000Z) ¥1, 870 こちらもおすすめ 距離空間とは:関数空間、ノルム、内積を例に 線形代数の応用:関数の「空間・基底・内積」を使ったフーリエ級数展開 連続関数、可積分関数のなす線形空間、微分と積分の線形性とは コンパクト性とは:有界閉集合、最大値の定理を例に 直交ベクトルの線形独立性、直交行列について解説
三角関数の直交性を証明します. 三角関数の直交性に関しては,巷間,周期・位相差・積分範囲等を限定した証明が多くありますが,ここでは周期を2L,位相差をcとする,より一般的な場合に対する計算を示します. 【スマホでの数式表示について】 当サイトをスマートフォンなど画面幅が狭いデバイスで閲覧すると,数式が画面幅に収まりきらず,正確に表示されない場合があります.その際は画面を回転させ横長表示にするか,ブラウザの表示設定を「PCサイト」にした上でご利用ください. 三角関数の直交性 正弦関数と余弦関数について成り立つ次の性質を,三角関数の直交性(Orthogonality of trigonometric functions)という. 三角関数の直交性(Orthogonality of trigonometric functions) および に対して,次式が成り立つ. (1) (2) (3) ただし はクロネッカーのデルタ (4) である.□ 準備1:正弦関数の周期積分 正弦関数の周期積分 および に対して, (5) である. 式( 5)の証明: (i) のとき (6) (ii) のとき (7) の理由: (8) すなわち, (9) (10) となる. 準備2:余弦関数の周期積分 余弦関数の周期積分 (11) 式( 11)の証明: (12) (13) (14) (15) (16) 三角関数の直交性の証明 正弦関数の直交性の証明 式( 1)を証明する. 三角関数の積和公式より (17) なので, (18) (19) (20) よって, (21) すなわち与式( 1)が示された. 余弦関数の直交性の証明 式( 2)を証明する. (22) (23) (24) (25) (26) すなわち与式( 2)が示された. 三角関数の直交性 内積. 正弦関数と余弦関数の直交性の証明 式( 3)を証明する. (27) (28) すなわち与式( 3)が示された.
君たちは,二次元のベクトルを数式で書くときに,無意識に以下の書き方をしているだろう. (1) ここで, を任意とすると,二次元平面内にあるすべての点を表すことができるが, これが何を表しているか考えたことはあるかい? 実は,(1)というのは 基底 を定義することによって,はじめて成り立つのだ. この場合だと, (2) (3) という基底を「選んでいる」. この基底を使って(1)を書き直すと (4) この「係数付きの和をとる」という表し方を 線形結合 という. 実は基底は に限らず,どんなベクトルを選んでもいいのだ. いや,言い過ぎた... .「非零かつ互いに線形独立な」ベクトルならば,基底にできるのだ. 二次元平面の場合では,長さがあって平行じゃないってことだ. たとえば,いま二次元平面内のある点 が (5) で,表されるとする. ここで,非零かつ平行でないベクトル の線形結合として, (6) と,表すこともできる. じゃあ,係数 と はどうやって求めるの? ここで内積の出番なのだ! (7) 連立方程式(7)を解けば が求められるのだが, なんだかメンドクサイ... そう思った君には朗報で,実は(5)の両辺と の内積をそれぞれとれば (8) と,連立方程式を解かずに 一発で係数を求められるのだ! この「便利な基底」のお話は次の節でしようと思う. とりあえず,いまここで分かって欲しいのは 内積をとれば係数を求められる! ということだ. ちなみに,(8)は以下のように書き換えることもできる. 「なんでわざわざこんなことをするのか」と思うかもしれないが, 読み進めているうちに分かるときがくるので,頭の片隅にでも置いておいてくれ. (9) (10) 関数の内積 さて,ここでは「関数の内積とは何か」ということについて考えてみよう. まず,唐突だが以下の微分方程式 (11) を満たす解 について考えてみる. この解はまあいろいろな表し方があって となるけど,今回は(14)について考えようと思う. この式と(4)が似ていると思った君は鋭いね! 実は微分方程式(11)の解はすべて, という 関数系 (関数の集合)を基底として表すことが出来るのだ! 三角関数の直交性とフーリエ級数. (特異解とかあるかもしれんけど,今は気にしないでくれ... .) いま,「すべての」解は(14)で表せると言った. つまり,これは二階微分方程式なので,(14)の二つの定数 を任意とすると全ての解をカバーできるのだ.
