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【問題2】 (選択肢の中から正しいものを1つクリック) (1) △ABC の内部に点 O をとり, O と頂点 A, B, C を結ぶ直線がそれぞれ辺 AB, BC, CA と交わる点を P, Q, R とする. AP:PB=1:2, AR:RC=1:1 であるとき, BQ:QC を最も簡単な整数の比で表してください. (解答) (チェバの定理を覚えている場合) チェバの定理により が成り立つから BQ:QC=2:1 …(答) (別解) (中学生ならチェバの定理を覚えている必要はない.相似比を使って解けばよい) A から BC に平行な直線をひき, CP, BR の延長との交点を S, T とし, BQ=m, QC=n, SA=a, AT=b とおく a:(m+n)=1:2 b:(m+n)=1:1=2:2 a:b=1:2 m:n=b:a=2:1 …(答) (2) △ABC の内部に点 O をとり, O と頂点 A, B, C を結ぶ直線がそれぞれ辺 AB, BC, CA と交わる点を P, Q, R とする. AP:PB=3:4, BQ:QC=5:6 であるとき, CR:RA を最も簡単な整数の比で表してください. 「メネラウスの定理」と「キツネの顔」・・・恐るべし小学校の算数 (+_+) | . 47歳今まで中途半端に生きてきたけど,この歳になって「今から医者になる」と決意しました - 楽天ブログ. CR:RA=8:5 …(答) a:11=3:4=3m:4m b:11=n:m=4n:4m a:b=6:5=3m:4n 24n=15m m:n=8:5 …(答) **チェバの定理は右図のように点 O が △ABC の外部にある場合にも成り立ちます** △ABC の辺上にない1点 O をとり, O と頂点 A, B, C を結ぶ直線がそれぞれ辺 AB, BC, CA またはその延長と交わる点を P, Q, R とするとき,次の式が成り立つ. ※証明略 (3) 右図のように △ABC の外部に点 O をとり, O と頂点 A, B, C を結ぶ直線がそれぞれ辺 AB, BC, CA またはその延長と交わる点を P, Q, R とする. PA:AB=2:3, BC:CQ=2:1 であるとき, CR:RA を最も簡単な整数の比で表してください. CR:RA=5:6 …(答) ただし,筆者がやっても苦労するぐらいなので,中学生が解くにはかなり難しいかもしれない. できなくても,涼しい顔ということで・・・ A から BC に平行な直線をひき, CP との交点を S , BR の延長との交点を T とし, CR=m, RA=n, SA=a, ST=b とおく b:2=2:5 b:a=1:2 …(答)
【数学A】の「平面図形」の分野に メネラウスの定理 というのが出てきます。 三角形と、それを貫く直線の関係を表すものですが、 これがなかなか覚えられず苦労してました。 トイレに設置してある 『"覚えるまで消したらあかんで! "ボード』 と題したホワイトボードに長い間書いてある いくつかの項目(数学やら、漢文やら、化学やら・・・) のうちのひとつなのですが・・・ 先月から、不定期に算数の講義をしに行っている 『Mちゃん』の、次の講義材料を探していたら 何と、受験算数の本に、この「メネラウスの定理」 が出ているじゃあ~りませんか! (+o+) し・か・も・ あの、「三角形と直線」の図形を 「きつねの顔」にみたたて、 実に覚えやすく解説しています。 ・・・おかげで、今まで記憶をゆっくり辿らなければ 思いだせなかった公式が「きつねの顔」で、 すんなりと書き表せるようになりました。(^。^)/ これがその「きつねの顔」です。 それにしても、 「受験算数」とは言え、 こんな"高等な(? )"算数を 40年前の小学校で教えてもらいましたっけ? それとも、最近になって教えてるのか・・・? デザルグの定理とその三通りの証明 | 高校数学の美しい物語. ↑学級通信チャレンジさん!ど~なの?今の算数は! ま、これで、センター試験に「メネラウスの定理」 が出てきても、恐るるに足らず!!! ・・・最近まで、「メ"ラネ"ウスの定理」 と、名前を間違えて覚えていた私です。(-. -) ★☆★☆★初めて訪れていただいた方、最近読み始めた方・・・へ★☆★☆★ 「はじめにお読み下さい~Read Me」のページを作成しました。 是非、ご一読下さい。⇒ 【はじめにお読み下さい・・・Read Me】 【はじめにお読み下さい・・・Read Me (2)】 ※携帯電話画面からは閲覧できないようです。(TへT) 現在、工夫しております。暫くお待ち下さい。 いつも、ご訪問・応援ありがとうございます。 【センター試験: 目標900点満点! 】 1日1クリック!応援に、一口のって下さいませ! ↓ ↓ ↓ ↑ ↑ ↑ 勝ち癖を付ける為に、自ら「 かちっ ( 勝ち! )」とクリックしてます。 ここまで来たら【かむ太郎劇場】の行く末を とことんお付き合い下さいませませ。 今までの最高順位は、「 1 位/1016サイト中」です。 ヽ(゚◇゚)ノ
メネラウスの定理の練習問題 それではメネラウスの定理を使う練習をしてみましょう。 例題:下図において、線分\(DE, EF\)の比を求めよ。 今までは\(A\)から\(D\)に行ってから\(B\)に戻っていましたが、今回はまず\(A\)から\(C\)の方向に行ってみましょう。 メネラウスの定理より、 $$ \frac{AC}{CF}\times\frac{FE}{ED}\times\frac{DB}{BA} = 1 $$ 各線分の長さを代入すると、 $$ \frac{5}{3}\times\frac{FE}{ED}\times\frac{1}{1} = 1 $$ よって \(DE:EF=5:3\) 先ほどの「厳密な定義」の方で直線\(AB, BC, CA\)と直線\(l\)の交点を\(D, E, F\)としていましたが、この問題では直線\(AD, DF, FA\)と直線\(l\)の交点を\(B, E, C\)と解釈してメネラウスの定理を使ったわけですね。 このように一つの図形に対して複数の見方があり、それぞれの見方に対してメネラウスの定理の形が変わるということを覚えておいてください! ベクトルの問題の裏ワザとして! 大学入試では上の練習問題のようにメネラウスの定理使うだけの問題はなかなか出題されません。面積やベクトルなどを求める過程で線分の比が必要になったときに使うことの方が多いです。 たとえば次のような問題ではメネラウスの定理を使うと効果的!
