解法まとめ $a_{n+1}=pa_{n}+q$ の解法まとめ ① 特性方程式 $\boldsymbol{\alpha=p\alpha+q}$ を作り,特性解 $\alpha$ を出す.←答案に書かなくてもOK ↓ ② $\boldsymbol{a_{n+1}-\alpha=p(a_{n}-\alpha)}$ から,等比型の解法で $\{a_{n}-\alpha\}$ の一般項を出す. ③ $\{a_{n}\}$ の一般項を出す. 練習問題 練習 (1) $a_{1}=2$,$a_{n+1}=6a_{n}-15$ (2) $a_{1}=-3$,$a_{n+1}=2a_{n}+9$ (3) $a_{1}=-1$,$5a_{n+1}=3a_{n}+8$ 練習の解答
今回は、等差数列・等比数列・階差数列型のどのパターンにも当てはまらない漸化式の解き方を見ていきます。 特殊解型 まず、おさえておきたいのが \(a_{n+1}=pa_n+q\) \((p≠1, q≠0)\) の形の漸化式。 等差数列 ・ 等比数列 ・ 階差数列型 のどのパターンにも当てはまらないので、コツを知らないと苦戦する漸化式です。 Tooda Yuuto この漸化式を解くコツは「 \(a_n\) から引くことで等比数列 \(b_n\) に変形できる数 \(x\) 」を見つけることにあります。 たとえば、\(a_1=2\), \(a_{n+1}=3a_n-2\) という漸化式の場合。 数列にすると \(2, 4, 10, 28\cdots\) という並びになり、一般項を求めるのは難しそうですよね。 しかし、この数列の各項から \(1\) を引くとどうでしょう? \(1, 3, 9, 27, \cdots\) で、初項 \(1\), 公比 \(3\) の等比数列になっていることが分かりますよね。 等比数列にさえなってしまえばこちらのもの。 等比数列の一般項の公式 に当てはめることで、ラクに一般項を求めることができます。 一般項が \(a_n=3^{n-1}+1\) と求まりましたね。 さて、 「 \(a_n\) から引くことで等比数列 \(b_n\) に変形できる数 \(x\) 」さえ見つかれば、簡単に一般項を求められることは分かりました。 では、その \(x\) はどうすれば見つかるのでしょうか?
この記事では、「漸化式」とは何かをわかりやすく解説していきます。 基本型(等差型・等比型・階差型)の解き方や特性方程式による変形など、豊富な例題で一般項の求め方を説明しますので、ぜひこの記事を通してマスターしてくださいね! 漸化式とは?
タイプ: 教科書範囲 レベル: ★★ 漸化式の基本はいったんここまでです. 今後の多くのパターンの核となるという意味で,漸化式の基本としてかなり重要なので,仕組みも含めて理解しておくようにしましょう. 例題と解法まとめ 例題 2・4型(特性方程式型) $a_{n+1}=pa_{n}+q$ 数列 $\{a_{n}\}$ の一般項を求めよ. $a_{1}=6$,$a_{n+1}=3a_{n}-8$ 講義 このままでは何数列かわかりませんが, 下のように $\{a_{n}\}$ から $\alpha$ 引いた数列 $\{a_{n}-\alpha\}$ が等比数列だと言えれば, 等比型 の解き方でいけそうです. $a_{n+1}-\alpha=3(a_{n}-\alpha)$ どうすれば $\alpha$ が求められるか.与式から上の式を引けば $a_{n+1}=3a_{n}-8$ $\underline{- \) \ a_{n+1}-\alpha=3(a_{n}-\alpha)}$ $\alpha=3\alpha-8$ $\alpha$ を求めるための式 (特性方程式) が出ます.解くと $\alpha=4$ (特性解) となります. $a_{n+1}-4=3(a_{n}-4)$ となりますね.$\{a_{n}-4\}$ は初項 $a_{1}-4=2$,公比 $3$ の等比数列となって,$\{a_{n}-4\}$ の一般項を出せます.その後 $\{a_{n}\}$ の一般項を出します. 漸化式 特性方程式. 後は解答を見てください. 特性方程式を使って特性解を導く途中過程は答案に書かなくても大丈夫です. 解答 $\alpha=3\alpha-8 \Longleftrightarrow \alpha=4$ より ←書かなくてもOK $a_{n+1}-4=3(a_{n}-4)$ と変形すると,$\{a_{n}-4\}$ は初項 $a_{1}-4=2$,公比 $3$ の等比数列となるので,$\{a_{n}-4\}$ の一般項は $\displaystyle a_{n}-4=2\cdot3^{n-1}$ $\{a_{n}\}$ の一般項は $\boldsymbol{a_{n}=2\cdot3^{n-1}+4}$ 特性方程式について $a_{n+1}=pa_{n}+q$ の特性方程式は $a_{n+1}=pa_{n}+q$ $\underline{- \) \ a_{n+1}-\alpha=p(a_{n}-\alpha)}$ $\alpha=p\alpha+q$ となります.以下にまとめます.
ご相談内容は、原則として 'いでん' に関すること全般です。 たとえば、遺伝カウンセリング外来では、このような質問にお答えします。 私(夫、子ども、親)の病気は遺伝するのですか? 病気について、もっと詳しい情報を知りたいのですが。 私の家系には癌が多い、あるいは遺伝性の癌患者が家系にいるのですが、私も癌になりやすいのですか? 子供が染色体異常症といわれたのですが染色体って何ですか? 次の子供も同様に染色体異常になるのですか? 高齢妊娠では病気の子どもが多く生まれるって本当ですか? いとこ同士の結婚では病気の子供が生まれるって本当ですか? 家系の中には誰もその病気の人はいないのに、子どもは遺伝病と言われました。どうして? 流産を繰り返しているのですが、染色体検査が必要でしょうか?