^ a b c Vitulli, Marie. " A Brief History of Linear Algebra and Matrix Theory ". 2015年7月29日 閲覧。 ^ Kleiner 2007, p. 81. ^ Kleiner 2007, p. 82. ^ Broubaki 1994, p. 66. 参考文献 [ 編集] 関孝和『解伏題之法』古典数学書院、1937年(原著1683年)、復刻版。 NDLJP: 1144574 。 Pacha, Hussein Tevfik (1892) (英語). Linear algebra (2nd ed. ). İstanbul: A. H. 三角関数の直交性について、これはn=mのときπ/2ではないでしょ... - Yahoo!知恵袋. Boyajian 佐武一郎 『線型代数学』 裳華房 、1982年。 ISBN 4-7853-1301-3 。 齋藤正彦:「線型代数入門」、東京大学出版会、 ISBN 978-4-13-062001-7 、(1966)。 Bourbaki, N. (1994). Elements of the History of Mathematics. Springer. ISBN 978-3-540-64767-6 長岡亮介『線型代数入門』放送大学教育振興会、2003年。 ISBN 4-595-23669-7 。 Kleiner, I. (2007). A History of Abstract Algebra. Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-4684-4 佐藤, 賢一 、 小松, 彦三郎 「関孝和の行列式の再検討」『数理解析研究所講究録』第1392巻、2004年、 214-224頁、 NAID 110006471628 。 関連項目 [ 編集] 代数学 抽象代数学 環 (数学) 可換体 加群 リー群 リー代数 関数解析学 線型微分方程式 解析幾何学 幾何ベクトル ベクトル解析 数値線形代数 BLAS (線型代数の計算を行うための 数値解析 ライブラリ の規格) 行列値関数 行列解析 外部リンク [ 編集] ウィキブックスに 線型代数学 関連の解説書・教科書があります。 Weisstein, Eric W. " Linear Algebra ". MathWorld (英語).
まずフーリエ級数では関数 を三角関数で展開する。ここではフーリエ級数における三角関数の以下の直交性を示そう。 フーリエ級数で一番大事な式 の周期 の三角関数についての直交性であるが、 などの場合は とすればよい。 導出に使うのは下の三角関数の公式: 加法定理 からすぐに導かれる、 積→和 以下の証明では と積分変数を置き換える。このとき、 で積分区間は から になる。 直交性1 【証明】 のとき: となる。 直交性2 直交性3 場合分けに注意して計算すれば問題ないだろう。ちなみにこの問題は『青チャート』に載っているレベルの問題である。高校生は知らず知らずのうちに関数空間に迷い込んでいるのである。
たとえばフーリエ級数展開などがいい例だね. (26) これは無限個の要素を持つ関数系 を基底として を表しているのだ. このフーリエ級数展開ついては,あとで詳しく説明するぞ. 「基底が無限個ある」という点だけを留意してくれれば,あとはベクトルと一緒だ. 関数 が非零かつ互いに線形独立な関数系 を基底として表されるとき. (27) このとき,次の関係をみたせば は直交基底であり,特に のときは正規直交基底である. (28) さて,「便利な基底の選び方」は分かったね. 次は「便利じゃない基底から便利な基底を作る方法」について考えてみよう. 正規直交基底ではないベクトル基底 から,正規直交基底 を作り出す方法を Gram-Schmidtの正規直交化法 という. 次の操作を機械的にやれば,正規直交基底を作れる. さて,上の操作がどんな意味を持っているか,分かったかな? たとえば,2番目の真ん中の操作を見てみよう. 三角関数の積の積分と直交性 | 高校数学の美しい物語. から, の中にある と平行になる成分 を消している. こんなことをするだけで, 直交するベクトル を作ることができるのだ! ためしに,2. の真ん中の式の両辺に をかけると, となり,直交することが分かる. あとはノルムで割って正規化してるだけだね! 番目も同様で, 番目までの基底について,平行となる成分をそれぞれ消していることが分かる. 関数についても,全く同じ方法でできて,正規直交基底ではない関数基底 から,正規直交基底 を次のやり方で作れる. 関数をベクトルで表す 君たちは,二次元ベクトル を表すとき, 無意識にこんな書き方をしているよね. (29) これは,正規直交基底 というのを「選んできて」線形結合した, (30) の係数を書いているのだ! ということは,今までのお話を聞いて分かったかな? ここで,「関数にも基底があって,それらの線形結合で表すことができる」ということから, 関数も(29)のような表記ができるんじゃないか! と思った君,賢いね! ということで,ここではその表記について考えていこう. 区間 で定義される関数 が,正規直交基底 の線形結合で表されるとする. (といきなり言ってみたが,ここまで読んできた君たちにはこの言葉が通じるって信じてる!) もし互いに線形独立だけど直交じゃない基底があったら,前の説で紹介したGram-Schmidtの正規直交化法を使って,なんとかしてくれ!...