証明 直線 P Q PQ と A A ′, B B ′, C C ′ AA', \:BB', \:CC' との交点をそれぞれ X, Y, Z X, \:Y, \:Z とする。(図では Y Y ははるか左, Z Z ははるか右にあります。) P P を中心とした複比の不変性より, ( X, A ′; A, O) = ( Y, B ′; B, O) (X, A';A, O)=(Y, B';B, O) Q Q ( Y, B ′; B, O) = ( Z, C ′; C, O) (Y, B';B, O)=(Z, C';C, O) よって, ( X, A ′; A, O) = ( Z, C ′; C, O) (X, A';A, O)=(Z, C';C, O) A C AC の交点を R R とおき, R, A ′, C ′ R, \:A', \:C' が同一直線上にあることをいえばよい。 つまり, R A ′ RA' O C OC の交点 C ′ ′ C'' が C ′ C' と一致することをいえばよい。 これは ( X, A ′; A, O) = ( Z, C ′ ′; C, O) (X, A';A, O)=(Z, C'';C, O) となるのでさきほどの式と比較して C ′ = C ′ ′ C'=C'' がいえる。
として紹介したからできると思うんじゃ しかし、テストなどでは、ただ図形が与えられただけなはずじゃ つまり、 自分でメネラウスの定理が使えるかどうかを判断しなければいけない というわけじゃ そこでまず、 メネラウスの定理が使える図形かどうかを確かめる手順 をまとめておこうかと思うんじゃな メネラウスの定理がつかえる図形の見分け方とは メネラウスの定理で使える図形の見分け方をまとめておくかのぉ 基本的には、 大きい三角形の中に、小さい三角形がいくつかある ような場合にメネラウスの定理を使える可能性がある、 と考えればいいんじゃ 上で「鳥がくちばしを開いたような形」と書いたんじゃが、 そういう形を見つけれたら、メネラウスの定理が使えるかも? と考えればいいんじゃな 以下で、もう少し詳しく説明するかのぉ (メネラウスの定理には、他の図形でも使える場合がありますが、 今回は初めて学ぶ方向けなので、省いています) まず、三角形を1つ決めるんじゃ 大きな三角形 (この場合ABC) のどれか1辺を含むように 、 小さい三角形を選んでみよう たとえば、こうじゃ ここでは、三角形ABDに注目してみたんじゃ 別にこの三角形じゃないとダメ!ってことはなくて、 他のどれでもオッケーなんじゃ とりあえず、今回は、この三角形で話を進めていくかのぉ 次は、大きな三角形の頂点のうち、 注目した三角形上にないもの をチェックするんじゃ 大きな三角形は、三角形ABCじゃな この頂点は、A, B, C の3つじゃ そして、注目した三角形ABD上に ない ものは、頂点Cじゃな そこで、頂点Cに、オレンジ色の太丸をおいてみたんじゃ 次に、頂点Cを含んで、 角が重なるように、三角形を選ぶ んじゃ もともとの太字の 三角形ABDの角ABD と、 新しく注目した点Cを含んだ 三角形BCF は、 角ABC(角FBD)が重なっている じゃろ この図形の時に、 この 太い線の図形に対して、メネラウスの定理が使える わけじゃな では、実際にメネラウスの定理を使った問題の解き方について解説してみます。 メネラウスの定理を使って問題を解くには? 問題を解くには、知りたい線分比(または分数)を含む形で、 メネラウスの定理の式を組み立てればいいんじゃ え?なにそれ? と思われるかもしれないんじゃが、とりあえず下のやり方を読んでみて欲しいんじゃ メネラウスの定理の式の組み立て方は、上の導き方でまとめたとおりじゃ (1)、2つの三角形の角が重なっているところをスタートにする (2)、注目した頂点から、一気に、もう1つの頂点まで飛ぶ (3)、飛んだら、戻る (4)、新しい頂点に移動する (5)、元のスタートの頂点に戻ってくる (6)、移動を式に表していく この図から、 メネラウスの定理の式が、以下のように導ける んじゃな このメネラウスの式に、 問題で与えられた線分比の数値を入れてみる んじゃ \( \frac{(1+3)}{3} × \frac{DX}{XA} × \frac{3}{2} = 1 \) となるわけじゃ これの式の左辺は、3つの分数のかけ算だから、約分など計算ができるわけじゃ そういう計算をして整理すると、 \( \frac{DX}{XA} = \frac{1}{2} × \) となる 「分数」は「比」でもあるんじゃったな じゃから、知りたかった線分比 AX: DX = 2: 1 となるわけじゃ メネラウスの定理は、3つの線分比を使う式なんじゃが、 そのうち2つはわかっていて、 もう1つを知りたいときに使える式なんじゃな まとめ というわけで、本記事では、 メネラウスの定理とは?