という情報は見えてきませんね。 この様に信号処理を行う時は信号の周波数成分だけでなく、時間変化を見たい時があります。 しかし、時間変化を見たい時は フーリエ変換 だけでは解析する事は困難です。 そこで考案された手法がウェーブレット変換です。 今回は フーリエ変換 を中心にウェーブレット変換の強さに付いて触れたので、 次回からは実際にウェーブレット変換に入っていこうと思います。 まとめ ウェーブレット変換は信号解析手法の1つ フーリエ変換 が苦手とする不規則な信号を解析する事が出来る
ウェーブレット変換とは ウェーブレット変換は信号をウェーブレット(小さな波)の組み合わせに変換する信号解析の手法の1つです。 信号解析手法には前回扱った フーリエ変換 がありますが、ウェーブレット変換は フーリエ変換 ではサポート出来ない時間情報をうまく表現することが出来ます。 その為、時間によって周波数が不規則に変化する信号の解析に対し非常に強力です。 今回はこのウェーブレット変換に付いてざっくりと触って見たいと思います。 フーリエ変換 との違い フーリエ変換 は信号を 三角波 の組み合わせに変換していました。 フーリエ変換(1) - 理系大学生がPythonで色々頑張るブログ フーリエ変換 の実例 前回、擬似的に 三角関数 を合成し生成した複雑(? )な信号は、ぱっと見でわかる程周期的な関数でした。 f = lambda x: sum ([[ 3. 0, 5. 0, 0. 0, 2. 0, 4. 離散ウェーブレット変換の実装 - きしだのHatena. 0][d]*((d+ 1)*x) for d in range ( 5)]) この信号に対し離散 フーリエ変換 を行いスペクトルを見ると大体このようになります。 最初に作った複雑な信号の成分と一致していますね。 フーリエ変換 の苦手分野 では信号が次の様に周期的でない場合はどうなるでしょうか。 この複雑(?? )な信号のスペクトルを離散 フーリエ変換 を行い算出すると次のようになります。 (※長いので適当な周波数で切ってます) 一見すると山が3つの単純な信号ですが、 三角波 の合成で表現すると非常に複雑なスペクトルですね。 (カクカクの信号をまろやかな 三角波 で表現すると複雑になるのは直感的に分かりますネ) ここでポイントとなる部分は、 スペクトル分析を行うと信号の時間変化に対する情報が見えなくなってしまう事 です。 時間情報と周波数情報 信号は時間が進む毎に値が変化する波です。 グラフで表現すると横軸に時間を取り、縦軸にその時間に対する信号の強さを取ります。 それに対しスペクトル表現では周波数を変えた 三角波 の強さで信号を表現しています。 フーリエ変換 とは同じ信号に対し、横軸を時間情報から周波数情報に変換しています。 この様に横軸を時間軸から周波数軸に変換すると当然、時間情報が見えなくなってしまいます。 時間情報が無くなると何が困るの? スペクトル表現した時に時間軸が周波数軸に変換される事を確認しました。 では時間軸が見えなくなると何が困るのでしょうか。 先ほどの信号を観察してみましょう。 この信号はある時間になると山が3回ピョコンと跳ねており、それ以外の部分ではずーっとフラットな信号ですね。 この信号を解析する時は信号の成分もさることながら、 「この時間の時にぴょこんと山が出来た!」 という時間に対する情報も欲しいですね。 ですが、スペクトル表現を見てみると この時間の時に信号がピョコンとはねた!
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2D haar離散ウェーブレット変換と逆DWTを簡単な言語で説明してください ウェーブレット変換を 離散フーリエ変換の 観点から考えると便利です(いくつかの理由で、以下を参照してください)。フーリエ変換では、信号を一連の直交三角関数(cosおよびsin)に分解します。信号を一連の係数(本質的に互いに独立している2つの関数の)に分解し、再びそれを再構成できるように、それらが直交していることが不可欠です。 この 直交性の基準を 念頭に置いて、cosとsin以外に直交する他の2つの関数を見つけることは可能ですか? はい、そのような関数は、それらが無限に拡張されない(cosやsinのように)追加の有用な特性を備えている可能性があります。このような関数のペアの1つの例は、 Haar Wavelet です。 DSPに関しては、これらの2つの「直交関数」を2つの有限インパルス応答(FIR)フィルターと 見なし 、 離散ウェーブレット変換 を一連の畳み込み(つまり、これらのフィルターを連続して適用)と考えるのがおそらくより現実的です。いくつかの時系列にわたって)。これは、1-D DWTの式 とたたみ込み の式を比較対照することで確認できます。 実際、Haar関数に注意すると、最も基本的な2つのローパスフィルターとハイパスフィルターが表示されます。これは非常に単純なローパスフィルターh = [0. 5, 0.
new ( "L", ary. shape) newim. putdata ( ary. flatten ()) return newim def wavlet_transform_to_image ( gray_image, level, wavlet = "db1", mode = "sym"): """gray画像をlevel階層分Wavelet変換して、各段階を画像表現で返す return [復元レベル0の画像, 復元レベル1の画像,..., 復元レベル
の画像, 各2D係数を1枚の画像にした画像] ret = [] data = numpy. array ( list ( gray_image. getdata ()), dtype = numpy. float64). reshape ( gray_image. size) images = pywt. wavedec2 ( data, wavlet, level = level, mode = mode) # for i in range ( 2, len ( images) + 1): # 部分的に復元して ret に詰める ary = pywt. waverec2 ( images [ 0: i], WAVLET) * 2 ** ( i - 1) / 2 ** level # 部分的に復元すると加算されていた値が戻らない(白っぽくなってしまう)ので調整 ret. append ( create_image ( ary)) # 各2D係数を1枚の画像にする merge = images [ 0] / ( 2 ** level) # cA の 部分は値が加算されていくので、画像表示のため平均をとる for i in range ( 1, len ( images)): merge = merge_images ( merge, images [ i]) # 4つの画像を合わせていく ret. append ( create_image ( merge)) return ret if __name__ == "__main__": im = Image. ウェーブレット変換. open ( filename) if im. size [ 0]! = im. size [ 1]: # 縦横サイズが同じじゃないとなんか上手くいかないので、とりあえず合わせておく max_size = max ( im.
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