2019/4/30 2, 462 ビュー 見て頂いてありがとうございます. 見てもらうために作成しておりますので,どんどん見てください. ★の数は優先度です.★→★★→★★★ の順に取り組みましょう. 2323 ポイント集をまとめて見たい場合 点線より下側の問題の解説を見たい場合 は 有料版(電子書籍) になります. 2000番台が全て入って (¥0もしくは¥698) と,極力負担を少なくしています. こちら からどうぞ.
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コーシー・シュワルツの不等式は、大学入試でもよく取り上げられる重要な不等式 です。 今回は\( n=2 \) の場合のコーシー・シュワルツの不等式を、4通りの方法で証明をしていきます。 コーシーシュワルツの不等式の使い方については、以下の記事に詳しく解説しました。 コーシーシュワルツの不等式の使い方を分かりやすく解説! この記事では、数学検定1級を所持している管理人が、コーシーシュワルツの不等式の使い方について分かりやすく... コーシ―・シュワルツの不等式 \[ {\displaystyle(\sum_{i=1}^n a_i^2)}{\displaystyle(\sum_{i=1}^n b_i^2)}\geq{\displaystyle(\sum_{i=1}^n a_ib_i)^2} \] (\( n=2 \) の場合) (a^2+b^2)(x^2+y^2)≧(ax+by)^2%&(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)\geq(ax+by+cz)^2 \] しっかりと覚えて、入試で使いこなしたい不等式なのですが、この不等式、ちょっと覚えにくいですよね。 実は、 コーシー・シュワルツの不等式の本質は内積と同じです。 したがって、 内積を使ってこの不等式を導く方法を身につけることで、確実に覚えやすくなるはずです。 また、この不等式を 2次方程式の判別式 で証明する方法もあります。私が初めてこの証明方法を知ったときは 感動しました! とても興味深い証明方法です。 様々な導き方を身につけて数学の世界が広げていきましょう!
(この方法以外にも,帰納法でも証明できます.それは別の記事で紹介します.) 任意の実数\(t\)に対して,
f(t)=\sum_{k=1}^{n}(a_kt+b_k)^2\geqq 0
が成り立つ(実数の2乗は非負). 左辺を展開すると,
\left(\sum_{k=1}^{n}a_k^2\right)t^2+2\left(\sum_{k=1}^{n}a_kb_k\right)t+\left(\sum_{k=1}^{n}b_k^2\right)\geqq 0
これが任意の\(t\)について成り立つので,\(f(t)=0\)の判別式を\(D\)とすると\(D/4\leqq 0\)が成り立ち,
\left(\sum_{k=1}^{n}a_kb_k\right)^2-\left(\sum_{k=1}^{n}a_k^2\right)\left(\sum_{k=1}^{n}b_k^2\right)\leqq 0
よって,
\left(\sum_{k=1}^{n} a_k^2\right)\left(\sum_{k=1}^{n} b_k^2\right)\geqq\left(\sum_{k=1}^{n} a_kb_k\right)^2
その他の形のコーシー・シュワルツの不等式
コーシー・シュワルツの不等式というと上で紹介したものが有名ですが,実はほかに以下のようなものがあります. 1. コーシー・シュワルツの不等式 - つれづれの月. (複素数)
\(\displaystyle \left(\sum_{k=1}^{n} |\alpha_k|^2\right)\left(\sum_{k=1}^{n}|\beta_k|^2\right)\geqq\left|\sum_{k=1}^{n}\alpha_k\beta_k\right|^2\)
\(\alpha_k, \beta_k\)は複素数で,複素数の絶対値は,\(\alpha=a+bi\)に対して\(|\alpha|^2=a^2+b^2\). 2. (定積分)
\(\displaystyle \int_a^b \sum_{k=1}^n \left\{f_k(x)\right\}^2dx\cdot\int_a^b\sum_{k=1}^n \left\{g_k(x)\right\}^2dx\geqq\left\{\int_a^b\sum_{k=1}^n f_k(x)g_k(x)dx\right\}^2\)
但し,閉区間[a, b]で\(f_k(x), g_k(x)\)は連続かつ非負,また,\(a コーシーシュワルツの不等式使い方【頭の中】
まず、問題で与えられた不等式の左辺と右辺を反対にしてみます。
\[ k\sqrt{2x+y}≧\sqrt{x}+\sqrt{y}\]
この不等式の両辺は正なので2乗すると
\[ k^2(2x+y)≧(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2\]
この式をコーシ―シュワルツの不等式と見比べます。
ここでちょっと試行錯誤をしてみましょう。
例えば、右辺のカッコ内の式を\( 1\cdot \sqrt{x}+1\cdot \sqrt{y}\)とみて、コーシ―シュワルツの不等式を適用すると
(1^2+1^2) \{ (\sqrt{x})^2+(\sqrt{y})^2 \} \\
≧( 1\cdot \sqrt{x}+1\cdot \sqrt{y})^2
\[ 2\underline{(x+y)}≧(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2 \]
上手くいきません。実際にはアンダーラインの部分を\( 2x+y \) にしたいので、少し強引ですが次のように調整します。
\left\{ \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{\! 2351(コーシー・シュワルツの不等式の使い方) | 大学受験 高校数学 ポイント集. \! 2}+1^2 \right\} \left\{ (\sqrt{2x})^2+(\sqrt{y})^2\right\} \\