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ここから本文です。 概要 「道の駅」は簡易パーキングエリアにトイレ、情報施設、地域振興施設等付随施設を併せて整備することにより、道路利用者に快適な休憩を提供するとともに、道路利用者や地域の方々のための情報発信を行い、地域連携の拠点となる施設です。これらの施設は、無料で24時間利用できる十分な容量の駐車場と清潔な便所を備えており、それらの施設間を結ぶ主要な歩行経路のバリアフリー化が図られているとともに、道路及び地域に関する情報を提供する案内・サービス施設を備えていることが必要です。 また、近年では大規模災害時等における災害情報の提供や復旧活動の支援ができる防災拠点としての機能も期待されています。 静岡県内の「道の駅」 静岡県内の詳しい「道の駅」の所在地や駅の"特選!一押し! "についての情報は、下記ページにて紹介していますので、ご覧ください。 駅名 所在地 路線名 特徴 1. 富士 富士市 (国)1号 霊峰富士を一望、東海道ドライブの拠点 2. くんま水車の里 浜松市 (主)天竜東栄線 かあさんの味とそば打ち体験が好評 3. 花の三聖苑伊豆松崎 松崎町 (主)下田松崎線 花時計がお出迎え、"なまこ壁と桜の里"の駅 4. 宇津ノ谷峠 静岡市、藤枝市 歴史の風吹く峠のオアシス 5. いっぷく処横川 (国)362号 秋葉街道緑豊かな山あいの「道の駅」 6. フォーレなかかわね茶茗舘 川根本町 みる・ふれあう・あじわう・体験しながら楽しめる「道の駅」 7. 天城越え 伊豆市 (国)414号 伊豆の真中は昭和の森・踊子の歩いた天城路をあなたも 8. 奥大井音戯の郷 (主)川根寸又峡線 自然への感性を取り戻す「道の駅」 9. 静岡 道の駅 特集 - TNC. 朝霧高原 富士宮市 (国)139号 高原の風、富士山に向かって深呼吸。 10. 川根温泉 島田市 (主)藤枝天竜線 露天風呂からのSLの眺めは圧巻。 11. 富士川楽座 (主)富士川身延線 道と川が交わり、富士を仰ぎ、駿河湾を望む交歓エリア。 12. 玉露の里 藤枝市 (一)静岡朝比奈藤枝線 山と清流のふところ、旬の食材と一碗の茶を堪能する、極上時間。 13. 天竜相津花桃の里 (国)152号 広大なダム湖畔の豊かな自然の中で「ゆとり」と「やすらぎ」を感じてください。 14. 伊東マリンタウン 伊東市 (国)135号 陸と海のインターフェイスステーション 15.
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最終更新日: 2019年8月19日 道の駅制度が創設されて25年が経過しました。制度創設当初は、トイレ・売店・道路情報といった通過するドライバーへのサービス提供を目的とした施設であった道の駅ですが、近年は、農産物の加工所(6次産業化)や子育て支援施設、移住窓口など地域独自の工夫により多様な施設が併設されるようになり、「地方創生の拠点」として進化を続けています。 静岡市も、道の駅を地方創生の重要な役割を果たす手法の一つと捉え、静岡市道の駅基本構想を策定しました。基本構想には、本市の強みを活かし、様々な課題に対応する道の駅を「計画」「整備」「運営」していくための指針を記載しています。 静岡市道の駅基本構想 (PDF形式: 7. 3MB) 静岡市道の駅基本構想(概要版) (PDF形式: 3. 0MB) パブリックコメントの実施結果について 基本構想策定にあたり、令和元年6月17日(月)から令和元年7月17日(水)まで市民意見公募手続(パブリックコメント)を実施し、181人の方から649件のご意見をいただきました。 今後はいただいたご意見を参考に、新たな道の駅の整備に向けた更なる検討に取り組んでまいります。 意見の提出にご協力いただき、ありがとうございました。 実施結果の資料については、以下の場所でもご覧いただけます。 (1)道路計画課(静岡庁舎新館6階) (2)各区の市政情報コーナー(葵区/静岡庁舎新館1階、駿河区/駿河区役所3階、清水区/清水区役所4階) パブリックコメント実施結果 (PDF形式: 221KB) 本ページに関するアンケート 本ページに関するお問い合わせ先 建設局 道路部 道路計画課 企画係 所在地:静岡庁舎新館6階 電話: 054-221-1239 ファクス:054-221-1045 お問い合わせフォーム