathbb Q$ は通常の四則演算に関して「体」をなす. これを 「有理数体」 (field of rational numbers)と呼ぶ. 整数問題 | 高校数学の美しい物語. 現代数学において, 方程式論は「体」の理論, 「体論」として展開されている. 平方数でない整数 $d$ に対して, $\mathbb Q$ と $x^2 = d$ の解 $x = \pm d$ を含む最小の「体」は $\{ a_1+a_2\sqrt d|a_1, a_2 \in \mathbb Q\}$ であることが知られている.
連続するn個の整数の積と二項係数 整数論の有名な公式: 連続する n n 個の整数の積は n! n! の倍数である。 上記の公式について,3通りの証明を紹介します。 → 連続するn個の整数の積と二項係数 ルジャンドルの定理(階乗が持つ素因数のべき数) ルジャンドルの定理: n! n! に含まれる素因数 p p の数は以下の式で計算できる: ∑ i = 1 ∞ ⌊ n p i ⌋ = ⌊ n p ⌋ + ⌊ n p 2 ⌋ + ⌊ n p 3 ⌋ + ⋯ {\displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}\Big\lfloor \dfrac{n}{p^i} \Big\rfloor}=\Big\lfloor \dfrac{n}{p} \Big\rfloor+\Big\lfloor \dfrac{n}{p^2} \Big\rfloor+\Big\lfloor \dfrac{n}{p^3} \Big\rfloor+\cdots ただし, ⌊ x ⌋ \lfloor x \rfloor は x x を超えない最大の整数を表す。 → ルジャンドルの定理(階乗が持つ素因数のべき数) 入試数学コンテスト 成績上位者(Z) 無限降下法の整数問題への応用例 このページでは,無限降下法について解説します。 無限降下法とは何か?
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