≧\left( \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \! \sqrt{2x}+1\cdot \! \sqrt{y}\right)^2
これより
\frac{3}{2} (2x+y)≧(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2
両辺を2分の1乗して
\sqrt{\frac{3}{2}} \sqrt{2x+y}≧\sqrt{x}+\sqrt{y}
\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{2x+y}}≦ \frac{\sqrt{6}}{2}
ここで、問題文で与えられた式を変形してみると
\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{2x+y}}≦ k
ですので、最小値の候補は\( \displaystyle{\frac{\sqrt{6}}{2}} \) となります。
次に等号について調べます。
\frac{\sqrt{2x}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}=\frac{\sqrt{y}}{1}
より\( y=4x \)
つまり\( x:y=1:4\)のとき等号が成り立ちます。
これより\( k\) の最小値は\( \displaystyle{\frac{\sqrt{6}}{2}} \)で確定です。
コーシーシュワルツの不等式の使い方 まとめ
今回は\( n=2 \) の場合について、コーシ―シュワルツの不等式の使い方をご紹介しました。
コーシ―シュワルツの不等式が使えるのは主に次の場合です。
こんな場合に使える! なあ、俺にとってヒョリンはなんだったろう?」 と、いつの間にかチェギョンが近付いていて、、、 チェギョン「一度は愛した女性よ♪」 ユル「うん、そうだね♪ チェギョンも俺から離れていられないんだな、嬉しいよ♪ ところでサラは?」 チェギョン「子供達の相手をお願いしているわ♪ 一度はヒョリンのことを、シン君と話したかったから、、、 シン君、以前にヒョリンを愛したことが無いって言ってたけど、、、 良く考えてみて? 本当に、これっぽっちも愛していなかったのかしら? ただ、愛に気が付いていなかっただけじゃないかしら? シン君ほどの男性が、2年以上側に置いていて、友達の想い人と知っているにもかかわらず、、、 倫理に反してでもヒョリンにプロポーズした、、、 これって、意識していなくとも、相当の想いがあった筈よ、、、 ね、ヒョリンの言動に幻滅したとしても、想いは確かにあったのよ♪ 思い出してみて? ヒョリンがバレエに打ち込む姿を♪ ヒョリンの容姿の美しさより、真摯な姿の美しさに心を奪われていたんじゃない? ﾌﾟﾛﾛｰｸﾞ - 宮と花男と猫. 確かに、プリマになれる程では無かったけれど、あの練習姿は、私も好きだったもの♪ だから、ヒョリンの日常の傲慢不遜な態度に不快感を抱えながらも、バレエクラスの人達はヒョリンを受け入れていたんじゃないの? ねっ、シン君とヒョリンは、シン君が意識していなかったとしても、確かに恋人だったのよ♪ そして、シン君が妻にと望み、一時ではあったけれど家族になった縁のある女性よ♪ シン君が、ヒョリンのことをサラに打ち明けたって聞いて、本当に良かった♪ シン君の心の整理がついたってことですものね♪ それに、これからは、一緒にお墓参りも出来るし♪ 途中に、美味しいお団子屋さんがあるのよ♪ お供え用と宮の皆にお土産に買うのよ♪」 ユル「お土産と言って、チェギョンと子供達が一番たくさん食べているじゃないか、うん?」 チェギョン「ひっどい~、ここでバラさなくても、、、 第一、私は三人分食べないと!」 シン「ええっ! もしかして、双子かい?」 ユル「そ、俺の愛の成せる技さ♪」 チェギョン「・・・〃〃〃」 シン「ワオ、おめでとう♪」 そこへ、サラがやって来て、、、 サラ「双子さんですって? おめでとうございます♪」 ユル「これで、俺の愛の深さを国民も改めて知るのさ♪」 シン「いいや、ユルのチェギョンに対する独占欲執着心溺れ振りを知るんだよ♪」 チェギョン「・・・〃〃〃」 シン「俺達も、ヒョリンの墓参りが済んで、気持ちの整理がついたら、子作りに専念しような♪」 サラ「・・・〃〃〃」 ユル「宮の博物館のオープンには、シン達のベビーが見られるかな♪」 シン「いよいよ、イギリス王室に倣って、宮も独立採算制になるのか! こんにちは(σ≧∀≦)σ
ヒョリン、決着つけにくるんですね! 3年の月日が彼女をどう変化させているのか、楽しみです。
私もヒョリンは大の苦手。あんな愚かな女はいないと思っています。
でも、やはりヒョリンの存在は何か引っかかりが残りますよね。
だからこそLUNAさんの視点には尊敬してしまいます(*´艸`)キャ
[2013/03/19 19:41]
URL | RIKA #Fq8DiWTI
Re: ありがとうございます! ユル君の誕生日に招かれた別荘に、何故かヒョリンがいた。 自殺未遂騒動後に、宮で彼女に会った。 自信に満ちた彼女の姿に私の困惑は広がる一方だった。 「シンが、私を求めるならいつでも求めに応じるつもりよ」 彼女は強い瞳で私にそう言った。 つい、先日新聞社のインタビューに応じた彼女の言動とはかけ離れた言葉。 一体、彼女の本心は何処にあるんだろうか? インがニュースを見ていて、ヒョリンに呼び出され、ヒョリンの元へ向かおうとテレビを消そうとしたその時………。
ニュース速報が流れた。
ーシン皇太子殿下、婚姻へ。ーーこのあと皇室が正式会見の模様………
インは妃はヒョリンじゃないのか?って思った。
インは急いでヒョリンの元へ向かった。
一方、チェギョンの元には皇室からボディーガードが配属され、自宅回りには警察官も配備、うちの回りに防犯カメラも取り付けられた。
チェギョンは……
(なによ。他の女の子にプロポーズしてたじゃない。その子と一緒になればいいのに、何で私なのよ。)と思っていた。
(はぁ。明日から宮殿に行かないといけないのね……学校いきたいなぁ。)
(どんな挨拶すればいいのよ!あぁ、わからないことだらけだわ!)愛すると言う事 #４ | 海辺の別宅〜書庫〜
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