東大塾長の山田です。 このページでは、 数学 B 数列の「階差数列」について解説します 。 今回は 階差数列の一般項の求め方から,漸化式の解き方まで,具体的に問題を解きながら超わかりやすく解説していきます 。 ぜひ勉強の参考にしてください! 1. 階差数列とは? 階差数列を用いて一般項を求める方法|思考力を鍛える数学. まずは 階差数列 とは何か?ということを確認しましょう。 数列 \( \left\{ a_n \right\} \) の隣り合う2つの項の差 \( b_n = a_{n+1} – a_n \) を項とする数列 \( \left\{ b_n \right\} \) を,数列 \( \left\{ a_n \right\} \) の 階差数列 といいます。 【例】 \( \left\{ a_n \right\}: 1, \ 2, \ 5, \ 10, \ 17, \ 26, \ \cdots \) の階差数列 \( \left\{ b_n \right\} \) は となり,初項1,公差2の等差数列。 2. 階差数列と一般項 次は,階差数列と一般項について解説していきます。 2. 1 階差数列と一般項の公式 階差数列と一般項の公式 注意 上記の公式は「\( n ≧ 2 \) のとき」という制約付きなので注意をしましょう。 なぜなら,\( n=1 \) のとき,シグマ記号が「\( k = 1 \) から \( 0 \) までの和」となってしまい,数列の和 \( \displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} b_k \) が定まらないからです。 \( n = 1 \) のときは,求めた一般項に \( n = 1 \) を代入して確認をします。 Σシグマの計算方法や公式を忘れてしまった人は「 Σシグマの公式まとめと計算方法(数列の和の公式) 」の記事で詳しく解説しているので,チェックしておきましょう。 2. 2 階差数列と一般項の公式の導出 階差数列を用いて,なぜもとの数列が「\( \displaystyle \color{red}{ a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k} \)」と表すことができるのか、導出をしていきましょう。 【証明】 数列 \( \left\{ a_n \right\} \) の階差数列を \( \left\{ b_n \right\} \) とすると これらの辺々を加えると,\( n = 2 \) のとき よって \( \displaystyle a_n – a_1 = \sum_{k=1}^{n-1} b_k \) ∴ \( \displaystyle \color{red}{ a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k} \) 以上のようにして公式を得ることができます。 3.
階差数列を使う例題 実際に階差数列を用いて数列の一般項を求めてみましょう.もちろん,階差数列をとってみるという方法はひとつの指針であって,なんでもかんでも階差数列で解決するわけではないです.しかし,階差数列を計算することは簡単にできることなので,とりあえず階差をとってみようとなるわけです. 階差数列 一般項 公式. 階差数列が等差数列となるパターン 問 次の数列の一般項を求めよ. $$3,7,13,21,31,43,57,\cdots$$ →solution 階差数列 $\{b_n\}$ は $4,6,8,10,12,14,\cdots$ です.これは,初項 $4$,公差 $2$ の等差数列です.したがって,$b_n$ の一般項は,$b_n=2n+2$ です.ゆえに,もとの数列 $\{a_n\}$ の一般項は,$n \ge 2$ のとき, $$a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1} b_n=3+\sum_{k=1}^{n-1} (2k+2) $$ $$=3+n(n-1)+2(n-1)=n^2+n+1$$ となります.これは $n=1$ のときも成立するので,求める数列の一般項は,$n^2+n+1$ です. 階差数列が等比数列となるパターン $$2,5,11,23,47,95,191,\cdots$$ 階差数列 $\{b_n\}$ は $3,6,12,24,48,96,\cdots$ です.これは,初項 $3$,公比 $2$ の等比数列です.したがって,$b_n$ の一般項は,$b_n=3\cdot2^{n-1}$ です.ゆえに,もとの数列 $\{a_n\}$ の一般項は,$n \ge 2$ のとき, $$a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1} b_n=2+\sum_{k=1}^{n-1} 3\cdot2^{k-1} $$ $$=2+\frac{3(2^{n-1}-1)}{2-1}=3\cdot2^{n-1}-1$$ となります.これは $n=1$ のときも成立するので,求める数列の一般項は,$3\cdot2^{n-1}-1$ です.