「兄弟の場合は10倍」 自閉症スペクトラムの発症率推計 The Familial Risk of Autism(スウェーデン) 過去最大の200万人もの調査からだされた推計です。家族の中で自閉症スペクトラムの人がいる場合、通常(発達障害の人がいない場合)に比べて発症する確率がどの程度高いかという研究です。箇条書きでご紹介します。 遺伝要因 一卵性双生児 153倍 (統計的に確からしい幅は、56. 7から412. 8倍 以下同じ) 二卵性双生児 8. 2倍 (3. 7-18. 1倍) 兄弟 10. 3倍 (9. 4-11. 3倍) 母親が一緒の兄弟 3. 3倍 (2. 6-4. 2倍) 父親が一緒の兄弟 2. 9倍 (2. 2-3. 7倍) いとこ 2. 0倍 (1. 8-2. 2倍) このように見ると遺伝要因の大きさに圧倒されますが、実は今回の研究では環境要因にも注目されています。実は遺伝要因と環境要因は同じだけ影響していて、どちらかが影響するのではなく、どちらも影響しているということもわかりました。なお環境要因として、研究では以下が挙げられています。 環境要因 親の年齢 出産時の合併症 妊娠時の食事 脳発達の初期段階での公害・汚染からの影響 2000年代は遺伝要因がほぼ100%と思われていた時代もありました。きょうだいの場合、通常の10倍の発症率というのは高く思えるかもしれませんし、たしかに遺伝要素が強いことも結果として示されていますが、同時にこの研究では大規模な調査の中で環境要因の大きさを主張していることが注目に値します。 4. ADHDとアスペルガー症候群の遺伝子の共通性 ADHD, Autism May Sometimes Share Gene Mutations. But, the vast majority of children with autism disorders or ADHD don't share these genetic risks. (加・トロント) カナダで遺伝子の研究が行われ、発達障害のうちのADHD(注意欠陥多動性障害)とASD(自閉症スペクトラム・アスペルガー症候群)の相違点が調べられました。ADHDやASDのそれぞれに固有と思われていた変異遺伝子がひょっとしたら共通して同一のものも多いのではというようなアプローチで研究は進められています。 研究の結論としては、ADHDとASDは共通した遺伝子変異を持つものの、それらは多数ではなく、大部分は遺伝子リスクを共有していないということでした。ただし、ADHDの遺伝的な要因はまだまだ解明途中ですし、ASD(自閉症スペクトラム・アスペルガー症候群)についても遺伝要因の細かい部分についてはまだまだ見解が分かれています。 5.
アスペルガー・自閉症スペクトラム 環境要因の果たす役割 Balance Tips toward Environment as Heritability Ebbs in Autism? (米・スタンフォード大) 双子に対する研究が米国で行われました。これまでの双子研究で、自閉症スペクトラムの原因の90%ほどを説明するとされていた遺伝要因が、それほど高くない(40%を切る程度)ことが分かり、環境要因、特に出生前の環境要因がこれまで以上に大きそう(半分以上を説明)、という研究結果です。 なお環境要因は妊娠初期のものとされている以外は細かくは記載されていません。今のところ遺伝要因で説明できない部分が半分以上あると考えたほうがよさそうです。 6. 自閉症関連遺伝子 高知能と知的障害の両極を生む Autism Genes Linked To Higher Intelligence: Treading A Fine Line Between Intellectual Disability And Superiority(英・エジンバラ大学) 英・エジンバラ大学の研究は発達障害とのかかわりがあるとみられる遺伝子が知的水準に与える影響に注目した研究です。具体的には、同じ自閉症スペクトラムの遺伝子を持ちながら、一方は自閉症スペクトラムを発症している人、もう一方は症状がみられない人、という2グループについて調査を行っています。 診断・症状があるタイプは、知的には「普通」か「低い」傾向があり、もう一方の、つまり遺伝子を持ちながら発症していないタイプは、「高い」傾向があるというデータが出たとのことです。数的処理能力や問題解決力の豊かさ、空間的な論理思考などに表れているとのことです。記事によるとこうした本格的な研究は世界で初めてのようです。 7. 自閉症スペクトラムの要因 何百もの遺伝子突然変異がランダムに発生か Autism linked to hundreds of genetic mutations(米・イェール大学) 欧米でほぼ同時期に行われた3つの研究でほぼ同じ結論に達したことが報道されました。そのうち一つをご紹介します。 自閉症スペクトラムの要因は、一つ二つの遺伝子の突然変異で起こるものではなく、何百もの突然変異がランダムに起こっているという研究結果です。ただし今回の研究で説明できる自閉症スペクトラムはまだ一握りであり、他の大部分の発生要因は謎が多いとのことです。なお、突然変異が小規模であっても男性の場合は自閉症スペクトラムの症状が現れやすいものの、女性のほうは変異が大規模であっても症状が確認されないケースがあり、女性のほうが"耐性"があると伝えています。またウイリアムズ症候群にも関係している遺伝子の変異が自閉症スペクトラムにも関係しているケースがあるとも報告されています。
親から子へと遺伝する遺伝的要因はあるのでしょうか?