階差数列まとめ さいごに今回の内容をもう一度整理します。 階差数列まとめ 【階差数列と一般項の公式】 【漸化式と階差数列】 \( \displaystyle \color{red}{ a_{n+1} = a_n + f(n)} \) (\( f(n) \) は階差数列の一般項) 以上が階差数列の解説です。 階差数列については,公式の導出の考え方が非常に重要です。 公式に頼るだけでなく,公式の導出と同様の考え方で,その都度一般項を求められる力もつけておきましょう。
I think it was before your time, Watson. I can only say, madam, that I shall be happy to devote the same care to your case as I did to that of your friend. タモリのシャーロック・ホームズ●まだらのひも● A面 - Niconico Video. As to reward, my profession is its own reward; but you are at liberty to defray whatever expenses I may be put to, at the time which suits you best. And now I beg that you will lay before us everything that may help us in forming an opinion upon the matter. " 「ファーントッシュ」 / 彼は言った ◆ 「ああなるほど / この事件か / オパールのティアラに関するものですな ◆ これは君が来る前の事件だと思う / ワトソン ◆ これだけは言えます / 私は同じだけの手助けをあなたの事件に捧げられれば幸せだと / 私があなたの友人にしたのと ◆ 報酬に関しては / 私の仕事はそれ自身が報酬です / しかし構いませんよ / 私が請求するかもしれない費用にお支払して頂いても / あなたが一番都合のいい時に ◆ さあ今は全てを我々の前に提出してください / この事件に関して意見を言うのに役立つかもしれない物を」
――「お前がホームズか、あのやたらと嘴を突っ込みたがる」ホームズはニッコリと笑った。 「このや かまし 屋が!」ホームズの笑みが深くなった。 「警察の犬っころめ!」ホームズは愉快げに笑った。 「ふふ、あなたの話は実に面白いな。部屋を出る時は扉を閉めろよ。ここはすきま風が入るから」 罵倒されてもニコニコしているホームズ。 冷静にロイロットを受け流している様子が見られます。 「あなたの話は面白い」と言った後に「部屋を出る時は〜」と言うのは脈絡がないようにも思えますが、これはどう考えても 「さっさと帰れ」 という意味ですね。 なんだか京都で客に出されるお茶漬けと似た感じがします(京都でお茶漬けが出されると「そろそろ帰って」の意味があるらしい)。 しかし、 ここは「警察の犬っころ」と言われた時にコメントを挟んだことにぜひ注目したい。 ホームズは普段から警察のことを 馬鹿にしている から、まるで自分が警察の一員であるかのように扱われたのにムカッときたのではないでしょうか。 "Fancy his having the insolence to confound me with the official detective force! " ――「 無礼にも 、警察と僕を混同するとはな!」 と後から言っていますしね。 「警察の犬っころ」とロイロットが言わなければ、まだもう少しぐらいは大人しく罵倒を聞いていたかもしれません。なんだかだんだんホームズの沸点が分かってきました。 君がいると助かる "Your presence might be invaluable. " ――「君がいたらきっと凄く助かる」 屋敷に忍び込む前、ホームズが危険が予想される冒険にワトスンを誘うシーン。 しかしワトスンがした事というのがあまり分からないので、ホームズが1人で屋敷に行っても 結果は変わらなかった ように思えます。 にも関わらず、ホームズは屋敷に行く前にこうワトスンを評しました。 これは一人で寝ずの番をするより二人の方が 良い緊張感 を保てるからではないでしょうか。 暗闇の中に何時間もいると精神が弱ってしまうだろうから、 信頼できる人と一緒にいるだけでも励みになる という意味で言ったのかもしれませんね。 ホームズは沢山の特技を持っていて、何でも一人でできるような印象があります。 しかしこうしてワトスンのことを頼っているところを見てみると、ホームズも人間なのだと 親しみ が湧きます。 実はホームズは騙されていた?
ヘレンの継父のドクター・ロイロットは、インド帰り、人好きのしなさそうな顔だち、筋骨隆々の大男です。 ヘレンの後をつけてきて、ホームズの下宿に押し入って喧嘩を吹っかけました。 「おれの問題に手を出してみろ、こうなるぞ!」 と 暖炉の火かき棒をくぐっと曲げて 、サッサと出ていきます。 そこでホームズが一言。 "I am not quite so bulky, but if he had remained I might have shown him that my grip was not much more feeble than his own. " As he spoke he picked up the steel poker and, with a sudden effort, straightened it out again. " ――「僕はそんな馬鹿みたいにでかくはないが、もしヤツがまだ部屋に残ってたら、僕の筋肉もあのくらい脆弱じゃないって見せてやれたんだがな」と言いながら、 ホームズは火かき棒を手に取ると一気に力をこめて真っ直ぐにした。 ロイロットの怪力もさるものですが、ホームズは細い体なのによくこんなに力があるものですね。 そして、"quite so bulky( 馬鹿 みたいにでかい)"とか、"much more feeble(よっぽど脆弱)"という表現をつかっているあたり、態度の悪いロイロットに対して、ホームズもちょっと イラッ ときているようです。 まあ流石にこうやっていきなり乱入されてきたらそう感じるでしょうね。 通常なら客が来たときは大家のハドスン婦人が名刺を取り次いでくれたり、来たことをまずお知らせしてくれたりするのですが、彼はノックもなしでした。 "You are Holmes, the meddler. " My friend smiled. "Holmes, the busybody! " His smile broadened. "Holmes, the Scotland Yard Jack-in-office! " Holmes chuckled heartily. 『まだらの紐』のあらすじや考察、トリックを解説！作者コナン・ドイルが最も愛したシャーロック・ホームズ短編 | ページ 2 | 古典のいぶき. "Your conversation is most entertaining, " said he. "When you go out close the door, for there is a decided draught. "
『まだらの紐』について 出典 『まだらの紐』は、シャーロック・ホームズの短編小説中で、8番目に発表された作品です。 『まだらの紐』が一番初めに発表されたのは、1892年2月号の『ストランド・マガジン』で、『 シャーロック・ホームズの冒険 』に収録されました。 数あるホームズの短編小説の中でも、ドイル自身が気に入っていたと言われている、『まだらの紐』。 シャーロック・ホームズシリーズは、何でも好きですが、この作品は傑作の中に入るかもしれないなと、個人的に思います!
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